книги / Механика горных ударов и выбросов

где ДА — работа внешних сил при изменении смещений на Si—5* от tiio до т:

ДЛ= dS,

ДU — приращение энергии деформаций в объеме V\ при измене­ нии смещений от м,о до щ (в V\ предполагается наличие потенциа­ ла деформаций):

dxi

Ua— исходное значение энергии деформаций объема VV, U— зна­ чение энергии в V\, достигаемое после того, как исходные смеще­ ния Uio получают приращения Ащ.

Согласно (3.8) величина ЛЭ представляет собой изменение по­ тенциальной энергии объема Vu в котором не происходят запре­ дельные деформации.

Рассмотрим теперь величину

I

ё = - J aniz^Ui-

to

Она является положительной при нарастающей запредельной деформации. Ее физический смысл состоит в том, что она дает потери энергии, отнесенные к единице площади границы S* обла­ сти запредельных деформаций. В разных точках S* эти потери в общем случае могут быть разные. Интеграл

т. е. АК представляет собой разность между притоком энергии из Vi и поглощением энергии в У2 при изменении возможных смеще­ ний от Шо ДО И/.

Условие устойчивости (3.1) принимает вид

а условие неустойчивости (3.4) записывается в форме

в частной задаче о скачкообразном разрушении тонкого кольцевого слоя, рассмотренной в конце 1.3. При этом соотношение (3.12), как там показано, получается без привлечения физических сообра­ жений, непосредственно из математического решения. Разность (3.10) в этой задаче в точности равна кинетической энергии, вы­ деляемой при скачке.

Подобное полное совпадение величины АК с приобретаемой кинетической энергией, а условия (3.12) — с математическим усло­ вием скачка имеет место всегда, если возможные смещения выбра­ ны конечными и таковы, что рассчитанные по ним напряжения оказываются непрерывны на границе зоны запредельных деформа­ ций 5*. Нужно, однако, подчеркнуть, что осуществить такой выбор в общем случае затруднительно и об устойчивости по (3.11), (3.12) проще судить, не предъявляя к полю смещений дополнительного требования давать напряжения, непрерывные на 5*.

Все же, пользуясь тем, что на участках остаточной прочности деформации произвольны, молено иногда сравнительно просто опре­ делить смещения, отвечающие полному разрушению в Vz и даю­ щие непрерывные на S* напряжения. Так, например, если остаточ­ ная прочность равна нулю, то под Ащ можно понимать смещения, получающиеся из решения задачи для объема Vi при разгрузке поверхности S*. Тогда остается рассмотреть, достаточны ли эти смещения, чтобы, продолжив их в объем \\ получить деформации, во всех точках У2 превышающие по абсолютной величине предель­ ные деформации, которые соответствуют полному разрушению при одноосном напряженном состоянии. Если такое продолжение воз­ можно, то приходим к новому решению задачи, для которого в Vz напряжения равны нулю (материал полностью разрушен), а по­ верхность S* разгружена.

Существенно то, что для конечного объема V%величина g всег­ да ограничена значением go, отвечающим полному разрушению в Vz. Понятно, что в общем случае go зависит от величины объе­ ма Vz.

Ясно, что необходимым условием устойчивости является нера­

где A S — площадь поверхности 5*.

Величину go при остаточной прочности, .равной нулю, можно получить следующим образом. Считая, что в каждой точке Vz ма­ териал деформируется необратимым образом от исходного состоя­ ния по некоторому пути до полного разрушения, следует выбрать

этот путь так, чтобы на нем работа деформации единицы объема была минимальна. Интегрируя работу по всем точкам Уг, полу­ чаем go. Деформации при этом, как правило, не будут удовлетво­ рять условиям совместности, т. е. им не будет отвечать некоторое поле смещений. Однако, поскольку при полном разрушении они становятся произвольными, а напряжения равными нулю, оче­ видно, что всегда можно добавить произвольные слагаемые, де­ лающие деформации совместными и не изменяющие величины затраченной на полное разрушение работы.

