книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Обозначим отношение промежутка времени а к периоду сво­ бодных колебаний Т через а; тогда

ра ла

Т Т~ = па.

Максимальное отклонение соответственно выражению (343)

имеем решение в виде

а

х — —ГР (т) sin р (t — т) dx, mp J

или

202

малое число. В таком случае можно приближенно записать

jt a p L fp (Т )Л .

mp J

О

Входящий сюда интеграл есть импульс силы P(t); обозначая

его через 5, получим х « — sin pt, т. е. движение системы опре- mp

деляется величиной импульса кратковременной силы. Как видно, подробности изменения силы за промежуток времени а неважны; единственно определяющим обстоятельством является импульс 5.

Действие гармонической силы

Случай, когда возмущающая сила изменяется по гармониче­ скому закону

является одним из наиболее частых в практике. В выражении (344) Ро— амплитуда силы: и — ее частота.

Описание колебательного процесса, вызываемого такой силой, при нулевых начальных условиях можно получить при помощи формулы (335):

х = Г sin Ыsin p(t — т) dx. (345)

mp J

о

Вычислив интеграл, найдем (при со ф р)

вызванный статически приложенной постоянной силой Р0), по­ лучим

Рассматривая решение (347), замечаем, что при нулевых на­ чальных условиях возникают сложные колебания, состоящие из двух частей: колебаний, происходящих с частотой со возмущаю­ щей силы (первое слагаемое), и колебаний, происходящих с соб­ ственной частотойр (второеслагаемое).

Обычно первые колебания называют вынужденными, а вто­ рые — свободными. Следует иметь в виду условность такой тер­ минологии. Дело в том, что и вторые колебания вызваны задан­

203

ной возмущающей силой и что их амплитуда зависит от той же силы; в этом смысле вторые колебания также следовало бы при­ знать вынужденными. Однако указанные наименования получи­ ли широкое распространение потому, что лишь первое слагаемое имеет частоту возмущения, тогда как второе меняется с собст­ венной частотой системы.

Отметим, что допущенное здесь игнорирование неупругих со­ противлений скрывает весьма важный факт: второе слагаемое (свободные колебания) с течением времени в действительности затухает, тогда как первое сохраняет постоянную амплитуду. В этом можно видеть дополнительное основание для того, чтобы называть второе слагаемое свободными колебаниями.

Процесс сложения двух колебаний с различными частотами © и р показан на рис. 104. Рис. 104, а относится к случаю, когда © > р, а рис. 104, б — к случаю, когда © < р. Для обоих случаев характерно быстрое исчезновение свободных колебаний. Поэто­ му достаточно ограничиться изучением стационарной, незату­ хающей части решения

Как видно, вынужденные колебания совершаются с частотой возмущающей силы, которая как бы «подчиняет» движение си­ стемы характеру своего изменения. Амплитуда вынужденных ко­ лебаний

отличается от прогиба хст, подсчитанного в предположении ста­ тического действия силы РоОтношение а : хстможно назвать ди­ намическим коэффициентом

1 _ Р2 I

204

Динамический коэффициент зависит только от отношения час­ тот <о : р. Кривая зависимости динамического коэффициента р, от -со : р приведена на рис. 105, а.

При малой частоте возмущающей силы динамический коэф­

амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности (если учесть силы неупругого сопротивления, то амплитуда при

резонансе окажется хотя и ограниченной, но обычно настолько значительной, что состояние резонанса все равно следует счи­ тать опасным).

Если частота а больше_частоты р, то амплитуды становятся

конечными; при а : р > У 2 динамический коэффициент стано­ вится меньше единицы, т. е. динамический эффект слабее соот­ ветствующего статического эффекта. При очень больших значе­ ниях отношения а : р динамический коэффициент становится весьма малым. Это означает, что сила высокой частоты не вызы­ вает ощутимых колебаний в низкочастотной упругой системе; последняя как бы «не успевает» отзываться на весьма быстрые изменения возмущающей силы.

