книги / Механика горных ударов и выбросов
..pdf
случаях, когда отдать предпочтение некоторой компоненте осно ваний нет. Зачастую такое разделение фиксирует лишь объем вы числений и формулируемый после решения задачи ответ, посколь ку нахождение составляющей апш тесно связано с определением других компонент. Однако для очистных выработок (рис. 44,в), которые составляют основной предмет изучения в данном подраз деле, достигаются значительные упрощения. Многие из них ока зываются применимыми и для выработок с небольшой шириной.
РИС. 45. Схема к расчету опорного давления
Опорное давление в значительной степени определяет процес сы, происходящие в краевых частях массива и целиках. А именно, под действием пригрузки материал повреждается, он испытывает необратимые, деформации, в нем растут трещины, происходят вза имные смещения частиц и блоков. Это отражается не только на деформациях и напряжениях, но и на условиях фильтрации. В об ласти значительных запредельных деформаций, прилежащей к вы работке/ имеет место значительное разрыхление и резкое — на два-три порядка — повышение газопроницаемости по сравнению с нетронутым состоянием. В более удаленных от обнажения точ ках всестороннее сжатие сохраняет газопроницаемость на уровне, характерном для нетронутого состояния, и может даже уменьшать ее по отношению к этому уровню. За пределами предельно-напря женной зоны дополнительная пригрузка воспринимается упруго. Награнице, отвечающей переходу от необратимых к упругим де формациям, опорное давление достигает максимума (рис. 45) и затем постепенно уменьшается до значений, отвечающих началь ному состоянию. Под начальным, или исходным, состоянием пони мается состояние, имевшее место до проведения выработки или совокупности выработок, около которых определяются напряже ния и деформации. Начальное состояние в общем случае отличает ся от нетронутого состояния массива, так как последнее может быть возмущено выработками, проведенными ранее рассматривае мых. Соответствующие напряжения,, в отличие от а,ун, будем от мечать индексами «нуль»: ац0. В случае, когда упомянутые воз-
мущения отсутствуют, нетронутое состояние совпадает с началь ным и ацо=оин
формирование зоны опорного давления и сопровождающие era процессы происходят как в условиях опасности динамических яв лений, так и при отсутствии ее. Поэтому теория опорного давления применима к разнообразным задачам горного дела, в том числе и не связанным с темой данной книги. Однако применительно к проблеме динамических явлений она имеет ту особенность, что» описывает весьма существенные черты подготовительной стадии,, предшествующей горному удару или выбросу. Это дает возмож ность понять и оценить степень и характер влияния происходящих процессов на природу, механизм и опасность динамических явле ний.
Задача о тонком слое. Получим предварительно формулы для напряжений и смещений в симметрично сжимаемом тонком слое.. Изучение этого важного частного случая, будучи сравнительно простым, позволяет выявить основные закономерности опорного давления.
Слой является тонким, т. е. его толщина считается небольшой по сравненцю с характерным размером, определяющим изменениеграничных условий на контактах пласта с породами. Это позво ляет использовать упрощения, описанные в подразделе 3.5. В си стеме координат, изображенной на рис. 45, формулы (3.19), (3.21) записываются в виде:
о |
Х У !dx; |
|
(4.15> |
'yi = F (с |
Hr |
— i-i- |
(4.16). |
Xty1и л » |
h |
||
\ |
*0 |
|
|
где Oxi; Qy\— полные нормальные напряжения на площадках пер пендикулярных и параллельных плоскости слоя; а Ху\ — полные ка сательные напряжения на нижней границе слоя (они равны по величине и противоположны по знаку касательным напряжениям т на верхней границе); v\ — нормальные к плоскости слоя полные смещения нижней границы; F — функция, характеризующая рео логические свойства материала. Здесь и в дальнейшем характе ристики слоя используются без индексов (для вмещающих пород будет использоваться индекс 1).
