книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

Вектор относительных деформаций к связывают с вектором пара­ метров а зависимостью, аналогичной зависимости (1.171) :

где В - матрица коэффициентов, полученных путем соответствующего дифферен­ цирования матрицы L;

‘ о 0 0 1 2 0 0 I1 2у 0 6* 1 0 бху 0

С учетом зависимости (1.174) вектор относительных деформаций

7.В соответствии с выражениями (1.139) вектор обобщенных внут-

Таким образом, все внутренние силы в конечном элементе выра­ жаются через узловые перемещения2 ,-

8. Записывают в матричном виде выражение вариации плотности потенциальной энергии деформации элемента:

8W = (6 к )ТМ .

С учетом зависимостей (1.177) и (1.179) получают

s i v = (5 Z )T(H -‘ )TBTC B H _1Z

Следовательно, для всего элемента вариация потенцильной энергии деформации

Интегрирование ведется по объему v конечного элемента. Так как

матрицы Н -1 и (Н _1) т , а также матрица узловых перемещений Z ( в отличие от матриц В и Вт) не зависят от координат х и у, выражение (1.180) можно записать так:

9. Записывают выражение работы узловых сил Р на возможных узловых перемещениях 8г:

и из равенства выражения энергий (1.181) и (1.182) находят матрицу

сил Р:

Следовательно, получена зависимость между внешними силами и узловыми перемещениями.

10. Так как узловые силы связаны с узловыми перемещениями общей зависимостью (1.117):

из сравнения выражений (1.183) и (1.184) получают матрицу жесткости R3 конечного элемента:

мента представляет собой реакцию в /-й связи от перемещения Zk = 1 . При этом rik = rki.

Порядок и пример расчета пластины. Порядок расчета поясним на примере квадратной шарнирно-опертой по краям пластины, на которую действует равномерно распределенная нагрузка q. Коэффициент Пуас­ сона Д = 0,3. Проведем расчет в грубом приближении, выбрав квадрат­ ную сетку со стороной я *= / / 2 (рис. 1.62, а) .

Рис. 1.62. Расчет пластины методом конечных элементов

1 . Определяем общее число неизвестных узловых перемещений Z и записываем систему уравнений (1.169). Здесь из-за наличия двойной симметрии будем иметь только два независимых ненулевых перемеще­ ния: Z\ - прогиб в центре всей пластины n Z 2 - обобщенное неизвест­ ное, определяющее углы поворота в узловых точках на краях. Следо­ вательно, система канонических уравнений имеет вид:

2. Формируем матрицу жесткости R системы, для чего определяем коэффициенты R.k. В данном примере можно, используя двойную сим­ метрию задачи, рассмотреть лишь четверть пластины (рис. 1.62, б). В соответствии с матрицей жесткости элемента получим

R 11 = r i i = 52,8£>/5д2 ; R l 2 = R 2 \ = r \ S + r 1>12 =

= -21,4D /(5*);

R 22 = rss + /*12,12 = 15,2£>/5.

3. Формируем матрицу нагрузки Р. Распределенную нагрузку заме­ няем эквивалентной узловой из условия равенства возможных работ узловых сил и заданной распределенной Нагрузки. При произвольно распределенной нагрузке q (х, у) [4]

По этой формуле находим сосредоточенные силы и моменты для каждого элемента. Затем для узловых точек суммируем соответствую­ щие силы, примыкающие к рассматриваемому узлу.

Обычно в уравнении (1.186) учитывают только первую строку матрицы L, получая, таким образом, лишь сосредоточенные силы, дейст­ вующие в узлах пластины (рис. 1.63, а). Эти силы в узлах суммируют. Моменты при густой сетке обычно не вычисляют, так как, во-первых, при уменьшении размера а их влияние быстро уменьшается, а, во-вто-

Рис. 1.63. Схемы, поясняющие формирование матрицы нагрузки

рых, для внутренних узлов пластины берется разность узловых момен­ тов ввиду их противоположных направлений.

При q = const для квадратного элемента узловые силы равны Р/4 =

Отметим, что, разбивая каждую сторону квадратной пластины на четыре части, т.е. принимая а = //4, с учетом симметричности задачи получаем сеть неизвестных Z и wmax = 0,003939 q f /D [4]. Обратим внимание на то, что, рассчитывая эту же пластину методом конечных разностей, мы получили при а = Ц4 и решении задачи всего с тремя

находим Wmax = = 0,00425 ql*/D, что отличается от точного решения на + 4,75 %. Неучет угловых связей привел к погрешности 15 %.

