книги / Механика горных ударов и выбросов

Как хорошо известно, уравнения равновесия сами ne# себе не определяют напряженное состояние однозначно. Поле напряжений может быть охаракте­ ризовано с их помощью только в терминах оредних значений. Для конечных областей характеристики оредних напряжений дает теория, развития Синьорини (ом., например, [34]. .Равенства, аналогичные (4.31), при этом отвечают урав­ нениям моментов нулевого порядка. Обобщения соответствующих равенств для моментов порядка выше первого связаны с сильными допущениями об убывании |ап.| и с изменениями в определениях оредних величин. Анализ, останавли­ ваться на котором не представляется целесообразным, показывает, что полу­ чаемые средние значения, по существу, характеризуют поведение напряжений на бесконечности, которое задается априори. Они не несут информации об опорном давлении. Более полезным приложением общей теории средних пред­ ставляется выделение конечного объема и задание на основе теоретических со­ ображений и экспериментальных данных напряжений на его границах.

.. Полные системы уравнений. Перейдем теперь к более деталь­ ному рассмотрению задачи об опорном давлении, используя дан­ ные о реологических свойствах надработанных пород и выраже­ ния (4.16), (4.17), связывающие граничные напряжения и смеще­ ния. Рассмотрим упругие надработанные породы с модулем упругости Еj, коэффициентом Пуассона vi и горизонтальной гра­ ницей. Тогда в условиях плоской деформации (см. рис. 45) на этой границе выполняются следующие соотношения для дополнитель­ ных смещений и напряжений [37] :

пластования. В отличие от дополнительных величин о, ау, аху, они могут испытывать скачок при переходе из пород в слой (напри­ мер, при проскальзывании на контакте).

Дополнительные напряжения ау, аху известны на почве выра­ ботки, поскольку заданы полные (аИ1, oxyi) и начальные (ау0, охуо) напряжения. Так, при отсутствии существенного давления пород кровли на почву на ее границе выполняются равенства 0j/i=o.ryi= = 0 . Если при этом выработка образована в нетронутом массиве, то оу0=ОуН— —уН, ахуо= о хун=0. Тогда оу= —уН, аху= 0 на почве.

Подчеркнем, что упругость подработанных пород не предпола­ гается. Их свойства могут быть произвольными и отражаются за­ данием нагрузок на почву в соответствии с формулами (4.6) — (4.12), полученными на основе экспериментальных данных.

Переход в (4.16), (4.17) к дополнительным или в (4.35) к пол­ ным напряжениям и объединение этих соотношений при |х|>л*о, т. е. в области контакта слоя и пород, еще не дает замкнутой си­ стемы уравнений, если учесть только условия непрерывности ау1, аху\ и v\. Эти условия фиксируют лишь отсутствие отслоения пла-

ния при |л:| = х т опрёделяет границу зон необратимых и упругих деформаций.

Допустим, что задача нами уже решена. В итоге найдены мо­ нотонные функции (4.25), характеризующие нарастание опорного давления в зоне необратимых деформаций. Тогда (4.37) представ­ ляет собой систему для нахождения ау при |л:|>д:то. На границе предельно-напряженной и упругой зон напряжения ау остаются непрерывными. * Особенность рассматриваемой системы (4.37) состоит в том, что она содержит малый параметр, каковым являт ется полумощность слоя h. Это становится особенно рельефно при переходе к безразмерным переменным х"=х/хт ,

где b0=h/xm— малый параметр. Точке максиму*ма опорного дай ления отвечает |лс"|=1. В ней безразмерное напряжение а непре рывно.

