книги / Механика горных ударов и выбросов

ла — Мора, а величина с л— с обычным сцеплением. Понятно, что

этот вывод остается в силе в частном случае, когда поверхность SB •совпадает со всей поверхностью трещины. Из (2.36) следует, что средний угол чрсо—я/2, образуемый участками SB с линией действия напряжения <п, равен — (я/4—рс/2), т. е. он совпадает с углом на­

ключения не имеют места — угол трения на поверхности трещины не совпадает с углом трения, определяемым законом Кулона — Мора, и наклон участков SB не совпадает с наклоном макроскопи­ ческих площадок скольжения.

Конечно, принятые выше для конкретности допущения об осо­ бенностях взаимодействия берегов трещин не охватывают всего множества случаев, которые могут реализоваться в действительно­ сти. Однако при любом характере взаимодействия ход рассужде-' ний остается неизменным: используется условие продвижения тре­ щины типа (2.31) и в него подставляются значения опо> тпо> вычис­ ленные по формулам Коши, и значения апь ттеь определяемые условиями взаимодействия поверхностей трещин. Можно также вместо напряжений использовать смещения, привлекая соотноше­ ния, связывающие напряжения и смещения на поверхностях тре­ щин. В итоге получается зависимость между макроскопическими напряжениями <п, сг2, Оз» отвечающая продвижению трещин (устой­ чивому или неустойчивому). Подобные расчетные схемы позволя­ ют описать многие эффекты, наблюдаемые в макроскопических экспериментах. Так, учет взаимодействия соседних трещин позво­ ляет проследить переход от устойчивого роста к неустойчивому распространению. Этому переходу отвечает изменение в характере деформирования: из допредельного он становится запредельным. Нелинейное соотношение хп\{оп\) для взаимодействия противопо­ ложных поверхностей трещин приводит к нелинейной зависимости •сгДстз). Рассмотрение роста трещин во времени (задание скорости движения как функции коэффициентов интенсивности) позволяет •описать эффекты макроскопической ползучести и так далее.

2.4. ДЕЙСТВИЕ РАСТЯГИВАЮЩИХ УСИЛИЙ

Рассмотрим сначала действие на изолированную трещину в глу­ бине тела только растягивающих усилий ст3> 0 (рис. 22,а). Берега трещин при этом расходятся и взаимодействие между ними отсут­ ствует. В формулах предыдущего подраздела этому случаю отве­ чают условия а1=^гп1= 0, <pc= 0, ci= c2= c 3= 0. Тогда (2.31) прини­ мает вид

Подстановка (2.38) и (2.41) в '(2.40) и использование критерия обобщенного разрыва (2.39) после сокращения на kic дает

Эта формула не содержит k\c и совпадает с приводившимся в 1.1 эмпирическим критерием (1.5). Преимуществом теоретического вывода является возможность обобщения на случай трещины, на­ ходящейся у поверхности и содержащей газ [33].

Пусть, например, трещина с характерным размером 2/ нахо­ дится на расстоянии Нс от поверхности при совместном действии» сжатия ai и растяжения аз. Расчетная схема и схемы* эквивалеит-

РИС. 23. Эквивалентные схемы при одновременном действии растяжения и сжа­ тия на тело с трещиной у поверхности:

а — расчетная схема; б, в — эквивалентные схемы

ные ей в силу действия принципа суперпозиции, представлены на рис. 23. Вид условия (2.39) сохраняется. Однако, составляя выра­ жения для &ц и kiz типа (2.40), следует учесть влияние поверхности1 тела

kii=aSfptyc (Hc/l) ; &12=(71/сф (Нс/1) ,

где фс№ //) и ф (# с//) — функции, определяемые отношением рас­ стояния Нг фт поверхности тела к -характерному размеру трещи­ ны Нс от поверхности тела к характерному размеру трещины /. Очевидно, что при больших Hejl приходим к схеме внутренней тре­ щины, рассмотренной выше, т. е. фс(оо) = ф ( о о )= 1.

Анализ, подобный тому, который выполнен для внутренней трещины, с учетом (2.38) и (2.41) дает условие разрушения

(2.43)

которое отличается от (2.42) только множителями фс и ф. Их оцен­ ка выполняется на основе следующих соображений.

