книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

В случае зонтичных колебаний прогиб w не зависит от коор­ динаты 0 и последнее выражение запишется в виде

Из-за изгиба диска всякий его элемент несколько прибли­ жается к оси вращения и благодаря этому накапливает некото­ рую дополнительную потенциальную энергию, так как вследствие вращения диска изгиб происходит в поле центробежных сил. Подобное явление рассмотрено выше в связи с изгибными колебаниями растянутого (в частности центробежной силой) ■стержня. В данном случае элементарной массе phrdQdr соответ­ ствует центробежная сила со2phr2dQdr. Дополнительная энергия •составит u®2phr2dQdr, где и — радиальное смещение элемента, которое выражается через прогиб следующим образом:

Тх

Таким образом, общая потенциальная энергия поля центро- ■бежных сил

Максимальная потенциальная энергия деформации согласно выражениям (256) и (258)

В max — 12(1 hrdr. (260)

152

При помощи выражения (257) найдем

f t ft

На основании закона сохранения энергии можно записать1

подставляя сюда выражения (259)— (261) и решая полученное уравнение относительно квадрата частоты, находим

(262)

Подстановка сюда подходящей функции R(r) позволит без больших затруднений вычислить приближенное значение низшей частоты. Такая функция должна, по крайней мере, удовлетво­ рять геометрическим граничным условиям при г = гх

Сопоставление результатов использования четырех различ­ ных вариантов выбора функции R(r) дано для диска постоянной толщины А. В. Левиным. Все рассмотренные им варианты удов­ летворяют условиям (263) и соответствуют простейшей форме колебаний без узловых окружностей.

Первый вариант: R — (г — гО2 дает для р2значение, на 49%

превосходящее точное.

Второй вариант: R = (г — гх)8содержит один неопределенный параметр; его значение подобрано с таким расчетом, чтобы полу­ чилось -наименьшее значение р2. При этом оказалось s = 1,35 и ошибка найденного квадрата частоты составила 7,6%•

Третий вариант:

также содержит неопределенный параметр а. Условие минимума частоты дает значение а = —0,463 и приводит к ошибке для р2, еще меньшей, чем по второму варианту (6%)-

1 В более точном решении нужно учесть также работу, совершаемую цепными усилиями (действующими в срединной поверхности диска) при изгибных колебаниях.

153

Перечисленные варианты имеют один общий недостаток (хо­ тя н в различной степени): отвечая кинематическим условиям на внутреннем контуре, они не удовлетворяют силовым условиям на внешнем контуре.

Резкое улучшение достигается при помощи четвертого вари­ анта

R = ( r — /*i)2 [ 1 -fa (г— /Д -f 6(г — г г) 2] ,

где коэффициенты an b подбираются так, чтобы были удовлетво­ рены условия и на наружном контуре. При этом ошибка резуль­ тата составляет всего 1,6%.

Этот пример показывает важность удовлетворения возможно большему числу краевых условий при пользовании не только методом Бубнова — Галеркина, но и методом Рэлея.

Веерные колебания

В этом случае вместо выражения (258) должна быть принята для прогиба w такая функция, которая отражает зависимость прогиба также от полярного угла 0. Имея в виду периодичность этой зависимости, можно принять

w = R (г) cos л0 sin pi,

где п = 1, 2, ... есть число узловых диаметров, т. е. число диамет­ ров, точки которых не колеблются; каждой форме колебаний соответствует свое значение частоты.

Дальнейшее решение ведется в том же порядке, как и выше. В результате получится формула, подобная формуле (262), но содержащая также число п узловых диаметров. В этом случае применение различных вариантов функции R(r) приводит к весь­ ма близким результатам, хорошо согласующимся с точными (ошибка около 1%).

Это отличие от случая зонтичных колебаний не случайно. Де­ ло в том, что приближенная форма R(r) при зонтичных колеба­ ниях обеспечивает условия лишь в корневой и периферийной об­ ластях, а при веерных колебаниях, кроме того, вдоль всех узло­ вых диаметров.

