книги / Механика горных ударов и выбросов

падающем участке может происходить только при выполнении не­ равенства p-j-i44<Cp"b^5» которое с учетом (1-37) может быть за­ писано в виде

ходимо, чтобы величина Л2 превышала единицу. В противном слу­ чае, когда Л2<1, деформация на падающем участке не реализует­ ся, и происходит скачок от упругого состояния кольца [первая строка в (1.36)] к состоянию, отвечающему остаточной прочности о* [последняя, строка в (1.35)]. Принимая во внимание положи­ тельность выражения (1.36) для Л2, получаем, что условие скачка может быть представлено в виде 1/А2^ 1 . Как и следовало ожи­ дать, оно совпадает с (1.34).

Очевидно, что остаточная прочность не влияет на возможностьпотери устойчивости в форме скачка. Это составляет дополнитель­ ное отличие от случая однородной среды, для которой наличиег остаточной прочности исключает потерю устойчивости математиче­ ского решения задачи.

Скачок происходит при предельной нагрузке q», определяемой знаком равенства в первом из условий (1.35),

Подсчитаем, используя полученные выражения, энергию, выде­ ляющуюся при скачке. Приток энергии —ДЭ из пород, окружаю­ щих кольцо, равен

р л*

2т,R Г р.,; (u)d(—u).

Учитывая, что согласно (1.29) при фиксированной нагрузке

Энергия, которая затрачена на деформацию единичного объема пород в кольце от предела прочности 0о до остаточной прочности о*, определяется площадью под падающим участком диаграммы одноосного сжатия. Из рис. 7 нетрудно заключить, что она равна 1/2 (02о—02*)/Л4. На единице поверхности кольца поглощается; энергия

а общее количество поглощенной при разрушении энергии равно 2nRg. Вычитая это выражение из (1.41), получаем избыток Д/С

который переходит в кинетическую энергию породы, разрушаемой в кольце. Ее масса тк равна 2naRp\ (pi — плотность материала

в кольце), и по известной формуле^ — \/г2&К(тк получаем ско­ рость разлета

Неотрицательность величины Д/С, выражаемая соотношением

эквивалентна условию скачка (1.34). Соотношения (1.34) и (1.43) получаются одно из другого тождественными преобразованиями. При нарушении (1.34) подкоренное выражение в (1.42) становится отрицательным, а величина цр— мнимой. Согласие (1.43) с (1.34) отражает внутреннюю связь между потерей устойчивости и изме­ нением энергии в системе. Более подробно этот вопрос изучается в разделе 3. Здесь же отметим, что в силу эквивалентности усло­ вия (1.43) с (1.34) оно может рассматриваться и вне связи с его физическим смыслом, как следствие чисто математического ана­ лиза.

Для хрупкого материала кольца с относительной толщиной a/R=0,25 при М/Е|=5, Е=2-\0* МПа, оь—cr.^<io=102 МПа, v= 0 ,l, pi = 2,5 г/см3 скорость разлета составляет 4 м/с. Разлет с такой скоростью воспринимается как дина­ мическое явление. Это горный удар. Согласно (1.34), (1.42) опасность горного удара растет с увеличением относительной толщины разрушаемой зоны aJR, отношения М/Е{ и податливости вмещающих пород 1fE\. Скорость разлета, кроме того, при ст*<СОо прямо пропорциональна прочности на сжатие сто-

Итак, установлено, во-первых, что в неоднородном массиве воз­ можен скачок из одного состояния в другое и, во-вторых, что при скачке избыток энергии может оказаться достаточным, чтобы раз­ рушение происходило в форме динамического явления. Перейдем теперь к более общему и сложному случаю, когда породы вне кольца испытывают необратимые деформации (в том числе за­ предельные). Кольцо можно при этом рассматривать как своеоб­ разную крепь, характеристика которой получается в результате решения задачи для кольцеобразной области при условиях ог{ Я) ~ = —р, cr3(/?i) = —Р*к- Получаемая при решении зависимость р*к(—и) давления на кольцо р*к от перемещения его внешней гра­ ницы и имеет восходящую и падающую ветви.

К породам вне кольца применимы все результаты, полученные выше для выработки в однородной среде, с очевидной заменой R на Я1 и р на некоторое давление рп(д, —и), которое должно быть

как неявную зависимость и от q и вычисляя производную du/dq, имеем

Эта производная обращается в бесконечность, меняя знак, при др*к1д(—и)—дрп1д(—и). Из соображений, касающихся знака dufdq, следует, что скачок имеет место и при более общем условии др*к/д(—и )^ др п/д(—и), которое можно записать в виде

При заданной нагрузке q на бесконечности возможны следую­ щие случаи, показанные на рис. 13. В случае а нагрузка на беско­ нечности меньше предельной нагрузки qn, и кольцо обладает ре­ зервом несущей способности. С дальнейшим ростом q давление на

кольцо достигает максимальной величины qn (рис. 13,6, в). При этом может произойти проскок к полному разрушению кольца (см. рис. 13,6), если его «жесткость» |/?*к/дм| больше или равна «же­ сткости» пород \dpjdu\. Энергия, переходящая в кинетическую энергию кольца, равна площади, заштрихованной на рис. 13,6, умноженной на длину окружности кольца 2nRi. Нагружение по­ добно процессу на мягком прессе, причем роль пресса играет внеш­ няя область, а роль образца — кольцо.