Функцию фс(Нс/1) можно определить с помощью данных

овлиянии свободной поверхности на коэффициент интенсивности

вкакой-либо частной задаче о трещине, на берега которой воздей-

ствует заданное давление. Так, в случае сквозной трещины в пла­ стине (см. рис. 19,6) зависимость фс от Hcjl изображается сплош­ ной линией на рис. 20. Конфигурация границы мало влияет на функцию фс, что наглядно иллюстрируется пунктирной линией на том же рисунке, отвечающей круглой в плане трещине с радиу­ сом /. Что касается зависимости ф от # с//, то экспериментальные данные о разрушении образцов при сжатии косвенно свидетельст­ вуют о том, что рост трещин, расположенных в глубине тела и у его поверхности, происходит примерно одинаково [73]. Кроме того, в испытаниях на сжатие, определяющих оо, не выделяется вклад в суммарный эффект разрушения трещин, отстоящих на раз­ ных расстояниях от поверхности. Сказанное позволяет заключить, что ф »1 . Тогда формула (2.43) принимает вид

Здесь учтено, что так как напряжения oi сжимающие (<TI<C0), то

— OI=|<JI|. Аналогичная замена возможна и в формуле (2.42) для внутренней трещины. Эта формула представляет собой частный случай (2.44), отвечающий большим значениям Hcfl, когда фс=1.

2.5.ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНИХ НАГРУЗОК

ИВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ГАЗА

Большую роль в подготовке и развитии выброса играет рост трещин при совместном воздействии горного и газового давлений [1, 33, 4.9, 58]. Такой рост наблюдается в зоне необратимых дефор­ маций в подготовительной стадии динамических явлений (рис. 24) и интенсивно происходит вблизи от фронта разрушения при рас­ пространении волны дробления (рис. 25). Для разработки методов прогноза необходимо знать критические сочетания параметров гор­ ного и газового давлений, приводящие к прорастанию трещин. Это Можно сделать с помощью результатов, полученных в предыдущих подразделах.

Достаточно заметить, что в силу линейности задач действие внутреннего давления р эквивалентно приложению дополнитель-

РИС. 24. Рост трещин в призабойной области пласта:

а — схема нагружения призабойной области; 6 — исходная схема; в — эквивалентная схема

ных растягивающих усилий той же величины. Поэтому для тре­ щины, расположенной в глубине опорной зоны, имеем эквива­ лентные схемы б и в рис. 24. Для трещин, находящихся вблизи от поверхности, эквивалентны схемы а я б рис. 25.

При р— |сгз| > 0 имеем задачу о росте трещины при совместном действии сжатия ai и растяжения величиной р— |а3|, изучавшую­

ского значения kic от наличия газа. Зная эту зависимость и при­ меняя линейные соотношения (2.38), (2.41), нетрудно ввести по­ правку в Gp и 0о, не прибегая к опытам на одноосное растяжение и сжатие в газовой атмосфере. Специальные эксперименты на пес­ чанике по изучению зависимости k\c от наличия метана показали,, что величина k\z немного (в пределах экспериментального раз­ броса) увеличивается. Можно предполагать, что и для других пород и газов это влияние невелико.

С учетом сделанных замечаний из (2.44) получаем, что крите­ рий роста трещин, находящихся на расстоянии Нс от поверхности под действием внешних сжимающих нагрузок ai, а3 и внутреннего давления газа р, имеет вид [33]

* £ ^ ü iL + L ïii = i. ТС ср 1 °о

Условие распространения трещины, следующее отсюда, можно записать в форме

где

1

(2.46)

тГ ~ Фс(1- К Ь Ч )

В самом общем случае, если уравнение поверхности разруше­ ния в пространстве главных напряжений Gw <тг, аз при отсутствии таза имеет вид <ра(ai, аг, аз)==аР, то при наличии внутреннего га­

зового давления в рамках линейной механики разрушения имеем условие [58].

Эта формула хорошо согласуется с экспериментами как при одноосном сжатии образцов, так и наличии бокового давления. При этом она остается пригодной как для внутреннего давления, создаваемого газом, так и при давлении от действия жидкости (воды, керосина). Последнее свидетельствует о том, что критиче­

ко в (2.46) и (2.47) эта поправка, как правило, весьма незначительна.

