книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Постоянные Сь С2 определяются из начальных условий в виде

ос = arctg

Из закона движения (7), по­ казанного на рис. 13, а, видно, что движение представляет собой

гармонические колебания. Пов­ торение процесса начинается пос­ ле такого промежутка времени Т

(периода колебаний), по истече­ нии которого аргумент pt -J- а (фаза) увеличивается на 2л:

Рис. 13

pt -1- ОС-f- 2"К= Р (t “Н Т) -f- ос.

Отсюда находим

Т = 2зх

Р

и число колебаний в 1 сек

Р

2я •

Следовательно, р = 2лп.

Отсюда ясен физический смысл постоянной р — число колеба­ ний в 2л сек. Постоянная р называется круговой (угловой, ци­ клической) частотой свободных колебаний или просто частотой свободных колебаний. Как видно из формулы (6), частота р за­ висит от параметров системы, но не зависит от характера началь­ ного возмущения, вызвавшего колебательный процесс (конечно,

22

это относится и к периоду колебаний Т)\ по этому признаку ча­ стоту свободных колебаний называют собственной частотой.

Формуле (6) можно придать иной вид, если воспользоваться понятием о статическом перемещении

понимая под fcmто перемещение конца пружины, которое возник­ ло бы в случае действия силы веса mg вдоль оси пружины. Тог­ да для собственной частоты получаем формулу

из которой следует выражение для числа колебаний в 1 сек

(fcm — В см) .

Кроме частоты, все остальные характеристики процесса сво­ бодных колебаний существенно зависят от начальных условий. Так, если колебания возникают при условиях, когда груз оттянут от положения равновесия на расстояние а, а затем свободно от­ пущен, то XQ = a, VQ = 0, и согласно уравнению (8) движение происходит по косинусоидальному закону

х — acos pt,

как это исллюстрировано на рис. 13, б. Если колебания вызваны мгновенным ударом по грузу, то начальные условия имеют вид

х0= 0, v0 = S:m,

где 5 — ударный импульс (второе из начальных условий сфор­ мулировано на основании теоремы об изменении количества дви­ жения). Согласно уравнению (8) получается, что движение гру­ за происходит по синусоидальному закону

жение происходит по закону (8).

Следует указать, что полученное решение имеет очевидный недостаток: так как не были учтены неизбежные неупругие со­ противления (трение), получилось, что колебания происходят без затухания. Этот недостаток ниже будет учтен и исправлен, однако можно отметить, что влияние этих сопротивлений на соб-

23

•ственную частоту, как правило, весьма мало. Поэтому форму­

для описания и изучения движения удобно пользоваться фазовой плоскостью, т. е. координатной системой перемещение — ско­ рость.

В каждый момент времени состояние характеризуется пере­ мещением х и скоростью и; на фазовой плоскости этому состоя­ нию соответствует изображающая точка, имеющая координа­ ты х, v. С течением времени изображающая точка будет переме­

можно рассматривать какфазовую траекторию, заданную в параметри­ ческой форме (с временем t в каче­ стве параметра). Чтобы получить уравнение фазовой траектории в явной форме, нужно исключить вре­ мя t из системы (9); после этого по­

т. е. уравнение эллипса (рис. 14, а). Начальным условиям х = Хо, v = о0 соответствует начальная изображающая точка фазовой траектории, из которой начинает­ ся движение. Периодичность процесса выражается в том, что изображающая точка будет обегать одну и ту же эллиптическую

орбиту.

При изменении начальных условий фазовой траекторией ока­ жется другой эллипс; вся совокупность возможных состояний системы описывается семейством эллипсов, вложенных один в другой (рис. 14, б). Совокупность фазовых траекторий обра­ зует фазовый портрет (фазовую диаграмму) системы. Можно сказать, что параметры системы определяют вид фазового пор­ трета, а начальные условия фиксируют одну определенную тра­ екторию.

Начало координат соответствует состоянию равновесия. Если Хо = 0, i?o = 0, то изображающая точка находится все время в начале координат и никакой траектории не описывает; точки рав-

24

иовесия называют особыми. Если особая точка окружена систе­ мой замкнутых траекторий (как это имеет место в рассматривае­ мом случае), то она называется особой точкой типа центра.

Рассмотренная система является типичным примером, так как свободные колебания любых линейных систем с одной степенью свободы (без затухания) описываются точно тем же дифферен­ циальным уравнением. Покажем на других примерах, как по­ лучается стандартная форма (5) дифференциального уравнения

движения; получив эту форму, можно утверждать, что движение будет подчи­ няться тем же закономерностям, кото­ рые были получены выше.

Прежде всего отметим, что собствен­ ная частота системы не зависит от ори-

cf,cm cfam+y)

■ *

\Щ

S)

0)

Рис. 15

ентации оси пружины. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим слу­

и реакция пружины cfcm (fcm — статическое удлинение пружины, соответствующее весу груза mg). Условие равновесия покояще­ гося груза имеет вид

mg — cfcm = 0,

Т. 6.

Если положение равновесия нарушено и груз находится в дви­ жении, то в текущий момент времени на груз действуют сила веса mg и реакция пружины c(fcm+ у), где у — отклонение гру­ за от положения равновесия (рис. 15, в).