Выше считалось, что амплитудное значение возмущающей силы не связано с ее частотой. Однако чаще бывает обратное, например, при вращении неуравновешенного ротора на опоры передается возмущающая сила

Р = т0в>2е sin®?,

где т 0 — масса ротора;

е— ее эксцентрицитет;

о— угловая скорость.

205

Вданном случае амплитуда возмущающей силы /п0со2е про­ порциональна квадрату частоты со2.

Вподобных случаях ©место решения (346) следует принимать

(при со ф р)

Амплитуда стационарных колебаний при этом определяется

вкотором параметр системы

а= т0е : т

не зависит от частоты со.

На рис. 105, б представлено изменение амплитуды колебаний в зависимости от отношения со : р. Как видно, при со = р имеет место резонанс, а при со р ампли­

туда стремится к значению ар2. Несколько подробнее остановим­

ся на случае совпадения частот со =

=р (резонанс). При этом интеграл

(345)приобретает вид

t

Р Г

х = — — \sin рт sin p(t — т) dz.

тр J

о

После вычисления получим

х = хсг(sin pi — pt cos pt).

График движения показан на рис. 106. Как видно, при совпа­ дении частот амплитуда нарастает по линейному закону и за ко­ нечный промежуток времени не обращается в бесконечность. Из этого вытекает принципиальная возможность перехода через ре­ зонанс, так как в процессе разгона машин равенство со = р вы­ полняется лишь одно мгновение и амплитуды при переходе мо­ гут не достигнуть опасных величин.

Пример 18. Посредине двухопорной свободно опертой балки с пролетом 5 м установлен неуравновешенный двигатель весом 4 тс п = 800 об/мин. Оп­ ределить динамический коэффициент, если балка стальная, прокатная, двутав­ рового сечения № 30а (I = 8950 см*).

Находим собственную частоту системы, принимая Е = 2,1 •10s кГ/см2:

48 . 2,1 • 10» •8950 •981 = 42,1 сек I 4000 •5003

206

Подставляя сюда т = 2400 : 981 = 2,44 кГ •сек2/см, находим необходимую жесткость всех пружин

с = 34,22 •2,44 = 2850 кГ/см.

Коэффициент жесткости одной пружины

ct = 2850 : 10 = 285 кГ/см.

Пользуясь табл. 1, находим

Gd4

ci — — = 285 кГ/см,

8D3n

т. е.

0,8 •10е . З4

285;

8 •12» •п

отсюда п = 16,5.

Следует принять, по крайней мере, 17 витков, так как увеличение числа витков снижает жесткость системы и уменьшает динамический коэффициент. Если принять п < 16,5, то динамический коэффициент окажется большим, чем задано в условии.

Рассмотрим теперь случай кинематического возмущения. Со­ гласно сказанному выше амплитуда эквивалентной возмущаю­ щей силы вычисляется путем умножения амплитуды возмущаю­ щего колебания на коэффициент жесткости связи. Так, если амплитуда гармонических колеба­ ний основания равна А, то ампли­ туда эквивалентной возмущаю­ щей силы составляет Р0 = сА. Со-,

ответственно хСТ— Ро '•с = А. Согласно формуле (349) ам­

плитуда колебаний системы рав­ на

а = ------- — — . (351)

Пример 21. Определить скорость движения автомобиля, при которой на­ ступает ■резонанс задней подвески. Профиль дороги описывается законом (рис. 107)

не зависимыми от колебаний передней части и не учитывать упругости шин.

Находим собственную частоту

208

Вертикальные колебания колеса описываются законом

/ = Т ( 1 - С « — );

° ~ Т Т й = ь-2" 'сж-

При дальнейшем увеличении скорости движения динамический коэффици­ ент быстро уменьшается. Например, при v = 25 м/сек

т. е. амплитуда колебания кузова составит всего 6,6% от половины глубины впадины.

В связи с этим примером остановимся на вопросе о плавности движения автомобиля.