12. ИЗГИБНЫЁ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН

использован энергетический способ. Если пластины имеют посто­ янную толщину, задача упрощается и при некоторых граничных условиях допускает сравнительно несложное решение.

154

Пластина постоянной толщины (точное решение)

Если пластина несет статическую распределенную нагруз­ ку q, то для малых •прогибов точек срединной поверхности w справедливо дифференциальное уравнение

в котором цилиндрическая жесткость

D - — В№ .

12(1 — р2)

Представив, как и в предыдущих случаях, решение в виде

w = W{x,y)T(t),

получим дифференциальное урав­ нение для формы колебаний

W{x,y)

аb

где а и b— стороны пластинки.

Зависимость (267) иллюстрирована на рис. 73. Любая пря­ мая, параллельная оси х, при колебаниях превращается в сину­ соиду, содержащую в интервале (0, а) т полуволн (на рнс. 73 т = 4); точно так же прямые, параллельные оси у, превращают­ ся в синусоиды с п полуволнами (на рис. 73 п = 2).

155

Выражение (267) удовлетворяет граничным условиям на кон­ турах (равенство нулю прогибов и изгибающих моментов)

Подставляя выражение (267) в уравнение (266), получим

/ тл\* , 0 / « ш \ г / ля \2 . / ля \* рАд»а .

(— ) + 2 h r ) ( — ) + ( — ) - — 1

отсюда находим собственную частоту

Частота зависит от чисел т и п , определяющих число полу­ волн, на которые подразделяется пластина в каждом из направ­ лений. Низшая частота соответствует случаю, когда пластина изгибается по одной полуволне в каждом направлении (т = 1, п — 1):

Если одна из сторон пластины значительно больше другой, одно слагаемое в скобках становится весьма малым по сравне­

В этом случае срединная поверхность пластины при колеба­ ниях имеет цилиндрическую форму; можно сказать, что пласти­ на состоит из множества одинаковых (и одинаково изгибающих­ ся) балок-полосок пролетом Ь. Если считать, что все такие балкиполоски совершенно не взаимодействуют одна с другой, то их собственную частоту можно найти по формуле (186а), подставив в нее момент инерции поперечного сечения / = № : 12 (ширину балки-полоски можно принять любой, например, равной единице) и интенсивность распределенной массы т — рh. При этом для собственной частоты получится выражение (269), но без делите­ ля 1 — ц2 под корнем. Это различие объясняется тем, что попе­ речные деформации балки-полоски, входящей в пластину, стесне­ ны соседними балками-полосками, тогда как изолированная балка-полоска такого стеснения не испытывает.

156

Г Л А В А III.

КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛОВ

ИРОТОРОВ

13.ВАЛ С ОДНИМ д и ско м

При вращении несбалансированного вала всегда наблюдают­ ся более или менее интенсивные поперечные колебания. Ампли­ туды колебаний зависят от угловой скорости вращения и при определенных для данного вала критических значениях скорости возрастают настолько сильно, что нарушают нормальные усло­ вия эксплуатации и могут вызвать поломку вала. При этом кри­ тическое состояние не может быть устранено даже самой тща­ тельной балансировкой. Поэтому следует добиваться, чтобы эксплуатационные угловые скорости не совпадали с критиче­ скими.

вертикальна (рис. 74). Вал имеет круглое сечение и вращается в подшипниках; диск расположен посредине между опорами *.

При вращении вала с угловой скоростью со центр тяжести диска будет двигаться по окружности и возникнет центробеж­ ная сила. Если обозначить прогиб вала, вызываемый этой силой,

устройства опор при условии, что жесткость вала во всех направлениях оди­ накова и что при изгибе вала плоскость диска остается перпендикулярной к оси вращения.

