книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

отличаются от ординат линии влияния RB только множителем r1/h.

(рис. 1.23, d ) .

Легко убедиться в том, что точка пересечения левой и правой пря­ мых лежит под моментной точкой 10. Соединительная прямая соединяет правый конец левой прямой под точкой 1 и левый конец правой прямой под точкой 2.

Для построения линий влияния TV3_ 8 и 7Vg_9 проведем консольное сечение II -II. Моментная точка стержня 3 - 8 лежит в бесконечности на горизонтали. Используя уравнение проекций 2 У = 0, получим, что при приложении силы ? = 1 к правому диску TV3_ 8 = -1/sin а, а при прило­ жении к левому — з = 0 (рис. 1.23, е). Таким образом, левая и пра­ вая прямые параллельны.

Моментной точкой стержня 8 —9 является точка 3. Если сила Р= 1 приложена к правому диску, то из уравнения 2Л/3 = -N$_9h + lzx = О получим Л^8_ 9 = Zi/h. При приложении силы к левому диску TV8_ 9 = О (рис. 1.23, ж). Отметим, что левая и правая прямые пересекаются под моментной точкой 5, а соединительная прямая совпадает с правой прямой.

Для построения n a .N s..i используем способ вырезания узлов. Вы­ режем узел 5 сечением III -III. Если силаР = 1 приложена в узле 5, то из уравнения 2У = NS-n sin а — 1 = 0 получим TV5_ 7 = 1/sin а, а если приложена в других узлах (т.е. вне узла 5), то стержень 5 - 7 будет нулевым. Для построения л.в. TV5_ 7 надо под узлом 5 отложить ордина­ ту, равную 1/sin а, и конец ее соединить нулевыми ординатами под уз­ лами 4 и 6 (рис. 1.23, з).

Кинематический метод. Построение линий влияния усилий в стерж­

му задают возможные перемещения и строят эпюру вертикальных перемещений Ар грузовой линии; определяют AN — взаимное переме­ щение точек i и к.

Эпюру вертикальных перемещений Ар проще всего строить при по­ мощи мгновенных центров вращения отдельных дисков, полученных в результате выключения связи / - к. Из этой же эпюры можно опреде­ лить и An . Д ля того чтобы эпюра Ар и л.в. N совпадали по знаку, надо

но точки 0 Q р против часовой стрелки на угол d*px (рис. 1.24, д ). На линию ас

перемещения диска / снесем точку к, расположенную под мгновенным центром вращения Оj ц и соединим ее с точкой b, находящейся под точкой OQ ц . Отметим,

что оба диска повернулись против часовой стрелки. В этом случае взаимный угол поворота = dtpx - d*p2. Отложим от точки к отрезок кк', равный плечу hх - пер­ пендикуляру, опущенному из мгновенного центра вращения Оj ц на линию дейст­

вия силы N £•_£>. Проведем через конец отрезка (точку к') вертикальную прямую;

отрезок, заключенный между линиями перемещения дисков, и определит масштаб линии влияния

1.3.3. ТЕОРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ ВЛИЯНИЯ

Основные понятия. Приложенную к конструкции силу Р, изменяю­ щую свое направление при сохранении точки приложения, называют вра­ щающейся. В некоторых случаях (например, при расчете крановых стрел) саму поворачивающуюся конструкцию можно принять неподвиж­ ной, а силы тяжести — вращающимися. Очевидно, что любой фактор (усилие 5, напряжение а или перемещение А) будет функцией угла о наклона силы Р к некоторой фиксированной оси. График функции 5 (a) представляет собой две одинаковые касающиеся друг друга окружности, которые называются окружностями влияния (о.в.).

Пусть в какой-либо точке конструкции приложена безразмерная

сначала силу Р на две взаимно перпендикулярные составляющие, направ­ ленные по осям Оу и Ох; они будут равны соответственно cos а и sin а.

Обозначим влияние единичной силы, направленной по оси Оу, на уси­ лие 5(a) через а, а единичной силы, направленной по оси Ох, через Ъ.

Для графического изображения этой функции сложим геометричес­ ки (рис. 1.25, б) векторы а и Ь, представляющие собой некоторые конс­ танты (не зависящие от угла а ) . Затем замыкающую линию ОА спроек­ тируем на ось MN, параллельную линии действия силы Р и образующую с вектором а угол а. Так как проекция замыкающей равна сумме проек­ ций составляющих, то OB = a cos а + b sin а = 5, т.е. влияние силы Р выражается вектором ОВ.

При изменении направления силы Р проекция замыкающей будет ОВ\ (рис. 1.25, б). Прямые углы ОВА и ОВгА опираются на неподвиж­ ный отрезок ОА, откуда следует, что геометрическое место точек В представляет собой окружность диаметром ОА. Теоретически угол а может изменяться от 0 до 360°. Поэтому таких окружностей будет две. В совокупности они и представляют собой радиальную диаграмму вели­ чин 5 для вращающейся силы Р = 1 . Хорда ОВ, проведенная параллельно любому направлению силы Р, выражает собой величину 5. Одна из ок­ ружностей .соответствует положительным значениям 5 , а другая - отри­ цательным.

Для построения окружностей влияния надо знать влияния силы

а

с

в

Первое слагаемое ор = Pi/F, представляющее собой константу, при

построении окружности влияния можно не учитывать, а затем при полу­ чении окончательного результата прибавить: о = ор + ор . Таким обра­ зом, по окружности влияния исследуется величина ар = Р cos о/F + + Pli sin а/ W. Записывая выражение этой величины согласно формуле (1.23), получаем

где a = P /F n b = P lJ W .