Естественно ожидать, что если значения 60 очень малы, то ре щение системы близко к решению для частного случая, когда 60:=-- = 0. Детальные расчеты, выполненные в работе [30] для всевоз­ можных сочетаний параметров, характеризующих упругие свойст­ ва, контактные условия в упругих зонах и темп нарастания напря­ жений в зонах необратимых деформаций, полностью подтверж­ дают это предположение. Расчеты показывают, что оно вполне приемлемо не только для очистных выработок, но и для вырабо­ ток, близких к подготовительным. Тем самым установлено, что вместо сложной системы (4.38) при Ь0ф 0 можно рассматривать ее гораздо более простой частный случай, отвечающий bо=0. Тог да она сводится к уравнению

о

I&— X" = 0

* Требовать непрерывности касательных напряжений при использовании соотношений для тонкого слоя нужды нет, как и в аналогичных задачах о тон­ ком пластическом слое. Они сравнительно невелики и скачком меняют знак в местах стыковки зон, в то время как нормальная составляющая остается не­ прерывной и большой по абсолютной величине.

решение которого должно быть непрерывно при х"= \ . В исходных размерных переменных это уравнение имеет вид

J S —х —00

Оно соответствует задаче о бесконечной плоскости с разрезом \х\<хтл берега которого нагружены равными по величине и про­ тивоположными по направлению нормальными усилиями. Грани­ ца разреза совпадает с границей предельно-напряженной и пла­ стической зон в пласте. Она находится из условия непрерывности Gy на ней. Это условие является одновременно и условием конеч­ ности напряжений оу на краю разреза. При симметричной нагруз­ ке на берегах последнего оно имеет вид

хт _______

~хт

Таким образом, исследование обнаруживает возможность су­ щественного упрощения исходной задачи об опорном давлении путем сведения ее к соответствующей задаче о разрезе, условия конечности нормальных напряжений на краях которого опреде­ ляют размеры предельно-напряженных зон.

Нетрудно провести рассуждения, аналогичные приведенным, для системы выработок, трансверсально изотропной среды и про­ извольных в плане выработок. Во всех случаях достаточно выпи­ сать известные соотношения между напряжениями и смещениями на границах полос, полупространств, клиньев и присоединить к ним соотношения для слоя. При наклонном залегании рассмат­ ривается полусумма нормальных напряжений на верхней и ниж­ ней границе слоя, что позволяет свести этот случай к задаче, ана­ логичной задаче о горизонтальной выработке [30]. Учет давления пород кровли на почву осуществляется, как правило, на основё экспериментальных данных. В получающихся уравнениях все чле­ ны, обязанные своим возникновением взаимодействию пласта и по­ род в зоне упругих деформаций, малы при малой мощности слоя. Если ими пренебречь, то уравнения отвечают той или иной обла­ сти с разрезами. Границы предельно-напряженных зон при этом находятся из условий конечности напряжений. Поскольку соответ­ ствующие выкладки не содержат принципиально новых мётодов; а отличаются лишь большей громоздкостью, выполнять их нужды нет.

Решение задач о разрезах при условии конечности нормальных напряжений гораздо проще решения исходных систем. Это позво­ ляет существенно продвинуться в изучении опорного давления. Теперь можно, например, уже не предполагать заданным закон на­ растания напряжений в зоне необратимых деформаций, а найти его, используя полученные упрощения. Так, в условиях плоской" деформации из хорошо известных формул теории упругости для

прямолинейного разреза (см. [37] ) следует для смещения его бе­ регов

X,

dv 2(1—v2,) ____ 1

m

В зонах необратимых деформаций (jto^(x|^Xm) напряжения сг„ связаны со смещениями v формулой, получающейся из (4.23) переходом к дополнительным величинам. Тогда, поскольку при

уточнений, основанных на таком подходе, обсуждается в 5.3, по­ священном изучению устойчивости, поскольку именно при рассмот­ рении устойчивости возникает практическая необходимость непо­ средственно использовать данные о падающих участках запредель­ ных кривых и, в частности, о модуле спада. Что же касается на­ хождения опорного давления, то, как следует из сопоставления формул (4.24), его зачастую можно определять, считая заданной функцию M s) в (4.25) [например, использовать линейную аппро­ ксимацию (4.26)]. Размер а зоны необратимых деформаций нахо­ дится при этом из условия конечности нормальных напряжений на краю разреза. Зная а, нетрудно вычислить максимальные на­ пряжения Oyim, если воспользоваться формулой (4.34).