При малой по сравнению с характерными размерами площа­ ди AS условие (3.14) совпадает с условием неустойчивости Гриф­ фитса (2.2), постулируемом в теории трещин.

Действительно, в этом случае суммарное приращение поверх­ ности AS вдвое больше приращения A5i поверхности одного из берегов трещины (AS=2ÀSi). Тогда —A 3[A S =—0,5ДЭ/ ASi, и (3.14) принимает вид (2.2).

В горную геомеханику условие (3.14) введено при изучении горных ударов по аналогии с теорией трещин [48, 58]. Из пред­ ставленных выше рассуждений следует, что оно является весьма общим и его применимость не ограничивается случаем малой ве­ личины AS. Из (3.14), как и в теории трещин, изложенной в пре­ дыдущей главе, в частных случаях следует условие критического

которое применительно к проблеме динамических явлений предла­ галось в работе [68] на основе общефункционального подхода к проблеме разрушения и получено как следствие (3.14) в работах

и напряженного состояния в ней. Это наглядно проявляется В част­ ных задачах, например в задаче о разрушении кольцевой зоны около выработки (см. 3.1). Лишь при неизменности области У2 и единообразии процесса деформации в ней величину go можно считать постоянной. В задачах горной геомеханики (в отличие от многих задач теории трещин) подобная «автономность» объема Vz реализуется реже: объем У2 и значение go меняются с изменением, например, ширины кольцеобразной зоны вокруг капитальной вы­ работки, мощности пласта, размера целика и т. д.

Интегральные условия (3.13), (3.14) удобны для практического использования, позволяют во многих случаях сравнивать между собой горнотехнические ситуации и количественно оценивать опас­ ность возникновения динамических явлений (особенно горных уда­ ров). Для этой цели они будут систематически применяться в по­ следующих главах. Однако в некоторых случаях условия (3.13), (3.14) могут приводить к заметному завышению критических на­ грузок, что побуждает использовать и более общие условия (3.1),

(3.4) или, что в сущности то же, (3.11), (3.12). Это необходимо также для оценки точности интегральных критериев. Применение (3.1), (3.4) сопряжено с большими вычислениями и большей кон­ кретизацией свойств материала в Vz, чем расчеты по (3.13), (3.14), в которых эти свойства интегрально характеризуются лишь одной величиной go. В следующих двух подразделах приводятся важные примеры, иллюстрирующие использование запредельных характе­ ристик и полученных условий.

3.4.СЖАТИЕ ДВУХ СТЕРЖНЕЙ

Вкачестве первого примера, наглядно иллюстрирующего осо­ бенности задач теории запредельных деформаций и ход вычисле­

ний, рассмотрим следующую задачу. Пусть объемы V\ и пред­ ставлены стержнями (рис. 30). Первый из них длиной h является идеально упругим с модулем Elt а второй, имеющий длину lz, мо­ жет переходить в запредельное состояние в соответствии с диа­ граммой 2 на рис. 30,в.

5 ô

JLU L

мационное (рис. 30,6), когда заданы смещения. В этих случаях напряженное состояние в стержнях представляет собой однород­ ное сжатие (<ji=const, <72= 03= 0). До предела прочности второго стержня деформации в нем равны oi/E, а в первом — oifEu Умень­ шение их длин составляет соответственно koi/E и liGi/Е1шСуммар­ ное изменение равно перемещению v верхней грани первого стерж­ ня относительно нижней грани второго (считаем и > 0 ):

Решение остается справедливым и когда нагрузка достигает предела прочности (|сч|=сго). Однако может случиться, что в этот

момент теряется устойчивость — нагрузка оказывается критиче­

ской.