158

отсюда находим, что прогиб вала пропорционален начальному эксцентрицитету:

тф-е

(273)

с — тсо2

Из формулы (273) следует важный вывод: если выполняется равенство с = mw2, то знаменатель правой части формулы (273)

, обращается в нуль, и прогиб становится бесконечно большим.

Критическое состояние наступает при вполне определенном зна­ чении угловой скорости

которое, как видно, зависит от параметров системы. Такую ско­ рость называют критической скоростью вращения; она совпадает с собственной частотой р поперечных колебаний невращающейся системы вал — диск и тем больше, чем жестче вал и легче диск.

Из формулы (274) можно получить выражение для относи­ тельного прогиба вала

Кривая зависимости г : е от отношения — = — приведена на

(йкр Р

рис. 75. Анализ формулы (275) и рис. 75 показывает, что при медленном вращении прогибы г малы и возрастают с ростом угловой скорости; при этом центр тяжести диска 5 расположен дальше от центра вращения О, чем центр сечения вала W

159

(рис. 76, а). Если — = 1, то прогиб равен бесконечности (кри-

тическое состояние).

В закритической области, когда ю > юкР, прогибы вновь ока­ зываются конечными, но имеют знак, противоположный началь­ ному эксцентрицитету. На рис. 76, б показано соответствующее этому случаю взаимное расположение центров 5, О и W. При быстром вращении, когда ю > юКр, центр тяжести диска 5 ока­ зывается ближе к центру вращения О, чем центр вала W. Чем больше угловая скорость, тем ближе располагается центр тяже­

пользуются при проектировании валов быстроходных турбин, где гибкие валы оказы­ ваются рациональнее жестких.

Выше критическое состояние было определено как состояние неограниченного нарастания прогиба вала, если диск имеет на­ чальный эксцентрицитет. Возможна также другая трактовка кри­ тического состояния, которой будем пользоваться ниже. Из 'вы­ ражения (273) видно, что если е = 0 и в то же время с — та2, то прогиб г оказывается неопределенным. Это означает что при о) = (оКр полностью сбалансированный вал теряет устойчивость прямолинейной формы. Если эту форму нарушить (например, ударом), то вал не стремится ее восстановить; дело в том, что упругая реакция сг в точности уравновешивается возникающей при отклонении г центробежной силой tna2pr.

При всяком фиксированном значении угловой скорости (кро­ ме w = (оКр) вращение сопровождается определенной и неизмен­ ной во времени деформацией вала. Любое волокно в процессе движения остается одинаково растянутым (или сжатым) незави­ симо от времени. В этом смысле рассматриваемое явление вряд ли может быть признано упругим колебанием, хотя для непод­ вижного наблюдателя движение выглядит как колебания в двух направлениях.

160

Критическое состояние обычно считают недопустимым в экс­ плуатации, и вблизи (оКр выделяют запретную зону опасных зна­ чений угловых скоростей (например, 0,7(оКр — 1,4<в*р).

Свободные колебания около стационарного режима

Как было отмечено, в стационарном режиме движения

(о) ф о)*?) нет упругих колебаний в обычном смысле, так как напряжения и деформации в любой точке каждого сечения вала неизменны. Представляет интерес процесс свободных колебаний около этого стационарного режима.

тигг

Для исследования указанного процесса вернемся к простей­ шей схеме (см. рис. 74), но для упрощения положим е = 0. Тог­ да при со ф аКр стационарному режиму соответствует вращение прямого, недеформированного вала. Допустим, что вследствие какого-либо возмущения овал изогнулся, и определим последую­ щее движение в подвижной системе координат.

На рис. 77, а показано положение центра вращения О и мгно­ венное положение центра тяжести диска 5. Координатная систе­ ма yz равномерно вращается с угловой скоростью со, равной уг­ ловой скорости вращения диска; последнюю будем считать по­ стоянной (это всегда может быть обеспечено соответствующим изменением вращающего момента).

В процессе движения на диск действует упругая реакция ва­ ла, равная сг; на рис. 77, а показаны ее проекции на оси у и г,