Формулы (4.15), (4.16) относятся к части пласта, лежащей справа от начала координат (см. рис. 45). Они, как и все после дующие соотношения, остаются справедливыми и для любого дру гого тонкого слоя, например для левой части пласта, для целика и так далее. Нужно только вместо Л'0 на нижнем пределе интегри рования подставить соответствующую координату края слоя на его свободной границе с выработанным пространством. В случае про извольного выбора нижнего предела к членам, содержащим инте
__rfu,d% =4il+^<*+я)1|4J^A+C,j-
- 8( 1 + я) ( - т + 4 ) .
где p = (l+ s in p )/(l —sinp), %=M jEt ô=l-|-0*/|e*[, ^ — произ вольная точка в рассматриваемой области слоя; Ci — значение ах\ в этой точке; <т0 — прочность материала слоя; р — его угол внут реннего трения; 0*, е* — относительное увеличение объема и осе вая деформация при достижении остаточной прочности в условиях одноосного сжатия.
Вслучае, когда непосредственно у выработки образуется зона,,
вкоторой достигается остаточная прочность а* и деформация про исходит на горизонтальных участках запредельных диаграмм (рис. 7), имеем:
|
X |
|
°ÿi== °*Н |
/j" |
(4.21> |
|
*о |
|
ел. = 4 н 4 1 1+ Р8 (* + A)i4 J |
- |
|
- 8 ( 1 - f i ) |
|
°ху |
|
|
х0 |
Последние формулы справедливы при выполнении условия |
||
> »,* — X |
Jх°xv'dx' |
(4-22> |
|
х0 |
|
где Vi* = —s*h.
Из (4.20), (4.21) следует, что в зоне запредельных деформаций тонкого слоя
(4.23)
причем в точках, где достигается остаточная прочность, т. е. вы полняется (4.22), следует полагать М =0, Я=0.
Точно так же используются формулы (4.16), (4.17) и для про извольных кривых ог1= / г’(аз, ei), ез=<3(аз, ei), получаемых в экс периментах на жестком оборудовании. В результате, как показано,, получаются две зависимости, связывающие нормальные и каса тельные напряжения на нижней границе слоя со смещениями вдоль и поперек слоя на этой границе с породами, расположенны ми ниже пласта.
Подобные соотношения, связывающие граничные значения на пряжений и смещений, можно выписать и для надработанных по род, рассматривая их как упругое полупространство и используя хорошо известные формулы теории упругости. Тогда, задавая в соответствии с изложенным в предыдущем подразделе на части границы, отвечающей выработанному пространству, напряжения и объединяя соотношения с (4.16), (4.17) при учете непрерывности смещений V\, нормальных о у \ и касательных а Ху\ напряжений на контакте с пластом, получим полную систему уравнений, если из вестно какое-либо еще одно дополнительное контактное условие. Такие условия на разных участках границы могут быть разными. Они определяются реальными физическими условиями на контак тах. Так, для упругой зоны слоя при спайке на контактах оказы ваются непрерывными смещения — щ вдоль контактной поверхно сти. При проскальзывании смещения щ терпят разрыв на контак те, а задается условие <T*I/I= 0. В зоне необратимых деформаций также возможны различные законы взаимодействия на контактах. Как и в подразделе 3.5, можно рассматривать условия сухого и постоянного трения. В итоге получается система, решение которой ^определяет распределение напряжений и деформаций в предельно напряженной и упругой зонах слоя. Одновременно находится гра ница между этими зонами из условия непрерывного перехода од ной из них в другую. Для линейных зависимостей (1.11), (1.12) •система получается линейной.
Пока не будем конкретизировать вид формул для упругого по лупространства, контактных условий и отвечающей им системы уравнений, а рассмотрим важное свойство соотношений (4.16),.от носящееся к зоне запредельных деформаций. Существенно, что функция F {аз, 8i) перестает зависеть от второго аргумента, если деформация превышает значение е*, которому соответствует до стижение остаточной прочности а* (см. рис. 3). Разница между значениями <JWI==F(G3,. ъ\т) на максимумах запредельных кривых рис. 3 и значениями оУ1=Р{о$, е*) после деформирования до оста точной прочности о* не превышает исходной прочности на одноос ное сжатие егоПри достаточно большой величине |сг31 она срав нительно невелика. Поэтому, если зона необратимых деформаций является развитой и нормальные напряжения в значительной ее части велики, то практически одинаковые результаты дает исполь зование вместо (4.16) любого из выражений:
Оба они отвечают обычной теории предельного состояния. Од нако в первом из них прочность материала считается равной ис ходному значению <То» и во втором — остаточной прочности о*.
