книги / Механика горных ударов и выбросов

Общие представления о полных диаграммах, приведенные выше, слу­ жат для выделения характерных уча­

ностей. Однако решение задач теории динамических явлений и других за­ дач горной геомеханики требует не только качественного познания меха­ нических свойств, но и количественно­ го описания различных участков пол­ ных диаграмм, получаемых в экспери­ ментах с горными породами в услови­ ях сжатия. Такое описание допредель­ ных участков осуществляется с по­ мощью теории упругости и вариантов теории пластичности. Если диаграммы

имеют горизонтальные участки (рис. 5), то частичное описание дается теорией предельного состояния (деформации в ней не ис­ пользуются и статически неопределимые задачи не рассматрива­ ются [54, 56, 61]). Эта теория может привлекаться и при рассмо­

тие оо. Подробное обсуждение этого факта дается в последующем изложении. Здесь же отметим лишь, что к моменту распростра­ нения магистральной трещины, перпендикулярной к растягиваю­ щей нагрузке, необратимые деформации невелики — разрушение носит хрупкий характер и описывается линейной механикой раз-.

рушения [24, 53, 69]. Приложение сжимающей нагрузки в на­ правлении, перпендикулярном к растяжению (рис. 6,а), как пра­ вило, уменьшает отрывающую силу. Сочетания критических на­ пряжений в целом отвечают диаграмме, изображенной на рис. 6,6, и могут быть аппроксимированы формулой

Опыты на растяжение образцов характеризуются большим разбросом, что обычно делает нецелесообразным использование более сложных, чем (1.5), формул.

1.2. ЗАПРЕДЕЛЬНЫЕ ДИАГРАММЫ

Осознание того факта, что наиболее важные для практики де­ формации развиваются на запредельных участках, и те перспек­ тивы, которые открывает перед горной геомеханикой учет этих участков, обусловили бурный рост экспериментальных исследова­ ний запредельных деформаций. Теорию, обобщающую такие экс­ перименты, можно назвать теорией запредельных ‘деформаций. Ее достоинства вполне ясны. Система отвечающих ей уравнений полна, что позволяет рассматривать статически неопределимые и пространственные задачи, избегать неоднозначности решений в статически определимых случаях. Исключается произвол в фор­ мулировке критериев неустойчивости. Они получаются непосред­ ственно при математическом решении задачи как условия, при которых появляются смежные формы равновесия, возникают скачки в решении или оно перестает существовать. Соответствую­ щие нагрузки являются критическими.

При выборе конкретных форм соотношений из множества воз­ можных вариантов описания запредельных деформаций целесо­ образно руководствоваться следующими соображениями. Вопервых, желательно, чтобы отчетливо прослеживалась связь с обычной «теорией предельного состояния. Это обеспечивает преем­ ственность и возможность использовать ее достижения. Во-вто­ рых, имеет смысл ориентироваться на простейшие виды соотно­ шений, имея в виду практические приложения, разброс экспери­ ментальных данных и крайнюю ограниченность реализуемых в экспериментах путей нагружения.

Ввиду отсутствия данных о зависимости запредельных диа­ грамм от пути нагружения, рассмотрим лишь деформационные варианты соотношений. Несмотря на их физическую несостоятель­ ность при резких отклонениях от простого нагружения, они впол­ не приемлемы для качественного анализа и решения ряда прак­ тических задач. Последнее обстоятельство определяет широкое использование деформационных теорий пластичности в технике, поскольку реализуемые на практике пути нагружения зачастую близки к простым. Задачи горной геомеханики в этом отношении, по-видимому, не составляют исключения.

Зависимость, удовлетворяющую сформулированным условиям и описывающую верхние части графиков (см. рис. 3) за точками

максимумов o i= /(o з)> отвечающими паспорту прочности, можно записать в виде

ний; <р(а3, Eim—? i) — безразмерная функция, определяемая видом падающих участков; eim— Деформация в направлении первой глав­

Эти же равенства приближенно выполняются и вблизи от то­ чек максимумов. При а3= 0 и больших |eim— &i | имеем ai— —а*, т. е. ф (0, оо) = (ао—а*)/М.