Основной вывод о возможности перехода к задачам о матема­ тических разрезах в упругом пространстве подобен исходному допущению теории трещин (последние обычно также рассматри­ ваются как математические разрезы) [30]. В обоих случаях та­ кой переход является следствием локальности зоны значительных необратимых деформаций. Это обстоятельство определяет далеко идущую аналогию между рассматриваемыми задачами горной гео­ механики и задачами теории трещин, несмотря на очевидные внешние различия в масштабах и проявлениях описываемых про­ цессов. В частности, как и в теории трещин, в теории опорного давления весьма полезными оказываются коэффициенты интенсив­ ности напряжений, о которых подробно говорилось в 2.2. Сведения о них понадобятся при обсуждении простого способа нахождения опорного давления — так называемого метода коэффициентов ин­ тенсивности напряжений, или, короче, метода ki [30, 58].

Метод ki. Решение задач о разрезах с удовлетворением усло­ виям конечности напряжений не встречает принципиальных труд­ ностей при использовании ЭВМ. Тем не менее желательно иметь простые приемы, позволяющие с приемлемой для практики точ­ ностью свести вычисления на ЭВМ к минимуму, а во многих слу­ чаях и вовсе обойтись без них. При разработке таких приемов точные решения служат для оценки погрешности.

Задача об опорном давлении зачастую допускает использова­ ние упрощенного метода расчета, идея которого тесно связана

контура Li, обусловленный заданной нагрузкой на поверхности вы­

плоской задачи о загрузке полоски шириной щ в устье полубесконечного разреза напряжениями (4.41). Такое допущение обычнопринимается и хорошо себя оправдывает при изучении условий распространения трещин. При этом вид функции fn не конкрети­ зируется, а величина k'u принимается константой материала. Од­ нако в нашем случае не идет речи о критической силе, а разло­ жение (4.42) служит для нахождения границ, отвечающих усло­ вию конечности напряжений. Как будет отмечено ниже, на примерах, использование при подсчете k'u формул для полубес-

конечного разреза обеспечивает высокую точность и в задаче об опорном давлении. По формулам плоской задачи теории упруго­ сти [37] для полубескоиечного разреза имеем

т. е. величина k'u определена простой универсальной зависи­ мостью.

Для искомого контура Ъа, отвечающего условию конечности,, напряжения av\не имеют особенности в его точках, т. е.

(4-44> где kla, k'la, k"la— значения ku, k'u, k "u на контуре La, причем

согласно (4.43)

(4-45>

о

В дальнейшем с целью упрощения обозначений вместо k"la бу­

дем писать просто k\. Тогда подстановка (4.45) в (4.44): даетуравнение для определения расстояния а, соответствующего ко­ нечности напряжений,

( « б )

о

Левая часть (4.46) задана с точностью до искомого значения а.. Правая часть представляет собой обычный коэффициент интенсив­ ности нормальных напряжений на контуре La, обусловленный за­ данной нагрузкой на поверхности выработки и на бесконечности.. Подчеркнем, что ki зависит от а. Поэтому уравнение (4.46) отно­ сительно а в общем случае целесообразно решать с помощью по­ следовательных приближений. На первом шаге , ki вычисляется для разреза, ограниченного контуром выработки L&. После этого

ние естественным образом распадается на изучение роли внешних обстоятельств, суммируемых величиной ki, и внутренних, которые определяют скорость нарастания опорного давления и характери­ зуются прежде всего отношением k*/h. Такое резкое разделение влияния внешних и внутренних факторов дополнительно сближает теорию опорного давления с теорией трещин. Ему соответствует классификация горнотехнических условий «по месту» [45—47] и классификация пластов по степени их потенциальной опасности в отношении динамических явлений.