Точные значения напряжений оу\ находятся в диапазоне, границы которого определяются этими формулами для любого размера пре дельно напряженной зоны.
Присоединение к (4.24) условия сухого (с углом рк). или по стоянного трения на контакте с породами почвы слоя дает соотно
шения для нормальных оу\ и касательных 0*1/1 |
напряжений как |
функций от расстояния до обнажения: |
|
<?;/1—/п(|) » 0Ху\—/х (fi) • |
(4-25) |
Если р£ = const, то для сухого трения зависимости f„(?) и f, (?) по лучаются экспоненциальными; для постоянного трения zxyi = f^=
=T*=const,'а:функция fn(l) линейна. При весьма широких допу
щениях о виде |
паспорта прочности и контактных условий — из |
|
числа реально |
возможных — соотношения |
(4.24) приводят к вы |
воду о монотонной зависимости oyi = f n(i) |
нормальных напряже |
|
ний от расстояния до обнажения. Именно это обстоятельство огра ничивает размеры зоны необратимых деформаций — для неограни ченной зоны напряжения joyi.| возрастали бы беспредельно, что невозможно в силу физической сути изучаемой задачи, поскольку дополнительная пригрузка, испытываемая невынутыми частями слоя и возникающая из-за полного или частичного зависания по род кровли, конечна.
Формул (4.15), (4.24), (4.25) в сочетании с фактом монотонно сти функции fn(t) достаточно для выявления возможностей упро щения задачи об опорном давлении. Более точные и общие зави симости (4.16) понадобятся лишь для уточнения результатов и анализа устойчивости состояния равновесия.
Вид функций fn(?) и fT(?) при общих рассуждениях значения не
имеет. Можно, например, просто считать, что они заранее заданы как точные решения задачи для соотношений (4.16). Методы рас чета опорного давления, развиваемые в дальнейшем изложении, остаются пригодными при весьма. произвольных зависимостях fn(|) и /, (?).При изменении этих функций меняется лишь вид окончательных соотношений, но не формальная часть теории. Одщако для иллюстрации аналитических методов и оценок величин ’Удобно конкретизировать fn(i), fx(S). Простейшими и вполне до
статочными для иллюстраций и приложений аппроксимациями могут служить линейные зависимости
V = h («)= Ч - |
=/,№ ) = - V |
(4.26) |
Величины он, k*, т* в общем случае представляют собой коэф фициенты линейной аппроксимации. При этом а* характеризует напряжения вблизи от обнажения, a k* — темп нарастания опор ного давления по мере углубления в зону запредельных деформа ций. Очевидно., что величина Ok находится в диапазоне от нуля до прочности .куба достаточных размеров, вырезанного из пласта и
117
испытанного в шахтных условиях. Значения k*, т* сильно зависят от контактных условий. При гладких, контактах, например, £ *= = т * = 0 . При отсутствии проскальзывания эти характеристики от личны от нуля и могут достигать значительной величины. Их оцен ки при шероховатых контактах с прочными породами можно полу чить, используя приведенные в подразделе 3.5 данные* о несущей способности тонких слоев [см. формулы (3,32) — (3.33) и их об суждение]. Следует, однако, подчеркнуть, что эти оценки получе ны как косвенные следствия экспериментов, которые, конечно, не охватывали всего разнообразия возникающих на практике реаль ных условий (защемления пласта вмещающими породами, нали чия прослоек, трещин, неоднородностей и т. п.). Поэтому, будучи приемлемыми для получения качественных выводов и порядков величин, они при намерении использовать их для количественных расчетов на практике требуют сопоставления с данными шахтных исследований опорного давления. В то же время независимость формальной части теории от конкретного вида функции /п(|),
f,(£) дает средство для экспериментального нахождения парамет
ров линейной или какой-либо другой аппроксимации закона нара стания опорного давления в зоне запредельных деформаций.