На первый взгляд естественным критерием плавности дви­ жения является вертикальное ускорение. Однако при колебани­ ях кузова по закону

хг = aisin©^

и по закону

Хо = а2sina>2^

физиологические ощущения могут быть разными даже при сов­ падении наибольших ускорений а\<of = a2«|-

Дело, оказывается, не только в величине наибольшего уско­ рения, но и в том темпе, с которым происходят изменения уско­ рения; при данном максимальном ускорении более неприятны колебания с быстрым изменением ускорения, т. е. с большей ча­ стотой. Поэтому иногда полагают, что мерой плавности движе­ ния следует считать произведение максимального ускорения на частоту колебаний аа3. Эта величина представляет собой макси­

мальное значение третьей производной xmai и иногда называется

резкостью.

По некоторым экспериментам за меру комфортабельности езды следует принимать величину aw2,7, близкую к третьей про­ изводной. В вагоностроении принято оценивать плавность дви­ жения вагона величиной а3со5, что эквивалентно оценке асо1»67.

209

Приложение теории вынужденных колебаний к измерительной технике

Приборы, предназначенные для регистрации и записи дина­ мических процессов в механических системах, устроены на прин­ ципах, вытекающих из теории вынужденных колебаний. Рас­ смотрим основы устройства частотомеров, вибрографов и дина­ мических измерителей давления.

Частотомеры служат для опытного определения частот ко­ лебаний вибрирующих объектов. На рис. 108, а показана схема

Рис. 108

тическим возбуждением. Пластинка, собственная частота кото­ рой близка к частоте измеряемых колебаний, придет в состоя­ ние особенно интенсивных вибраций; таким образом и выясня­ ется частота измеряемых колебаний.

Обычно разность собственных частот двух соседних полосок составляет 0,5 гц, так что ошибка измерения не может превышать этой величины. Диапазон измеряемых частот невелик и состав­ ляет 10—20 гц.

Основной деталью частотомера, показанного на рис. 108, б, является упругий стержень 1 с грузом на конце. После установки прибора на колеблющийся объект свободная длина стержня, а следовательно, и его собственная частота, постепенно меняются при плавном перемещении планки 4 винтом 2. Когда вибрации стержня становятся особенно интенсивными, перемещение план­ ки прекращается, и по размеченной шкале 3 можно определить частоту колебаний.

210

Вибрографы инерционного (сейсмического) типа используют для записи перемещений точек вибрирующих объектов или для записи углов поворота (в последнем случае они называются торсиографами). Корпус прибора жестко связывается с объек­ том, колебания которого измеряются; в приборе имеется практи­ чески неподвижное тело, по отношению к которому фиксируются перемещения корпуса, т. е. в конечном счете перемещения колеб­ лющегося объекта.

Простейшая схема вибрографа с механическим измерением колебаний показана на рис. 109, а. Основной частью вибрографа является массивный груз 1 (сейсмическая масса), подвешенный в корпусе 3 на податливой упругой пружине 2. Корпус виброгра­ фа укрепляют на конструкции, колебания которой изучают, и он

жина оказывается также е условиях колебаний, вызванных ки­ нематическим возбуждением. Собственная частота этой системы весьма мала и из-за малой жесткости пружины; поэтому отно­ шение со: р обычно очень велико, и согласно формуле (349) амплитуда колебаний груза составляет ничтожную часть ампли­ туды колебаний корпуса прибора, так что практически можно считать груз 1 неподвижным.

Прибор устанавливают так, чтобы ось вращающегося бара­ бана совпадала с направлением исследуемых колебаний. Тогда перо 6, связанное с грузом 1, будет вычерчивать кривую колеба­ ний на ленте, движущейся вместе с барабаном 4. При помощи часового механизма на ленте автоматически делаются отметки времени (отметчик времени обозначен цифрой 5).

Рычажная передача обеспечивает запись колебаний в увели­ ченном масштабе; это позволяет измерять колебания с амплиту­ дой от 0,01 мм и выше.

Чтобы погрешность вибрографа была достаточно малой, не­ обходимо, чтобы собственная частота системы груз — пружина

211