Полагая условно Р = 1 , я = 3 и Ь = 4, построим окружность влияния (рис. 1.26, б) . Отрезок ОВ = а отложим по оси Оу, а отрезок ОВ\ = Ъ— по оси Ох. Через точки О, В и В\ проведем окружность. Отрезок ОА выражает равнодействующую векторов ОВ и ОВх и является диаметром окружности. Пользуясь формулой (1.24), легко установить, что£тах = = ОА = 5 и максимум краевого напряжения будет при а0 = arctg (4/3). Этот же результат можно получить, исследуя на экстремум выражение (1.26). Напряжение в нижней краевой точке будет равно нулю при/30 = = (а0 + 90 ), т.е. когда стрела опустится ниже горизонта и оба слагае­ мых в выражении (1.25) будут равны по значению, но противополонады по знаку.

Отметим, что в реальных конструкциях телескопических стрел коробчатого сечения величина а (напряжения от сжатия) значите^ЬН0

меньше величины Ъ (напряжений от изгиба). В решетчатых стрелах расхождения между величинами а и Ь меньше.

На рис. 1.26, в схематично изображена решетчатая стрела. Построим окружности влияния усилия Л^5__ 7 . Поскольку стержни решетки стрелы являются нулевыми, при действии силы Р в направлении I TV5_ 7 = О, а при действии в направлении II А^5_ 7 = 1. Поэтому, проведя через выб­ ранную точку О прямую, параллельную линии I, получим линию миниму­ ма, касательную к окружностям влияния (рис. 1.26, г); восстановив в точке О перпендикуляр к этой касательной, получим линию максимума; далее отложим от точки О отрезок OB = 1 по направлению, параллель­ ному линии И, и, восставив в точке В перпендикуляр, получим точку А; на диаметре ОА построим окружность. Из графика следует, что при действии силы Р в направлении III УУ5_ 7 имеет максимальное значение, что естественно, так как при этом плечо силы Р относительно моментной точки 6 стержня 5 - 7 будет максимальным (рис. 1.26, в) .

1.4.ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

ИОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

1.4.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Обобщенная сила и обобщенное перемещение. Под внешним воздей­ ствием система деформируется, и ее точки получают перемещения А (обычно перемещения записывают с двумя индексами, например, Ак т , первый указывает точку и направление перемещения, а второй —причи­ ну, его вызывающую). Перемещение точки к от действия силы Рк по ее направлению обозначается Акк и называется собственным, а переме­ щение Акт от действия силы Рт ~ побочным.

Перемещения от действия любой силы, приходящиеся на единицу

В дальнейшем рассматриваются только линейно деформируемые системы, для которых в соответствии с принципом независимости

В процессе упругой деформации системы внешние и внутренние силы совершают работу, а сама система накапливает потенциальную энергию. Для общности рассуждений введем понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения. Обобщенной силой назовем любую группу сил (сосредоточенные силы, моменты, распределенные нагрузки и их сочетания), которые выражаются через какой-либо один силовой фактор

(например, через интенсивность нагрузки q : Рх = ql, Р2 = 2ql, М = = 4ql2 и т.п.). Каждой обобщенной внешней силе Рк соответствует свое обобщенное перемещение Акк (сосредоточенной силе - линейное перемещение, моменту - угол поворота и т.д.). Так как умножение обобщенной силы на обобщенное перемещение дает работу, то обоб­ щенное перемещение представляет собой множитель при обобщенной силе в выражении работы А.

Действительная работа внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия деформации. Если внешняя сила/^ возрастает бг нуля до конеч­ ного значения медленно и силами инерции можно пренебречь, то дейст­ вие этой силы называется статическим. Работа силы Рк на собственном перемещении Акк называется действительной работой А внешней силы. Эта работа положительна (А > 0).

Получим выражение работы А, для чего рассмотрим статическое действие силы Р = Рк на перемещении А = Акк (рис. 1.27, а). Обозна­ чим переменное значение этой силы через X , а переменное значение соответствующего перемещения —через X (рис. 1.27, б) . При бесконечно малом приращении перемещения d \ dА = X d\. Так как перемещение пропорционально силе, то в соответствии с выражением (1.28) X = ЪХ,

Таким образом, действительная работа внешней силы равна поло­ вине произведения конечного значения этой силы на конечное значение соответствующего перемещения (теорема Клайперона).

параллельных оси х. На каждой полоске площадью dF = bdy действует касательное напряжение т = QSl(bJx) (где S = 5охс - статический момент отсеченной площади). Линейное перемещение полоски, соот­ ветствующее ее сдвигу, по закону Гука второго рода равно ydz = = rdzj G (у — угол сдвига). Отсюда следует, что полная работа сил сдвига для элемента dz

Величина к зависит лишь от формы поперечного сечения. Для прямо­ угольного сечения к — 1,2; для прокатных профилей к = F/FCT (где F - площадь поперечного сечения всего профиля, FCT - площадь поперечного сечения стенки).

Чтобы получить выражение действительной работы внутренних сил всей системы, надо сначала просуммировать (проинтегрировать) полу­ ченные элементарные работы dV ъ пределах длины / каждого стержня и далее просуммировать полученные значения по всем стержням систе­ мы. Для пространственной системы

В этой формуле первый член учитывает продольные деформации, второй и третий —деформации изгиба в перпендикулярных плоскостях, четвертый и пятый —деформации сдвига в перпендикулярных плоскос­ тях, а последний —деформации кручения.

Потенциальная энергия W упругой деформации, возвращающая систему в первоначальное состояние после снятия нагрузки, равна по аб­ солютному значению, но противоположна по знаку действительной работе внутренних сил. Следовательно, W = — V — Л. Для плоской стержневой системы