Исследуем условия, при которых происходит потеря устойчиво­ сти. Следуя методу, изложенному в предыдущем подразделе, за­ дадим на поверхности «S*, которая является общей границей стерж­ ней, возможные смещения Да. Будем считать, что происходит до­ полнительное сжатие второго стержня и что Дг>>0. Тогда в нем приращение деформаций равно —Дvjk, а изменение напряжений составляет MAvfk. Приращение напряжений в первом стержне зависит от способа нагружения.

В случае приложения силы (см. рис. 30, а) напряжения на верх­ ней границе заданы и изменяться не должны. В силу однородно­ сти напряженного состояния они не должны меняться и во всем стержне, т. е. приращение напряжений в V\ равно нулю. Стержень не испытывает дополнительных деформаций и перемещается как

где AS — площадь сечения. Поскольку все величины в (3.17) по­ ложительны, Д /(> 0, т. е. силовое нагружение при достижении предела прочности всегда неустойчиво. При |cri|>*ao решения не существует.

В случае деформационного нагружения на верхней грани пер­ вого стержня заданы смещения. Поэтому приращения смещений на ней должны быть равны нулю. Приращение деформаций в V\ составляет Av (h, а изменение напряжений ExAufh. Вычисление АК дает

Д/С= 1 / 2AS (Av)2 (Ml h—Ei Ih),

т. e. при деформационном нагружении знак АК зависит от соот­ ношения жесткостей стержней. Если M/fe^Æi/Zi, то Д/(^0, и про­ исходит потеря устойчивости. При этом скачком совершается пере­ ход от исходного состояния к состоянию, когда напряжения в обо­ их стерленях равны нулю: первый из них испытывает упругую разгрузку, а второй оказывается полностью разрушенным. Если M/l2<C.Ei/li, имеем Д /(<0, и система устойчива. Эти лее результа­ ты получаются и при использовании интегральных условий (3.11), (3.12), так как при фиксированных смещениях верхней границы

—A 3=l/2A SaV i/£i; gA S=l /2Д5а2о^/ М.

Поскольку в задаче лишь один параметр Av, то лее следует и из (3.2), (3.5). Случаю Д/С=0 отвечает равенство M/lo—Ex/li. При этом приращения напрялеений оказываются непрерывными на 5*, и происходит бифуркация решения. Добавляя к исходным сме­ щениям отличные от нуля приращения Аи=уАи}12 в V2 и Au=Av—

— (у—k)Av/h в Vi, получаем новое поле и+Аи, которое удовлет­ воряет всем условиям задачи. Таких решений бесчисленное мно­ жество, поскольку величина Au может приниматься произвольной

Нормированные величины e'i и о'з выражаются формулами:

X1

s 'i= — °'3= — Jх'(а')</а'г;

о

среднее нормированное давление /г' на слой определяется выраже­ нием

соотношения в равной мере применимы к плоскому образцу, испы­ тываемому в лаборатории междуплитами (в частности, жестки­ ми), к целику и краевой части пласта. Здесь их используем в за­ даче о сжатии между жесткими горизонтальными плитами. Это означает, что на границах y— ± h выполняется условие n=const (r/=const). При изучении задач о целике и краевой части пласта будет рассмотрено и более общее условие для нормальных смеще­ ний, выражающее их равенство смещениям на границах с окру­ жающими пласт породами.

Второе условие на границах менее определенно.

При обычных испытаниях, если специально не исключается тре­ ние на контактах, невозможно априори утверждать, что выполня­ ется то или иное условие. Обычно в задачах классической теории предельного состояния (%=M lE=0) либо считается, что на грани­ цах слоя при x < L действует сухое трение т = — aitgpK(рк — угол трения на контакте), либо задаются постоянные касательные на­

=7^=0). Суждение же о их пригодности следует вывести апостериори, сравнив результаты расчетов с данными экспериментов.

Рассмотрим сначала условие сухого трения, которое для норми­

ГДв ^ = ^ l ni+3L°— ; aA= (1+ A)HgPA-

Среднее нормированное давление на слой, подсчитанное по формуле (3.23) с учетом (3.25), равно

при lv>U .