Такое использование результатов является одним из важных приложений аналитического изучения опорного давления.
Простые приближенные оценки опорного давления. Даже если не исполь зовать реологические соотношения для пород почвы и ограничиться зависимо стями (4.25), можно получить простые оценки нормальных и касательных на пряжений в опорной зоне. Они являются общими, поскольку справедливы для любой сплошной среды, представляющей массив горных пород.
В декартовых координатах поле тензора полных напряжений ащ , дей ствующих в точках массива, удовлетворяет уравнению
до
7ZJ + lti = 0 ( / , / = 1 . 2 , |
3), |
(4-27) |
где Xj — декартовы координаты; уц — проекция на |
ось х,- |
силы тяжести; под |
индексом / (или i), повторяющемся в тензорном равенстве, как обычно, подра зумевается суммирование.
Интегрирование (4.27) по произвольному пространственному объему V и преобразование объемного интеграла от производных напряжений в поверхно стный дают
aniidS-f- JÏM № — О* |
(4.28) |
где Se— внешняя поверхность объема V (интеграл по внутренним поверхностям, образуемым раскрытыми трещинами я пустотами, равен нулю); a n<i — проек ция на ось Xi полных напряжений на площадке поверхности Se с внешней нор малью п.
Поле начальных напряжений о„<о удовлетворяет тому же уравнению (4.27) при замене индекса 1 на 0. Для него имеем
f W / S + ÇY/ ^ = 0, |
(4.29) |
Кv
где обозначение у»о учитывает, что в одной и той же точке объема V до и по сле проведения данной выработки могут находиться материальные точки с раз ным удельным весом. В частности, до проведения выработки в отвечающих ей точках у<о#0, а после них может оказаться у « 1= 0.
| («ni» — сшо) dS = J(Y10 — Yii) dV.
Отметим, что © общем случае величины с индексами 1 и 0 относятся к раз ным материальным точкам. Объемный интеграл представляет собой проекции на оси координат изменения веса пород в пространственном объеме V. Обозна чим эти проекции Fo< и выберем поверхность Se так, чтобы (/на включала почву
выработки Sв, произвольную |
поверхность 5 П, продолжающую 5 В (например, |
||
в качестве Sn можно принять почву пласта под его |
невынутымя частями), зем |
||
ную поверхность 5 3 и цилиндрическую |
поверхность |
Sc с вертикальными обра |
|
зующими. С учетом того, что |
на земной поверхности ffnfi=<T»<o=0, получим |
||
J |
(®m't |
°я/о) dS = F0(*. |
|
SB+VbSC
Разность <Tn(=<Tnii—Onio представляет ссК5ой дополнительные напряжения, обусловленные проведением данной выработки. Неограниченно расширяя ци линдрическую поверхность Sc и считая, что на ней дополнительные напряжения достаточно быстро убывают, имеем
cnidS = F i - F tti, |
(4.30) |
где Fi == j оnidS.
