книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

У= У{х, t) — прогиб;

М= M(x,t) — изгибающий момент.

Кроме того, известно

В задаче о свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределенные силы инерции

1? '. '

Решение уравнения. Для решения уравнения (173) полагаем, как и выше,

Для тождественного выполнения равенства необходимо, что­ бы каждая из частей равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через —р2, получим два уравнения

Первое уравнение указывает на то, что движение носит коле­ бательный характер с частотой р. Второе уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (176) соответственно его порядку содержит четыре постоянные и имеет вид

X = Схsin kx -f- С2 cos kx + C3 sh kx + C4 ch kx,

Удобен предложенный A. H. Крыловым [36] вариант записи общего решения

* Собственный вес балки также вызывает перемещения, которые не зави­ сят от времени t и здесь не учитываются. Это означает, что прогибы при колебаниях отсчитываются от положения статического изгиба.

123

где

S = -у (ch kx + cos kx);

T = — (sh kx + sin kx);

2

(179)

U = j(c h k x — cos kx); V = — (sh kx — sin kx)

представляют собой функции A. H. Крылова.

Следует обратить внимание, что S = l , r = £ / = V = 0 при х — 0. Функции S, Т, JJ, V связаны между собой следующим об­ разом:

(180)

Поэтому производные выражения (178) записываются в виде

В задачах рассматриваемого класса число собственных час­ тот рп бесконечно велико; каждой из них отвечает своя функция времени Тп и своя фундаментальная функция Хп. Общее реше­ ние получится путем наложения частных решений вида (174):

Для определения собственных частот и форм необходимо рас­ смотреть граничные условия.

Граничные условия. Для каждого конца стержня можно ука~

124

(знак минус принимается в случае, когда упругая опора являет­ ся левой, и знак плюс, когда она является правой).

Частотное уравнение и собственные формы. Развернутая за­ пись граничных условий приводит к однородным уравнениям от­ носительно постоянных С1, С% С3 и С4.

Чтобы эти постоянные не были равны нулю, должен равнять­ ся нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях вы­ ясняются соотношения между Сь С2, С3 и С4, т. е. определяются собственные формы (с точностью до постоянного множителя).

Проследим составление частотных уравнений на примерах.

125

Для балки с шарнирно опертыми концами имеем согласно выражениям (183) следующие граничные условия: X = О, X" = О при х = 0 и х — I. При помощи выражений (178) — (181) полу­ чим из первых двух условий Ci = 0; Сз = 0.

Теперь два остальных условия можно записать в виде

СгТ (kl) -f CJU (kl) = 0; C2V(kl) + CJ(kl) = 0.

Чтобы С2 и С4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:

Обратимся теперь к определению собственных форм. Из запи­ санных выше однородных уравнений вытекает следующее с о о т ­ ношение между постоянными С2 и С4:

с1= -Ш1с2.

4 Т(Ы)

Следовательно, уравнение (178) получает вид

ИЛИ

= 27^7) ^Sin knXsh knX+ Sin knl sh knl)'

Согласно условию (186) получаем

126

определенным, пока не введены в рассмотрение начальные ус­ ловия).

Рассмотрим теперь балку с од­ ним защемленным и одним упруго опертым концом (рис. 66). Согласно выражениям (184) и (185) гранич­ ные условия имеют вид X = О, X' = = 0 при х = 0; X" = 0, EJX'" —CQX при х = •/. Из первых двух усло­ вий следует Ci = С2 = 0. Используя два других условия, при помощи вы­

ражений (178) и (181) получим уравнения

C3S(yfe/) + Q T (^ ) = 0;

EJ [C3V (kl) + C4S (kl)] = с0 [C3U (kl) + C4V (kl)],

или после замены по формулам (179)

sh kl cos kl — sh kl ch kl =

Решения для ряда других случаев приведены в справочни­

ке [1].

Определение двизкения по начальным условиям. Если тре­ буется определить движение, следующее после начального воз­ мущения, то необходимо указать для всех точек балки как на­ чальные смещения, так и начальные скорости:

у(х,0) = у0(х);

ч.

V (х, 0) = у (х, 0) = v0 (х),

и использовать свойство ортогональности собственных форм

Ji Х П (х) x m (х) d x = О( т Ф п ) .

о

Общее решение (182) запишем в виде

n=l

127

Подставляя в правые части уравнений (188) и (189) t —О, а в левые части — предполагаемые известными начальные сме­ щения и скорости, получим

Умножив эти выражения на Хт и проинтегрировав по всей длине, получим

Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из выражений (190) следуют фор­ мулы для постоянных Ати Вт :

i

f Щ(х) Хт (х) dx

после подстановки в решение (188) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее, часто пользуются нормированными собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы зна­ менатели выражений (191) равнялись единице; это упрощает вы­

ражения Ат и ВтВлияние постоянной продольной силы. Рассмотрим случай,

когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N, величина которой не меняется в процессе колебаний

128

Приравняв нулю определитель, составленный из коэффици­ ентов при величинах Сi и С3, приходим к уравнению

Выше продольная сила счита­ лась заданной и не зависящей от перемещений системы. В неко­ торых практических задачах сопровождающая процесс попереч­ ных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции.

Рассмотрим, например, балку с шарнирно неподвижными опорами (см. рис. 6 8 ). При изгибе балки возникают горизон­ тальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соот­ ветствующее растягивающее усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цеп­ ное усилие будет меняться во времени.

Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией у(х), то удлинение оси можно найти по формуле

А/ dx.

=шо г

Соответствующее цепное усилие найдем при помощи закона Гука:

130

и подставим этот результат в уравнение (192) вместо продоль­ ной силы N (с учетом знака):

i

Полученное нелинейное интегро-дифференциальное уравне­ ние в данном случае упрощается при помощи подстановки

ное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице; ап— амплитуда колебаний.

Важно заметить, что дифференциальное уравнение (199) не­ линейно; следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Точное решение для п-й частоты поперечных колебаний р* имеет вид

Рп= РпА>

где Рп — частота поперечных колебаний, найденная без учета* цепных усилий; %— поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний ап к радиусу инерции попереч­

При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции попереч­ ного сечения поправка к частоте становится значительной. Нели, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения рав­ на его диаметру, то ах:2р = 2 и частота почти в 2 раза больше, чем в случае свободного смещения опор.

Случай ах: 2р-> соответствует нулевому значению радиу­ са инерции, когда изгибная жесткость балки исчезающе мала

131

5*