Случаю М0= 0 отвечает обычная теория предельного состоя­ ния. Кроме того, в начале и в конце плоской запредельной дефор­ мации имеет место совпадение характеристик системы уравнений теории предельного состояния с характеристиками теории запре­ дельного состояния. Чтобы убедиться в этом, достаточно присое­ динить к (1.6) уравнения равновесия и учесть, что в начале и в конце запредельной деформации из (1.7) следует dci=daz{dfldaz). Этот факт поясняет наблюдаемое иногда замечательное согласие углов, под которыми пересекаются поверхности разрушения, с уг­ лами пересечения характеристик, вычисленных по теории пре­ дельного состояния.

Зависимости (1.6) вместе со статическими уравнениями равно­ весия при М0ФО недостаточно для решения краевых задач. В случае плоской деформации можно присоединить к (1.6) соот­ ношение

= С (о3, 81) следует удвоить. Если нее имеются данные об измере­ нии объема 0 , то искомую зависимость можно получить, полагая

83= @ — 81.

Неизвестными при решении задачи являются ai, о3, ei, е3 и угол #i, образуемый первым главным направлением с осью Ох. Присоединение (1.6) и (1.8) к уравнению сплошности и двум уравнениям равновесия, в которых компоненты тензоров выражены через главные значения и угол fti, дает систему пяти уравнений

величина отношения приращения поперечной необратимой дефор­ мации к приращению осевой необратимой деформации на падаю­ щем участке запредельной кривой; ô = 2ôo, где выражения ôo че­ рез величины, получаемые в опытах на одноосное сжатие, даются

формации на падающих участках диаграмм, третьим — на гори­ зонтальных участках, отвечающих остаточной прочности.

Соотношение (1.13) выражает предположение, что в условиях плоской запредельной деформации промежуточное напряжение близко к среднему арифметическому наибольшего и наименьшего главных напряжений. Это соотношение позволяет упростить экс­ перименты по определению запредельных характеристик и сокра­ тить их объем. Однако оно само нуждается в экспериментальном обосновании.

Линейность зависимостей (1.11), (1.12) существенно облегчает решение задач и, в частности, использование метода конечных элементов, когда известны направления главных осей. В ряде слу­ чаев решение получается в квадратурах (ем. ниже). Теории пре­ дельного состояния для плоской задачи отвечает присоединение к двум уравнениям равновесия второго из соотношений (1.11) при М — 0. В случаях, когда остаточной прочностью можно пренебречь, в (1.11), (1.12) полагается а * = 0.

Для решения задач и моделирования удобно .нормировать на­ пряжения на прочность при одноосном сжатии ст0, а деформации на отношение прочности к модулю упругости aofE. Отмечая нор­ мированные величины штрихами, имеем:

F'(o'„ e,,) = F(o0o'3, s\oJE)joa\ Ф' (o'„ е',) = Ф ( e / 3, е\а0/£ ) /в.;

G'(s'3, 0 = С(з0о'., е\о*(Е) Efa0,

где F , Ф', G' — нормированные функции, которые получаются из функций F, Ф, G, входящих в формулы (1.6), (1.9), (1.10) и опре­ деляемых экспериментально. Для кусочно-линейной аппроксима­ ции (см. рис. 7), описываемой формулами (1.11) — (1.13), зависи­ мости F', Ф', G' для плоской деформации имеют вид:

В случае, когда опыты проведены при условии 02= 03(62= 83),

Все это делает целесообразным аналитическое рассмотрение задачи об осесимметричной деформации пород вокруг цилиндри­ ческой выработки с учетом запредельных диаграмм. Анализ поз­ воляет выяснить условия, при которых происходит потеря устой­ чивости, установить характер (спокойный или бурный) разруше­ ния, определить, когда необходима установка крепи, нагрузки на нее и связь между устойчивостью крепи и возможностью динами­

Приводимый ниже анализ в полной мере относится и к задаче о напряженно-деформированном состоянии вокруг скважины. По­ этому результаты, касающиеся неподкрепленных отверстий, весь­ ма существенные и для понимания процессов, происходящих около скважины. Анализ подобных процессов необходим для правильной интерпретации результатов прогноза и предупрежде­

венно параллельных радиусу и перпендикулярных к нему; еь ез — относительные деформации в направлениях, соответственно перпен­

направлению к центру выработки).

Вдали от выработки а3(оо) = —Ц\ на ее контуре действует дав­ ление р, т. е. о з (Я )= —р. В случае свободного контура сг3(i/?)=0,