Сочетания Горного и газового Давлений, отвечающие внутрен­ ней трещине, изображены на рис. 26 прямой 1. Из рассмотрения Графика следует, что совместное действие напряжений of и р— |аз| заметно снижает величину газового давления, необходимую для роста трещины, по сравнению с тем случаем, когда газ действует при отсутствии внешнего сжатия ai. Например, в случае одноосно­ го сжатия (аз=0) при o i= —0,8ao для роста трещины достаточно, чтобы давление в ней составляло лишь две десятых прочности на растяжение аР, в то время как при отсутствии сжатия (ai=0) необходимо, чтобы р превышало или было равно аР. Из (2.45), (2.46) следует также, что уменьшение |ai| (например, вследствие приближения забоя) способствует прорастанию трещин. Понятно,

что этот процесс сопровождается перестройкой и поля напряжений: <п ( 1011 уменьшается).

На расстояниях от границы, меньших или порядка размеров трещины, прорастание трещины дополнительно облегчается. Крити­ ческие сочетания щ и р— |<тз| для разных значений Яс// показаны, на рис. 26 пунктиром. Из рассмотрения этого рисунка следует, что- у поверхности при фиксированном давлении газа для роста трещин, достаточно меньшего сжатия |oi|, а при заданном сжатии — мень­ шего давления, чем в глубине тела. Поскольку фронт дробления представляет собой текущую поверхность тела при выбросе, то из. сказанного ясно, что прорастание трещин у фронта при заданных. р и at облегчается по сравнению с их ростом в зоне опорного дав­ ления в подготовительной стадии динамического явления. Кроме.- того, нужно иметь в виду, что из-за роста трещин в подготовитель­ ной стадии и перед фронтом разрушения могут снижаться и вели­ чины оо, сгр по отношению к значениям, характерным для материа­ ла, не подвергавшегося необратимым деформациям. Это обстоя­ тельство, особенно существенное для слабых пород типа углей,, тесно связано с закономерностями деформирования за пределом прочности и еще более облегчает отрыв. Оно также обнаруживает трудности, стоящие перед непосредственным применением (2.45), (2.46) для определения условий отрыва для углей. По существу,, фиксируя Go и ар, равными их значениям для неповрежденного предварительными необратимыми деформациями материала, мож­ но прийти лишь к сравнительной оценке ситуаций по степени их. выбросоопасности.

Другим фактором, осложняющим использование следствий ли­ нейной механики разрушения для анализа выбросов угля и газа,, является их специфическая структура. Для сложных, тектонически •перемятых, препарированных выбросоопасных углей, которые об­ ладают большим числом природных пересекающихся трещин, де­ лящих материал на мелкие блоки, применение линейной механики разрушения может служить лишь для определения общих тенден­ ций и иллюстративных целей. Адекватное количественное описаниепроцессов, происходящих в таких материалах, требует серьезных исследований по совершенствованию прежде всего самой теории разрушения. Тем не менее простые формулы типа (2.45) указыва­ ют те параметры и их сочетания, которые следует иметь в виду при разработке методов прогноза выбросов угля и обеспечения безопасности. Вместо некоторых из входящих в (2.45) величин можно, например, использовать показатели, связанные с ними корреляционно, а критические значения фиксировать непосредст­ венно по статистике выбросов. Как показывает анализ (см. 7.2), этот путь оправдывает себя. Одновременно теория вскрывает и те принципиальные трудности, которые снижают надежность мето­ дов, предназначенных для оценки опасности выбросов угля и газа.

Указанные осложняющие обстоятельства не имеют столь боль­ шого значения для сравнительно прочных пород типа песчаников. К ним непосредственно применимы полученные условия (2.44) —

(2.47). Трещины в таких породах могут рассматриваться как изо­ лированные, их развитие происходит в соответствии с закономер­ ностями линейной механики разрушения, существенный рост тре­ щин происходит непосредственно у обнаженной поверхности. По мере удаления от нее их прорастание согласно (2.45), (2.46) за­ трудняется, и в результате возникает картина рассредоточенного разрушения, изображенная на рис. 27. При движении фронта дробления в процессе выброса она перемещается вместе с фрон­ том [ 1].

