книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

к ах точное определение деформаций и напряжений сопряжено с боль­ шими математическими трудностями. Именно поэтому и получили ши­ рокое развитие численные методы расчета, среди которых наиболее универсальным является метод конечных элементов. Чаще всего этот метод применяют в форме метода перемещений.

Напомним, что основная система метода перемещений состоит из отдельных стержней — конечных элементов, сопряженных своими кон­ цами в узлах системы. Если перемещения Z/ этих узлов известны, то можно найти перемещения всех точек и усилия во всех стержнях. При этом решение будет точным в рамках принятых допущений.

Канонические уравнения метода перемещений в матричной форме -► ->

(1.99): RZ + R p = 0 содержат матрицу единичных реакций R [см. выра­ жение ( 1 .100)], представляющую собой общую матрицу жесткости системы (1.60). Подчеркнем, что порядок общей матрицы жесткости R не зависит от числа элементов системы, а определяется числом основных неизвестных Z. Естественно, что сами коэффициенты R.. матрицы зави­ сят и от числа элементов, и от их геометрическо-кинематических харак­ теристик.

Для формирования общей матрицы жесткости системы надо сначала составить матрицу жесткости для каждого элемента. Эта матрица, уста­ навливающая связь между перемещениями и усилиями (реакциями) на концах стержня, называется локальной матрицей жесткости Кэ эле­ мента.

Матрицу R3 стержневого элемента можно записать в местной системе координат х у z (рис. 1.52, а) или в общей системе координат xyz (рис. 1.52, б). Для перехода от матрицы жесткости R^ в местной систе­ ме координат к матрице жесткости R3 в общей системе координат ис­ пользуют матрицу преобразования координат Т. Любой коэффициент

R.- общей матрицы жесткости R представляет собой сумму соответст­ вующих коэффициентов матриц жесткости R^ для элементов, соеди­ няющихся в узле /, т.е.

(1.128)

Аналогичным образом надо записать матрицу-вектор грузовых реакций R^p элемента в местной системе координат; совершить пре­ образование грузового вектора к общей системе координат и затем произвести поэлементное суммирование для получения матрицы R^ в выражении (1.99).

Отметим, что при разработке алгоритмов и программ для ЭВМ обыч­ но используют наиболее общую модификацию метода перемещений, в которой учитывают все возможные виды Деформаций элемегтов-стерж- ней, т.е. при расчете рам предполагают, что EF¥=°°. В этом случае основ­ ная система получается стандартной: все узлы закрепляются от линей­ ных и угловых перемещений; стандартными получаются матрицы жест­ кости и преобразования координат. Естественно, что при этом сущест­ венно возрастает число неизвестных Z (по сравнению с моделью EF = = °°), но построение алгоритма упрощается.

Рис. L52. Стержень как конечный элемент в мест­ ной и общей системе координат

Матрица жесткости и грузовая матрица элемента в местной и общей системе коор­ динат. На рис. 1.52, а изображен стержень постоянного сечения (конечный элемент), отнесенный к собственной, местной систе­

ме координат х у z . На концах н (начало^) и к ^конец) стержня имеются связи, препятствующие перемещениям Zx, ...,Z6. От задаваемых единич­ ных перемещений Z\ в шести связях будут возникать единичные реакции. Составим матрицу жесткости элемента плоской системы. В ней элементы первого столбца т\ 19 г21, г ' 6 х представляют собой реакции в связях от угла поворота Z \ = 1 , элементы второго столбца - реакции от продоль­ ного смещения Z '2 = 1 и т.д. Численные значения реакций, соответствую­ щих изгибу стержня, определим из табл. 1 .1 , а реакций, соответствую­ щих продольным деформациям, —из формулы A l = Nl/(EF ) . Отметим, что направление каждой положительной реакции совпадает с направле­ нием соответствующего положительного перемещения.

Таким образом,

(1.129)

Аналогично строят матрицы жесткости при кручении стержня и при его изгибе в двух плоскостях. В общем случае порядок матрицы опреде­ ляется числом реакций (перемещений) в концевых точках стержня. Матрицу R'3 можно представить в следующем блочном виде:

R'ни |j R'НК

(1.130)

Грузовые реакции на концах стержня от внеузловой нагрузки в местной системе координат определяют обычным путем. Например, для стержня, нагруженного посредине силойР (рис. 1.52, г), после раз­ ложения силы на составляющие векторы грузовых реакций в начале и конце стержня будут согласно табл. 1.1 иметь вид:

Переход от вектора R3p в местной системе координат к вектору

R 3p в общей системе координат осуществляется с использованием матрицы преобразования Т. Аналогично выражению (1.131) получим:

с - 1 I RHp

в противоположность матрице С [см. выражение (1.133)] совершает переход от осей х', у ’ к осям х, у.