25

Дифференциальное уравнение движения

— c(fcm+ y) + mg = my

при учете условия (10) вновь принимает стандартную форму (5), если вместо буквы у подставить букву х.

Совпадение дифференциальных уравнений означает, что весь колебательный процесс будет происходить так же, как и в слу­ чае горизонтального расположения оси пружины (конечно, при условии, что начальные условия аналогичны); центр колебаний располагается в положении равновесия (точка 1),

Те же результаты получаются, если груз подвешен к любой другой упругой конструкции (при условии, что он совершает колебания по прямой линии, а конструкцию можно считать не­ весомой). Особенности каждого случая выражаются лишь в ко­ эффициенте жесткости с, который зависит от конкретного вида

сг+ с2

Clc2

3

Cj —}- Со

26

3EJ

27

Остановимся на случаях 10 и И. Эти схемы соответствуют условиям, возникающим при вращении консоли вокруг оси, про­ ходящей через центр тяжести корневого сечения, когда разви­ вается центробежная сила гасо2/ (со — угловая скорость враще­ ния). Если ось вращения совпадает с осью у (рис. 16, а), то

Рис. 16

направление центробежной силы остается постоянным, Ht нужно пользоваться схемой 10. Если же ось вращения перпендикуляр­ на плоскости ху, то центробежная сила должна проходить через центр тяжести корневого сечения (рис. 16, б) и коэффициент с определяется согласно схеме 11.

Обратимся теперь к системам, содержащим твердые тела, которые совершают угловые колебания вокруг неподвижной оси (рис. 17). Первая из них (рис. 17, а) представляет собой диск,

28

закрепленный на упругом стержне, а вторая (рис. 17, б) — пло­ ский, упруго подвешенный жесткий рычаг, имеющий одну не­ подвижную точку. Третья система (рис. 17, в) состоит из тяже­ лого маховика, связанного с осью гибкой спиральной пружиной; эта система принципиально не отличается от первой.

Во всех рассмотренных случаях нужно исходить из дифферен­ циального уравнения движения тела, вращающегося вокруг не­ подвижной оси,

где М — момент приложенных к телу сил относительно оси вра­ щения;

/ — момент инерции тела относительно той же оси.

«)

В первой из рассмотренных систем момент М (восстанавли­ вающий момент) создается силами упругости стержня и равен

—Сф, где с = GJP : I — коэффициент жесткости при кручении (GJP — жесткость при кручении, I— длина скручиваемого стерж­ ня) . Следовательно, согласно уравнению (11)

29

тельное удлинение каждой из пружин при колебаниях запишет­ ся в виде а*ф (а» — расстояние от точки прикрепления пружины до шарнирной опоры), а дополнительная реакция пружины — в виде — с\а\ф (Ci— коэффициент жесткости i-й пружины). Со­ ответственно создаваемый одной пружиной момент составляет

—ф, и полный момент

причем сумма

с = S cA 2

служит приведенным коэффициентом жесткости системы. Подставляя выражение (14) в дифференциальное уравнение (II),

вновь придем к стандартной записи (5).

Рассмотрим теперь двух­ массовую систему, изобра­ женную на рис. 2, р, особен­ ности которой уже отмеча­ лись. Начало процесса ко­ лебаний можно представить, например, следующим обра­ зом. Пусть на диски дей­ ствуют две равные и проти­

воположно направленные скручивающие пары, которые в неко­ торое мгновение (принимаемое за начало отсчета времени) вне­

ствует на каждый из дисков так, как показано на рис. 18. Обо­ значая через А и / 2 моменты инерции масс дисков относительно оси вала, получим уравнения движения

с (фа Ф1) — Афт!

— с (фг — Ф1) = 72ф2.

Минус в левой части второго уравнения поставлен потому, что упругий момент направлен для второго диска по ходу часо­ вой стрелки (отрицательный момент). Деля первое уравнение на /], второе— на / 2 и вычитая первое уравнение из второго, по­ лучим

Тh~ + ~пГ /I (Фг — Ф1) = Фа — Ф1-

Введем в уравнение относительный угол поворота дисков:

Ф = Фг — Ф1-

30

[СМ. уравнение ( 12)],

Тогда уравнение примет прежний вид

причем собственная частота

(15)

_ 1 /~С(^1

V hh

mnvrHX колебан и и ,

Результаты не изменятся, если, 'помимо Уп^^еЛОГо.

п р о и сх о д и т вращение всей системы как ж е ст к о г о дОЛуценной для

т. е. отношение амплитуд колебаний дисков обратно пропорцио­ нально отношению их моментов инерции; знак минус означает, что колебания происходят в разные стороны. Этот результат по­ казан на рис. 19, из которого видно, что расстояние от узла коле­ баний до концов вала

Пример 1. Определить собственную частоту крутильных колебаний двух­ массовой системы (рис. 19) при следующих данных: диаметры дисков ах—

— 30 см и й2 = 20 см) толщины дисков bi = 2 см и Ь2 — 1,5 см; диаметр вала

d0 = 1 см; длина вала I = 80 см.

Материал дисков и вала — сталь (Y = 0,0078 кг/см3, G = 0,8* 10 кг/см-).

31