Принимая значения узловых моментов по стержневой модели, по­ лучим wmax = 0,00375 ^ /4/Z), что ниже точного решения на 7,68 %.

5. Определяем распределенные изгибающие и крутящие моменты через найденные узловые перемещения Z по формуле (1.179), которую можно записать так:

М = С В Н 1 Z = Mo z

В матрицу М0 подставляют значения координат узлов. Определенный с помощью матрицы М0 [4] изгибающий момент в центре пластины Л/тах = 0,05720 ql2. При делении стороны пластины на четыре части (а = //4) Мтлх = 0,04873 ql2, что в 1,017 раза больше точного значения W nax = 0,0479 ql2). Решение этой же задачи методом конечных раз­ ностей при а = //4 и трех неизвестных давало заниженный результат: Мт*х= 0,0457 ql2

1.8. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ КОНСТРУКЦИЙ

1.8.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

Общие понятия. Нагрузки на конструкции строительных и дорож­ ных машин чаще всего являются динамическими. От них возникают ускоренные движения масс и соответствующие инерционные силы. В большинстве случаев динамические нагрузки вызывают колебания систем.

Колебания систем могут быть свободными или вынужденными. Если систему вывести каким-либо импульсом из состояния равновесия, а затем этот импульс устранить, то она будет совершать свободные (собственные) колебания, во время которых происходит непрерывный обмен кинетической энергии и энергии деформации. При непрерывном действии переменной во времени вынуждающей (возмущающей) силы

P(t) система совершает вынужденные колебания.

Отношение значения какого-либо динамического фактора SWYl (например, внутренней силы или перемещения), вызванного силой P (t), к аналогичному статическому фактору 5СТ, вызванному статичес­ ки действующей силойЛпах> называется динамическим коэффициентом:

В связи с тем, что в конструкциях всегда имеются силы сопротив­ ления (например, внутренние силы трения), поглощающие энергию, свободные колебания совершаются не бесконечно, а со временем зату­ хают. Фактор затухания влияет и на вынужденные колебания и, в част­ ности, на динамический коэффициент.

Основными динамическими характеристиками системы являются частоты и соответствующие им формы собственных колебаний. Эти характеристики зависят от числа степеней свободы системы. Под динамической свободой понимают возможность перемещений масс с учетом имеющихся связей и характера деформаций элементов системы. Число

степенями свободы, если считаются возможными все виды деформаций элементов системы. Если же

какие-то виды деформаций невозможны или ими можно пренебречь, то число степеней свободы лд уменьшается. Обычно в плоских рамах и балках перемещения точек определяют только деформациями изгиба. 1

На рис. 1.64, а изображена балка с двумя сосредоточенными массами. В общем случае число степеней свободы этой системы равно четырем. Однако, если учиты­

две возможные формы колебаний этой системы. Если жесткость балки намного больше жесткости упругой опоры В и можно считать, что EJ = EF = » , то* лд = 1, так как положение балки в любой момент времени определяется одним парамет­ ром - углом <р (рис. 1.64, г ) .

В общем случае число степеней свободы определяется минимальным числом наложенных связей, устраняющих перемещения всех масс. Если нет необходимости учитывать инерцию вращающихся масс, то накладываются только линейные связи. Например, для системы, изобра­ женной на рис. 1.64, д, лд = 4 (рис. 1.64, ё) . Отметим, что эта рама один раз статически неопределима и 5 раз неопределима кинематически.

Число степеней свободы системы с распределенной массой равно бесконечности. В расчетах конструкций распределенную массу обычно заменяют несколькими сосредоточенными массами, используя различ­ ные способы их приведения.

Колебания системы с одной степенью свободы. Рассмотрим простей­ шую модель системы с одной степенью свободы —массу ту подвешен­ ную на невесомой пружине и нагруженную возмущающей силой Р( t), которая представляет собой произвольную функцию от времени t (рис. 1.65, а). Пусть пружина обладает жесткостью с = гх х (податли­ вость пружины равна д ц = 1 /с). В дальнейшем эта пружина будет опре­ делять любую упругую связь системы.

Для описания движения массы составим общее динамическое урав­ нение равновесия. Будем отсчитывать перемещения .у от того положения массы, в котором она находилась до действия на нее силы P(t). Поло­ жительные перемещения .у, скорости у, ускорения у, а также положитель­ ные силы будем считать направленными вниз.

При отклонении массы т на величину у на нее кроме силы P(t)

по