книги / Механика горных ударов и выбросов

и имеется простое условие неустойчивости, которое фиксирует на­ грузку, отвечающую неединственности решения. Применимость этого критерия практически не зависит от конкретного вида рео­ логических соотношений, связывающих кинематические и силовые величины; достаточно считать, что эти соотношения содержат только тензоры напряжений и деформаций (приращений деформа­ ций) и не содержат градиентов этих величин. Тогда из того факта, что в задаче содержится лишь один характерный размер Я, выте­ кает, что если при некоторой внешней нагрузке q построено ре­ шение, удовлетворяющее условию

то для этой нагрузки имеется 'бесчисленное множество решений. Действительно, полагая сп = аз= 0 в кольце произвольного ра­

вольными, удовлетворив лишь условию непрерывности деформа­ ций при г==/?'). Таким образом, получается новое непрерывное решение исходной задачи. Таких решений бесконечное 'множество, поскольку рассуждения справедливы для любого /?', большего Я. Отсюда следует, что условие (1.17) определяет неустойчивость математического решения. На практике выполнению (1.17) отве­ чает полное разрушение горной породы в кольце вокруг выра­ ботки, расширяющемся вплоть до заполнения ее разрушенной

массой.

Другим общим моментом в рассматриваемой задаче является

маций.

Для любой среды на границе с упругой областью должны ос­ таваться непрерывными радиальные напряжения аз и смещения и. Поскольку ei = M/r, непрерывна и деформация et. Что же касает­ ся составляющих cri и ез, то они сохраняют непрерывность в одно­ родной среде и могут иметь разрыв, если зона упругих деформа­ ций представлена породами с иными механическими свойствами, чем те, которыми обладают породы, непосредственно прилежа­ щие к выработке. Эти два случая существенно отличаются и рас­ сматриваются отдельно.

pax, что позволяет легко проанализировать роль падающих участ­

В этих формулах помимо уже встречавшихся обозначений:

^о=К(я + 1/(р+0)а-4 я (1 + ^ (л + 1 )] ;

ро — значение |о3| на границе, отвечающей переходу от деформаций на падающих участках к деформациям на горизонтальных участках диаграмм. Значение ро определяется пересечением гра­

=2 + ( Л + 1 ) ( 8 - 1 ) .

Для нахождения смещений и контура выработки в зависимо­ сти от давления р на нем достаточно в формулах (1.25) — (1.27) положить а3= —р, Bi=u/R. В итоге получается зависимость р = р (и ), необходимая для расчета крепи.

Подстановка а3 и ei в (1.11) дает тангенциальное напряжение а\. Для закрепленной выработки на контуре ог3= 0 . Тогда, учиты­ вая, что' при запредельном деформировании в соответствии с ди­ аграммой (см. рис. 7) \е\\^ао/Е, согласно (1.11) получаем, что напряжения |oi| на контуре по абсолютной величине не превыша­ ют прочности на одноосное сжатие ( |cri (/?) J<сго) - Чем выше на-

грузка q на бесконечности, тем меньше тангенциальные напряже­ ния |cri | на контуре, и .при некотором ее значении они оказыва­ ются равными остаточной прочности а*. Если о*=0, то при этом O i(/?)=0, т. е. выполняется условие неустойчивости (1.17). Соот­ ветствующая нагрузка на бесконечности qu является критической. Для кусочно-линейной диаграммы (см. рис. 7) она определяется по формулам:

при р=?И (р¥=0°)

3 отвечают значениям б, равным соответственно единице, пяти и пятнадцати. Пунктирной линией изображена кривая, отвечающая углу внутреннего трения, равному 30° (fl=3) при 6=1. Очевид­ но, что при сохранении неизменными прочих параметров (Я, б) породам с большим углом внутреннего трения отвечает большая безразмерная критическая нагрузка. Из графиков (см. рис. 10)

также следует, что важным фактором является разрыхление на падающем участке: его увеличение (рост ô) заметно снижает ус­

тойчивость.

В случае, когда остаточная прочность нулю не равна, устойчи­ вость математического решения не теряется. Тем не менее оказы­

кривых (см. рис. 11) остается прежним (пунктирные линии). Раз­ ница состоит лишь в том, что участки, отвечающие <7><7а, пере­ стают быть строго горизонтальными и- приобретают небольшой наклон к оси абсцисс. Тем не менее рост смещений при q>qk происходит очень резко, небольшим изменениям внешних нагру­ зок соответствует значительный рост смещений. С практической точки зрения неподкреплен-ная выработка оказывается неустойчи­ вой при нагрузках, близких к критическому значению, вычислен­ ному без учета остаточной прочности (при а *= 0 ). Отсюда выте­ кает, что подсчет qu при сг*=0 имеет существенное практическое значение. Он является первым шагом в. решении вопроса о необ­

прос о рациональном выборе коэффициента запаса; речь идет о величине, к которой надлежит вводить поправку в виде этого

коэффициента).