Давление газа р, входящее в полученные формулы, представля­ ет собой текущее значение, отвечающее сложившейся ситуации. Во многих случаях оно отличается от при­ родного газового давления в силу двух причин: во-первых, имеет место фильтра­ ция газа в выработки; во-вторых, развитие трещин сопровождается увеличением их объема, что согласно уравнению состояния отражается на давлении газа. Обе причи­ ны ведут к его понижению. При этом рост и раскрытие трещин сказывается и на* фильтрации, сильно, увеличивая газопрони­ цаемость в плоскости раскрывающихся •трещин. Так, при разгрузке от горного дав­ ления, вызываемой отработкой защитных пластов, резко возрастает газопроницае­ мость в плоскости защищаемого пласта.

Благодаря этому проведение по нему вы­ работки сопровождается дегазацией приза­ бойной области. Давление в ней. падает, и условия разрушения не выполняются. Тем

самым обеспечивается безопасность на значительных расстоя­ ниях от защитной выработки [58]. Аналогичные эффекты имеют место и в случае разгрузки призабойной области с помощью раз­ грузочных щелей. Изменение давления вследствие увеличения объема трещин при их росте и раскрытии в подготовительной ста­ дии представляет собой быстропротекающий процесс по сравнению с падением давления, обязанным фильтрации газа в выработки. Это обстоятельство облегчает рассмотрение задач роста трещин и фильтрации. Появляется возможность частично разделить их. Можно отдельно изучить рост трещин и изменение давления при заданном исходном распределении давления газа, а полученные данные, в свою очередь, использовать как исходные для соверше­ ния очередного шага по времени, учтя изменения в коэффициентах газопроницаемости и начальных условиях. Таким образом, в прин­ ципе возможно проследить весь процесс изменения параметров от некоторого фиксированного состояния.

Основную трудность представляет не столько само решение задач, сколько ограниченность информации о раскрытии трещин и его связи с коэффициентом газопроницаемости.

3.ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ

ВГОРНОЙ ГЕОМЕХАНИКЕ

3.1.О ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ

ВМЕХАНИКЕ

Динамические явления, как и всякое бурное разрушение, свя­ зано с потерей механической системой устойчивости состояния равновесия. Поэтому изучение проблемы устойчивости составляет важную часть теории, позволяющую понять происходящие процес­ сы, получить необходимые для практики критерии опасности, пра­ вильно оценивать горнотехнические ситуации и разрабатывать ме­ ры борьбы с динамическими явлениями.

Впервые вопрос об устойчивости был поднят Эйлером. Им рас­ смотрена устойчивость равновесия сжатого упругого стержня. В дальнейшем его метод был развит Лагранжем. Суть подхода состоит в том, что потеря устойчивости отождествляется с сущест­ вованием новых форм равновесия, сколь угодно близких к исход­ ному состоянию равновесия. Таким образом, по Эйлеру — Лагран­ жу неустойчивость отождествляется с бифуркацией решения ста­ тической задачи.

Во многих практически важных случаях подобное определение неустойчивости оправдывает себя. Это способствует его широкому использованию в инженерных приложениях. Однако иногда би­ фуркационный подход становится непригодным — система, устой­ чивая по Эйлеру — Лагранжу, оказывается явно неустойчивой на практике. Такое положение возникает, в частности, при нагруже­ нии упругого стержня следящей силой, т. е. силой, направление которой совпадает с касательной к стержню в точке приложения нагрузки. Другим примером может служить карандаш, поставлен­ ный на стол острием вверх. Бесконечно малые отклонения его от положения равновесия не приводят к потере устойчивости, т. е. с формальной точки зрения он устойчив. Однако практически ка­ рандаш неустойчив — реальные отклонения, вызываемые внешни­ ми возмущениями, всегда конечны, и невозможно в обычных условиях хранить его в вертикальном положении.

Подобные задачи, для которых подход Эйлера — Лагранжа непригоден, не столь редко возникают на практике, чтобы можно было их игнорировать. Для того чтобы охватить эти задачи, при­ ходится изменять определение устойчивости.

Значительную часть трудностей (но не все) удается преодолеть на основе определения, данного Ляпуновым, согласно которому рассматриваются не смежные формы равновесия, а движение си­ стемы при малых начальных отклонениях от исходного состояния