%
Величина F,- есть проекция на ось / суммарной силы, снятой с части по верхности выработки'Su. Левая часть (4.30) является проекцией на ту же ось суммарной дополнительной силы, пригружающей поверхность Sn, продолжаю щую SB и расположенную вне выработки. Для заглубленных выработок (ис ключая стволы) проекции Foi веса извлеченного материала малы по сравнению с Fi и можно пренебречь ими. Тогда
|
|
|
|
|
_ | a m.d S = F t-. |
(4.31) |
|
ми |
Эта формула выражает тот факт, что пригрузка, испытываемая невынуты- |
||||||
частями массива |
вне |
5 В, равна силе, снятой с части поверхности выработ |
|||||
ки Sв. |
|
|
|
(4.31) для плоского слоя (см. рис. 45) дает в проек |
|||
ции |
Применение формулы |
||||||
на |
ось |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
<y/S = Fff. |
Н-32) |
|
Здесь |
Fy |
представляет собой |
нормальную силу, снятую с почвы |
выра |
||
ботки. |
|
|
для |
практики |
случаев правые части (4.30)— (4.32) |
извест |
|
|
В ряде важных |
||||||
ны, что позволяет попользовать эти формулы для приближенного определения опорного давления, а также для контроля точности экспериментов и расчетов. В частности, для горизонтальной выработки, образованной на глубине Я, значи
тельна превышающей мощность 2ft, при отсутствии существенного |
давления |
пород кровли на почву имеем на SB |
|
Oyi==0, сгуо —уЯ, оу—Oyi—<Уус—уЯ, Fу— yHS0, Fоу— 2уЛ5в ^ Fу. |
|
Тогда |
|
j* <jydS = ^HSB. |
(4.33) |
Если в этих условиях экспериментально измерены напряжения, то формула (4.33) позволяет выполнить контроль точности опытов. Во многих случаях на практике измеряются ие сами напряжения, а некоторые связанные с ними ве личины, дающие относительную оценку опорного давления. Если некоторая
такая |
величина |
и»о приближенно пропорциональна |
дополнительному |
сжатию |
|
о у |
(W (f=si— k 0O y ) , |
причем коэффициент пропорциональности k Q неизвестен, то |
|||
(4.33) |
позволяет |
сопоставить замеренным значениям |
w0 напряжения, |
поскольку |
|
из |
(4.33) следует |
|
|
|
|
Для плоской задачи при симметрии относительно середины выработки (см. рис. 45) получаем
оо
*0
что позволяет осуществить тарировку: av= —w0/k0, <rv|— — Wo/ko—yH. Анало гично выполняется тарировка и при иной зависимости ui0 от ау или avu содер жащей один параметр. При существенном давлении пород кровли на почву вы работки для подсчета Fv используются полученные экспериментально зависи мости (4.6)— (4.12).
Другое приложение формул (4.30)— (4.33) для оценки опорного давления основано на сочетании их с монотонной зависимостью (4.26) для нарастающих нормальных усилий в зоне необратимых деформаций пласта. Фиксированность суммарной дополнительной силы Fv, снятой с почвы выработки и действующей на пласт, означает, что чем быстрее нарастают напряжения в краевой части (например, чем больше в (4.26) отношение k»/h), тем меньше размер а этой зоны. Он увеличивается с ростом суммарной дополнительной нагрузки Fv. Если
априори задать закон убывания напряжений ауi |
за точкой максимума опорно |
го давления (хт на рис. 45), то соотношений |
(4.26), (4.32) достаточно для |
нахождения величины а. Тем самым определяется и максимальное напряжение Oyim—fn (п). Эта формула может использоваться и в случаях, когда расстоя ние до точки максимума определяется экспериментально. При линейной аппрок симации (4.26)
ауип — Qk ~JTа’ |
(4.34) |
Вычисления показывают, что нередко различные предположения о законе убывания напряжений по мере удаления от точки максимума на бесконечность дают близким значения для расстояния а и максимального напряжения <г„)от. Это обстоятельство оказывается полезным для построения эмпирических зави симостей в случаях, когда получить более точное решение затруднительно либо когда в нем нет нужды. Так, например, вполне можно ограничиваться простей шим приближенным заданием эпюры опорного давления, удовлетворяющей (4.32) , при определении границ защищенных от динамических явлений зон. Соблюдение (4.32) означает соблюдение статической эквивалентности реальной и заданной нагрузки в опорной зоне. Понятно поэтому, что в силу принципа Сен-Венана погершиость в точках, удаленных от опорной зоны' на расстояния, заметно превышающие а, невелика. Прямые раочеты для очень разных эпюр
опорного |
давления (в том числе и таких, которые стремятся |
к бесконечности |
ira краю |
пласта) подтверждают это заключение показывая, что |
при выполнении |
(4.32) погрешность в определении границ защищенных зон действительно не велика [17].
Нетрудно получить формулы, аналогичные (4.31), и для моментов, дей ствующих на поверхностях. Они, как и (4.31), могут использоваться для конт роля точности экспериментов и решений, интерпретации результатов измерений опорного давления и для построения эмпирических зависимостей. Их вывод основывается на уравнениях равновесия (4.27).