Формирование общей матрицы жесткости и расчет системы. Общая матрица жесткости R системы формируется из матриц жесткости от­ дельных стержней. Ее строят в общей системе координат. В общем виде

где первый индекс каждого элемента R.. указывает номер узла, в котором возни­ кает блок реакций, а второй - номер узла, от перемещения которого эти реакции возникают (в плоских системах размер каждого блокаR.. 3 X 3 ) .

Структура блочной матрицы (1.136) аналогична структуре обычной матрицы реакций [г..]. Особенность заключается лишь в том, что каждой строке в матрице (1.136) соответствует группа реакций в соответствую­ щем узле.

На рис. 1.53, а изображена плоская стержневая система, имеющая пять узлов и шесть стержней. В каждом узле введено три связи и имеет­ ся по три неизвестных перемещения. Предполагая, что для каждого стержня / локальная матрица жесткости R^ в общей системе координат построена, сформируем из этих матриц общую матрицу жесткости R. В данном случае размер ее 15 х 15, что отвечает вектору узловых пере­ мещений Z = [Z j ... Z !5 ]т . Матрица имеет блочный вид:

где первый индекс указывает номер узла, в котором возникает блок реакций, а второй индекс - номер узла, от перемещений которого эти реакции возникают; каждый нуль означает, что соответствующие два узла не связаны между собой стержнем, и, следовательно, непосредственно не взаимодействуют.

При построении матриц жесткости R^ необходимо зафиксировать начало и конец каждого стержня / (рис. 1.53, а). Каждый коэффициент общей матрицы жесткости R получается путем суммирования соответст­ вующих элементов матриц жесткости отдельных стержней [см. выраже­ ние (1.128) ]. Покажем построение второй блочной строки для рассмат­ риваемого примера:

Суммирование блоков ( 3 x 3 ) , указанных в составе R22 , ведется поэлементно.

При разработке программ автоматизированного расчета конструк­ ций процесс формирования матрицы R системы формализуется [15].

Рассмотренная матрица жесткости R является особенной, т.е. не имеет обратной матрицы R , а следовательно, и матрицы податливости; это происходит потому, что система является свободной, незакреплен­ ной. Решить систему канонических уравнений можно лишь в том случае, когда будут учтены закрепления узлов, и матрица R станет неособенной. Это достигается различными путями.

Наиболее удобный для программирования путь заключается в том, что все имеющиеся опорные связи рассматриваются как упругоподат­ ливые, жесткость которых с = 1/ ф можно назначать в пределах 0 < с < < °°. При этом учет /-й опорной связи заключается в том, что в матрице

R вместо коэффициента гц в соответствии с выражением (1.103) вычис­ ляют коэффициент rf. = г.. + с.. Так, для абсолютно жестких опорных связей 2, 3, 5 (рис. 1.53, б) с = °°; практически эти величины задаются настолько большими числами, что обратные им величины воспринимают­ ся машиной как нуль. Таким образом оказываются равными нулю со­ ответствующие перемещения; в данном случаеZ 2 = Z 3 = Z 5 = 0 . Если опорная связь в узле / податлива (например, связь 9), то г*. Ф«>, и соот­ ветствующее перемещение Zi Ф 0 (Z9 Ф 0).

После формирования матриц R и Rp и решения уравнений (1.99) находят перемещения Z в общей системе координат. Для вычисления усилий в любом стержне надо сначала определить перемещения его кон­ цевых сечений в локальной системе координат —Z , используя зависи­

мость (1.131), а затем вычислить его концевые реакции г с помощью -> ->

матрицы R'3 по формуле г = R3Z '

1.7. РАСЧЕТ ПЛАСТИН ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

1.7.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ПЛАСТИН

Основные понятия и гипотезы. Пластиной называется тело, тол­ щина h которого мала по сравнению с размерами оснований (а, b) (рис. 1.54, а). Плоскость, проходящая посредине толщины пластинки, называется срединной. Линия пересечения срединной плоскости с бо-

ковой поверхностью называется контуром пластины. Пластины бывают прямоугольными, круглыми, параллелограммными и др. При расчете пластин начало координатных осей помещают в одной из точек сре­ динной плоскости.

отсутствует надавливание слоев пластины друг на друга, т.е. напряжение о2 = 0. Одновременно с этим принимается допущение о том, что и дефор­ мации е2 = 0, из которого следует, что перемещения w всех слоев плас­ тины равны между собой; таким образом, прогибы w не зависят от ко­ ординаты z, т.е. w ~ w (x ,y ).

В соответствии с двумя первыми гипотезами перемещения и и v произвольной точки к пластины (рис. 1.54, б) в направлениях соответ­ ствующих координат х и у выражаются формулами:

и = -z(3 w /d * ); v = - z (9w /0^),

а линейные и угловые деформации:

Вырезая из пластины элементарную призму dx x d y x h (рис. 1.54, в ), можно выразить распределенные (приходящиеся на единицу длины) изгибающие Мх и Му и крутящие Мху = Мух моменты через соответст­