Определение критической нагрузки важно и для анализа про­ цессов, происходящих вокруг скважин. При напряжениях в плас-

те, больших критических (<7><7л), зона необратимых деформаций около неподкрепленного отверстия может быть сколь угодно ве­ лика. Ее размер ограничивается лишь заполнением отверстия разрыхленным материалом, и при бурении шпура наблюдается повышенный (против номинала) выход буровой мелочи (штыба). Он тем больше, чем существеннее напряжения в месте бурения превышают критическое значение <7*. Выход штыба прекращается после того, как геометрические характеристики отверстия претер­ пят значительные изменения и образуется более устойчивый кон­ тур. Иногда не удается достичь такого устойчивого состояния и оказывается невозможным перебурить соответствующую область.

сущей крепи решен положительно, проводится расчет перемещений контура и давления на крепь. Для этого удобно использовать нор­ мированные смещения u'-=uEf (ftao), отпор р'=р/ао, остаточную прочность а'*=а*/ао и нагрузку q'=qfOo. Интегрирование (1.19) дает зависимость р'(—и') при заданном q'. Так, например, для кусочно-линейной аппроксимации (см. рис. 7) при р=3, ô=10, X— =М /Е = 1 получаются кривые, отвечающие формуле (1.25). Они изображены сплошными линиями Î, 2, 3 на рис. 12 при нулевой остаточной прочности и значениях q', равных 1,0; 1,8; 2,0. Эти зна­ чения qf превышают критическую нормированную нагрузку q'к= =<7л/его, которая в рассматриваемом случае составляет 0,62. Пунк­ тирные линии 1', 2', 3' отвечают о* = 0,1со. Кривые зависят только от свойств массива и показывают, какие радиальные смещения

получит порода на границе цилиндрической полости, если прило­ жить к ней нормальное давление р', а на бесконечности одновре­ менно создать гидростатическое сжатие q'. Естественно, что сме­

невелики и можно их специально не выделять.

С другой стороны, характеристика крепи р = р (—Икр) зависит

только от ее свойств. Отсчет смещений при ее получении произво­ дится от контура крепи. Если же, как и для массива, их отсчиты­ вать от контура выработки в полностью разгруженном массиве, то необходимо учесть начальные смещения и0. Их абсолютная вели­ чина представляет разность между радиусом R выработки в раз­ груженной среде и радиусом ненагруженной крепи *. Очевидно, что для крепи и=и0+ик9. В случае, когда массив и крепь нахо­ дятся в контакте, их смещения при отсчете от одной и той же гра­ ницы равны. Равны также по величине и напряжения на контакте крепи с породой. Поэтому, если в нормированных координатах (—и', р') изобразить зависимости р '(—и') для массива и для крепи

Из рис. 12 следует, что при q'^L\,5q'h небольшого отпора крепи достаточно для существенного уменьшения перемещений точек на контуре, причем с уменьшением остаточной прочности влияние отпора, крепи возрастает. Давление на крепь растет с увеличением внешней нагрузки q'.

Описанные вычисления дают среднее значение давления на крепь. После его нахождения проводится расчет крепи на проч­ ность с учетом возможных отклонений от средних нагрузок, их не­ равномерности, особенностей конструкции крепи, технологии ее возведения и эксплуатации. Останавливаться на этих вопросах не представляется возможным.

Подчеркнем, что если в рамках рассмотренной задачи об одно­ родной среде достигается критическая нагрузка, то происходящая при этом потеря устойчивости и заполнение неподкрепленной вы­ работки или скважины разрушенной породой протекает без дина­ мических эффектов — выделение энергии равно ее поглощению при расширении зоны необратимых деформаций. Избыток энергии, ко­ торый мог бы превратиться в кинетическую энергию летящих кус­ ков, отсутствует. Однако такой избыток, приводящий к динамиче­ скому явлению типа горного удара, может появляться в неодно­ родной среде **.

Неоднородная среда. Пусть вблизи от контура имеется коль­ цевая зона с внешним радиусом Ri и толщиной a=R i—R (см. рис. 9). Материал в ней деформируется в соответствии с полной диаграммой (см. рис. 3), а вне ее будем пока считать породы линейно упругими. Функции и константы, характеризующие свой­

* При проектировании радиус выработки может задаваться относительно нетронутого состояния пород. Он на величину иа отличается от R. Как пра­ вило, эту поправку можно не учитывать, если принять во внимание реальные допуски на радиусы выработок и малость величины ип-

** В других задачах (например, в задаче о целике) избыток энергии мо­ жет иметь место и для случая однородной среды.

где F' —dF(0, 8i)/<?8i. Здесь и ниже вместо R\ пишем R, так как

разность между ними по условию мала. Производная dufdq соглас­ но (1.32) обращается в бесконечность, меняя знак, при выполне­ нии равенства

к оси абсцисс. На восходящей ветви этой кривой она положитель­ на, совпадая с модулем упругости Е при упругих деформациях. Правая часть (1.33) при этом всегда отрицательна. Поэтому при

и, если модуль спада М достаточно велик, чтобы удовлетворялось равенство (1.33), происходит скачок. Он имеет место и при боль­ ших значениях М, поскольку производная dufdq не может быть •отрицательной (смещения отрицательны и растут по абсолютной величине с увеличением q). Отсюда следует, что скачок происхо­ дит при условии, полученном в работе [80],

. Проиллюстрируем сказанное и оценим выделяющуюся при скачке энергию на примере кусочно-линейной диаграммы (см. рис. 7), описываемой формулами (1.11). Подставляя эти формулы для F в (1.31) и решая относительно «, получим

Согласно условию, написанному во второй строке, деформация на