Для слоя с заданными размерами и свойствами увеличение v' от нуля до единицы дает лишь упругую деформацию, и нагрузка возрастает. При v'^ \ у краев слоя возникает зона запредельных деформаций. Она не охватывает поначалу всего слоя, и в его сере­ дине не имеется упругая область, если lv^L'. В этой стадии дости­ гается максимум нагрузки Рт и среднего давления, после чего они падают. Когда же смещения становятся таковы, что Iv^V , весь слой переходит в запредельное состояние. При г>'= (1-}-Я) Д, т. е. при деформации, отвечающей полному разрушению в случае одно­ осного сжатия, нагрузка на слой обращается в нуль.

Максимальное среднее давление kf, равное коэффициенту фор­ мы, находится по формуле

k — р,п

ï 2L*n OkU (V'm akU l n i + \ — b ' m) ’ (3 ‘26)

где v'm— значение нормированного смещения v\ при котором до­ стигается максимум. Оно определяется из равенства

При значениях X порядка единицы с погрешностью, не превы­ шающей 20%, (3.26) можно заменить приближенной формулой kf^sv'm. Важно отметить, что при таких значениях X максимум k' достигается до выхода на участок остаточной прочности, если flftL'ClO, а'*<0,2. Отсюда следует, что в большинстве случаев при анализе экспериментов по нагружению тонких слоев пород можно не учитывать остаточную прочность, если речь идет о максималь­ ной нагрузке.

Достигнув максимума, среднее давление начинает падать. В итоге в координатах (—e'i)—k' получается кривая, имеющая как восстающий, так и падающий участок. Для оценки жесткости слоя представляет интерес найти наибольшую крутизну спада с' этой диаграммы. Она определяется формулой

и всегда больше величины X, представляющей собой крутизну спа­ да диаграммы, построенной в нормированных переменных (— е'О — (—(Л) и получаемой при испытании образца в условиях одноосно­ го сжатия. Таким образом, при выполнении условия сухого трения

в условиях одноосного сжатия.

Сравнение рассчитанных и замеренных в опытах величин воз­ можно по значениям коэффициента формы. Он совпадает с вели­ чиной kf, и его теоретические значения при сухом трении даются формулой (3.26). Из нее следует, что для неограниченно пластич­ ного материала (Л,=0) получается обычный результат теории пре-

Опыты фиксируют зависимость не более сильную, чем линейная. Также в противоречии с опытными данными находятся результаты расчетов kf и при X, близких к единице, характерных для хрупких пород. Согласно (3.26) величина kf не превышает 1-f-l А* что при À=1 дает kf< 2 при любом отношении Ljh. Однако для многих по­ род, имеющих модуль спада порядка модуля упругости (1^ 1), коэффициент формы, полученный в экспериментах, хотя и не столь велик, как это следует из теории предельного состояния, но замет­ но превышает 1-J-l (X. Как упоминалось, он линейно растет с уве­ личением Ljh.

Сказанное заставляет с известной осторожностью относиться к условию сухого трения. Дело в том, что его применимость суще­ ственно зависит от величины продольных смещений на контактах. При смещениях, соответствующих деформациям порядка упругих деформаций, характерных для хрупких пород, вряд ли оправды­ вается закон трения типа т = —cxitgpft**. На контактах при этом, в сущности, происходит не скольжение одного материала по дру­ гому, а деформирование шероховатостей либо совместная дефор­ мация.

Особенно наглядно подобные процессы проявляются в опытах с низкомодульными прокладками. Угол трения рк породы по этим прокладкам при испытании на сдвиг нулю не равен. Однако в экс­

контактах не имеют существенных составляющих на ось Ох. Реа­

Оно вдвое больше перемещения плит относительно средней линии слоя.

** Подразумевается, что рл^О. В противном случае имеет место однород­ ное сжатие при отсутствии всякого трения на контактах и kf—1.