Формулы (4.48) — (4.51) подтверждают, что зачастую вполне допустимо приближенно задавать закон нарастания опорного дав­ ления. Действительно, как отмечалось, закон нарастания, соответ­ ствующий точному решению (4.16), (4.17), находится в диапазоне, определяемом соотношениями (4.24). Разница между ними со­ стоит лишь в том, что первому из них отвечает исходная ао, а вто­ рому— остаточная а* прочность. Иначе говоря, для первого Ok=

=—OQ, а для второго сть=—а*. Однако величина ст/{ входит только

варгументы функций /« и 4а, которые изменяются очень медленно для развитых зон необратимых деформаций. Соответственно при этом не слишком велико и влияние тонких деталей запредельного деформирования на опорное давление. В итоге зависимость fn(£), необходимая для его нахождения по формуле (4.46), может быть получена непосредственно по обычной теории предельного состоя­ ния при том или ином условии на контактах с окружающими по­ родами. Представленные формулы (4.48), (4.50) отвечают посто­

янному трению на контактах. Аналогичным образом, подставляя в (4.46) функцию fn(E) для условия сухого трения, нетрудно по­ лучить формулы для а и оу\т при этом условии. Нужно, однако, еще раз подчеркнуть, что хотя напряжения в развитой предельно­ напряженной зоне могут быть с достаточной для практики точ­ ностью определены без учета запредельных деформаций, устойчи­ вость соответствующего состояния равновесия и его особенности

нельзя изучить, не привлекая данных о падающих участках диа­ грамм (см. рис. 3). Возможность такого анализа предусматрива­ ется формулами (4.16), (4.17), (4.40) и будет использована в даль­ нейшем изложении при исследовании устойчивости.

Оценки погрешности метода ki, выполненные в [30] путем сравнения с точными решениями для ряда задач, показали, что этот метод обладает высокой точностью и применим для анализа) пространственных задач об опорном давлении. Даже для вырабо­ ток с размерами, близкими к размерам зон необратимых дефор­ маций, и для целиков со сливающимися зонами, формирующимися у противоположных краев, погрешность в определении расстояния до точки максимума не превышает, как правило, 10%. Для очист­ ных выработок она ничтожна. Все это создает предпосылки для широкого использования метода k\ при расчетах опорного дав­ ления.

Применение метода ki сводит задачу об опорном давлении- к нахождению коэффициентов интенсивности нормальных напря­ жений для разреза с формой, соответствующей поверхности почвы выработки. Это позволяет использовать многочисленные результа­ ты теоретического и вычислительного характера, полученные о ко­ эффициенте интенсивности в теории трещин. В частности, очевид­ на применимость методов нахождения k\, основанных на инва­ риантном интеграле энергии, обсуждавшемся в 2.2 (см.,, например, [53]), а также сведений о значениях ki для множества решенных к' настоящему времени задач (см., например, [43, 58, 69, 89]). Часть из них, имеющая наибольшие приложения к горной геомеха­ нике, приведена в приложении.

В теории опорного давления, как и в теории трещин, идея ис­ пользовать коэффициенты интенсивности и ее применимость вовсе не связаны с конкретным видом зоны необратимых деформаций. Последняя не обязательно должна быть представлена частью тон­ кого слоя, а малым параметром не обязательно является его полумощность h. Рассмотрение именно этой задачи, помимо ее само­ стоятельного практического значения, позволило обнаружить об­ щую закономерность, состоящую в том, что ситуация около края очистной выработки определяется некоторыми интегральными ха­ рактеристиками геометрических особенностей задачи и распреде­ ления внешних нагрузок. Роль таких характеристик играют коэф­ фициенты интенсивности ki, kn, km, определяющие асимптотику напряжений вида (2.13). Подобная асимптотика, как и в теории трещин, вполне приемлема на расстояниях, больших размеров зо­ ны необратимых деформаций, но в то же время заметно меньших размеров выработки в плане. Поэтому коэффициенты интенсивно­ сти напряжений являются универсальными характеристиками внешних условий не только в задачах теории трещин, но и в зада­ чах о зонах необратимых деформаций около выработок — во мно­ гих случаях можно окружить край выработки некоторой поверх­ ностью Sa, на которой задать напряжения по формулам (2.13), пользуясь только коэффициентами интенсивности. После этого