В противоположном случае (рис. 13,в), когда [д/7*к/ды|< '<С||дрп/дм|, достижение предельного давления на кольцо не со­ провождается потерей устойчивости. Кольцо деформируется в жестком режиме. Снижая сопротивление, оно постепенно умень­ шает сопротивление с дальнейшим ростом нагрузки на бесконеч­ ности (рис. 13,г). Динамических эффектов не наблюдается.

Случай д, которому отвечает выполнение (1.45) при нагруз­ ках, превышающих предельное значение qn, практически не реа­ лизуется, подобно тому, как не реализуется превышение предель­ ной нагрузки при сжатии образца или превышение критического значения qK для неподкрепленной выработки в однородных поро­ дах. Реальные нагрузки возрастают монотонно, и до того, как воз­ никает ситуация схемы д, произойдет бурное разрушение при q— = q n в соответствии со схемой на рис. 13,6. Эта схема ясно пока­ зывает важность диаграмм типа тех, которые изображены на рис. 12, не только для определения нагрузок на крепи, но и для оценки опасности горных ударов и интенсивности их проявлений.

Конечно, под кольцом можно понимать и реальную крепь, а па­ дающий участок ее характеристики получать теоретически или в экспериментах при разрушении крепи на жестком прессе. Тогда описанные схемы дают возможность судить как о смещениях кон­ тура и давлении на крепь, так и о характере разрушения, если давление превысит предельное значение. В случае б (см. рис. 13) крепь разрушается неожиданно и с динамическим эффектом, а в случаях в (см. рис. 13), и г процесс развивается спокойно и тре­ буется обычное перекрепление выработки. Схемы рис. 13 поясняют связь и различие между проблемами динамических явлений и рас­ чета крепей, каждая из которых требует учета запредельных де­ формаций пород.

Реальный массив всегда в той или иной степени неоднороден. Зачастую его неоднородность имеет случайный характер. Понятно поэтому, что, -как правило, горные удары проявляются статистиче­ ски и при одинаковых «в среднем» условиях случайным образом распределяются во времени и в пространстве. Теория позволяет сравнивать эти одинаковые «в среднем» ситуации, оценивая их по* степени опасности, и делать выводы о целесообразных мероприя­ тиях по предотвращению динамических явлений. В ряде же случа­ ев, когда неоднородность детерминирована — например, представ­ ляет собой прочный однородный целик, — удается достаточно точ­ но предсказывать и возникновение горного удара.

турой и проявлением выброса носит характер корреляции, но ее характер для них различен.

В цепочке структура — механические свойства — выброс геолог корреляционно связывает крайние звенья, в то время как для ме­ ханика связь второго и третьего звена представляет не корреляци­ онную, а функциональную зависимость, устанавливаемую строги­ ми методами. Кроме того, простейшие механические модели обна­ руживают вид связи первого звена со вторым. Это не только спо­ собствует пониманию внутренних причин макроскопических эффек­ тов, но и облегчает разработку методов прогноза динамических яв­

РИС. 14. Различные схемы роста трещин при сжатии

Главной общей особенностью структуры горных пород является преимущественное положение трещин по отношению к другим де­ фектам. Такое положение обусловлено, с одной стороны, сравни­ тельно большими размерами трещин, а с другой — малой подвиж­ ностью других дефектов структуры (дислокаций и точечных дефек­ тов) в горных породах, по сравнению с металлами. Поэтому макро­ скопические необратимые деформации определяются прежде всего развитием трещин. Движение же дислокаций происходит, как пра­ вило, лишь в малых зонах высоких концентраций напряжений, ло­ кализованных около краев трещин, и само по себе не дает суще­ ственного вклада в наблюдаемые деформации образца. Тем не ме­ нее оно косвенно влияет на макроскопические эффекты, так как от развития малых пластических зон у краев трещин зависит энер­ гия, которую необходимо подвести, чтобы продвинуть трещины, рост которых обеспечивает наблюдаемую деформацию.

Распространение трещин является принципиальным моментом, влекущим за собой теоретические и практические следствия. Яр­ ким свидетельством их роста, наблюдаемым в обычных опытах с горными породами, служит заметное увеличение объема при испытании на сжатие — так называемая дилатансия [22, 79]. Этот эффект, хотя и не может считаться решающим аргументом, даег направление исследованиям. В итоге разнообразными опытами с достоверностью установлен преобладающий вклад развития тре­ щин в необратимые деформации и, в частности, в необратимое увеличение объема. Меньше известно о том, как именно растут трещины при сжатии. Рис. 14 а—е иллюстрирует различные меха­ низмы. Из них первые два (а и б) после снятия нагрузки не дают необратимых деформаций, что делает их маловероятными. Они становятся более правдоподобными, если учесть шероховатость берегов и взаимное зацепление берегов трещин. При этом схемы а и б становятся разновидностями схем в и г .

<5г 1 1 1 7

ГП

$

Условия роста трещин различны внутри зерна, при выходе на его границу и распространении вдоль границ. Эти условия иссле­ дованы мало, но определенно установлено, что при сжатии разви­ тие трещин происходит преимущественно в плоскости, на которой сжимающее напряжение минимально, в направлении наибольшего сжатия. Даже в тех случаях, когда макроскопическая трещина на­ блюдается под углом к этому направлению, более детальное ис­ следование показывает [91]. что она образуется массивом мелких трещин, растущих указанным образом (рис. 15). То обстоятель­ ство, что необратимые дёформации и разрушение горных пород обусловлены ростом определенным образом ориентированных тре­ щин, позволяет опираться на хорошо разработанную теорию, изве­ стную под названием линейной механики разрушения [24, 53, 69].