книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

Из формулы (1.33) следует, что потенциальная энергия деформации всегда положительна (даже при действии различных обобщенных сил), поскольку под знаком интегралов стоят внутренние силы во второй степени. Следовательно, и суммарная работав [см. выражение (1.30)] также положительна.

Отметим, что потенциальная энергия упругой деформации, так же как и работы внешних и внутренних сил, представляет собой квадратич­ ную функцию (квадратичную форму) усилий. Поэтому при ее вычисле­ нии нельзя использовать принцип суперпозиции, т.е.

w(pt +p,) ^ wpx + wp2

Если сила Р и перемещение А получат приращения соответственно dP и dA (рис. 1.28), то приращение энергии упругой деформации с точ­ ностью до величин высшего порядка малости dW = PdА. Из этого ра­ венства следует теорема Лагранжа: в положении равновесия производная от потенциальной энергии деформации по перемещению равна соответст­ вующей силе

Аналогично доказывается теорема Кастильяно: в положении равно­ весия производная от потенциальной энергии деформации по силе равна соответствующему перемещению

Возможная работа внешних и внутренних сил. Возможной работой Актп "внешней силы Рк называют работу этой силы на перемещении Akm, вызванным m-м воздействием; иными словами —это работа силы fc-го состояния системы на перемещениях ее m-го состояния:

Поясним сказанное на примере. Будем нагружать консольную балку АВ (рис. 1.29, а) последовательно обобщенными силами Рк иРт. От действия силы Рк балка изогнется и займет положение АВ Х. Сила Рк при этом совершит действительную работу на собственном перемещении Акк: А к = 0,5P A ^ . Затем приложим силу Рт . От ее действия балка займет положение АВ2. При этом сила Рт совершит действительную ра­ боту Ат = 0,5Рт Ат т , а сила Рк>уже не изменяя своего значения при нарастании прогиба, совершит возможную работу на побочном переме-

т н ш А кт =Рк * кт.

Возможная работа отличается от действи­ тельной тем, что, во-первых, в ее выражении отсутствует коэффициент 0,5, а во-вторых, что она может иметь любой знак и, в частнос­ ти, быть равной нулю.

Рис. 1.28» Схема для определения приращения энергии упругой деформации

Рис. 1.29. Схемы для вывода теорем о взаимности работ и перемещений

Возможная работа внутренних сил &-го состояния на деформациях т-го состояния для плоских систем:

Если возможные деформации вызваны действием нагрузки, то по­ добно выражению (1.35)

где Mp Qk — внутренние факторы, соответствующие fc-му состоянию сис­ темы; 7V Л/ 0 - внутренние силовые факторы, соответствующие грузовому состоянию (вместб общего индекса т ставится индекс р ).

где fj и t%- температуры в краевых волокнах сечения; а - коэффициент

линейного расширения.

Подставляя выражения (1.39) в формулу (1.37), получаем

Отметим, что в соответствии с принципом возможных перемещений

1.4.2. ТЕОРЕМЫ О ВЗАИМНОСТИ

Теорема о взаимности работ. Продолжим рассмотрение примера по­ следовательного загружения балки обобщенными силами. Будем теперь нагружать балку сначала силой Рт, а затем силой Рк (рис. 1.29, б ). Из равенства выражений суммарной работы в первом (рис. 1.29, а) и во втором (рис. 1.29, б) случаях нагружения:

В этом заключается теорема о взаимности возможных работ (теоре­ ма Бетти): в линейно деформируемой системе возможная работа внеш­ них (внутренних) сил fc-го состояния системы на соответствующих пе­ ремещениях (деформациях) m-то состояния системы равна возможной работе внешних (внутренних) сил m-го состояния системы на соот­ ветствующих перемещениях (деформациях) А:-го состояния системы (рис. 1.29,в, г).

Из этой фундаментальной теоремы строительной механики вытекает ряд частных теорем.

Теорема о взаимности перемещений. Разделив левую и правую части равенства (1.42) на произведениеPjcPmi получим

что выражает теорему о взаимности перемещений: перемещение по &-му направлению от т-й единичной силы равно перемещению по т-му направ­ лению от к-й единичной силы.

Из этой теоремы, в частности, следует, что линия влияния перемеще­ ния любой точки к (по направлению действия силыР = 1) совпадает с эпюрой перемещений (Эп.) точек грузовой линии от действия обобщен­ ной силы Р = 1, приложенной в данной точке, т.е.

ния системы совершат на перемещениях т-то состояния возможную работу РкАкт + ^а^°та сил т~о состояния на перемещениях fc-ro состояния будет равна нулю поскольку в к-м состоянии отсутствуют перемещения опорных связей. Следовательно, в соответствии с выраже­ нием (1.42)

В этом заключается теорема о взаимности реакций и перемещений: реакция в т-й связи от единичной силы Рк равна перемещению точки приложения силы Рк по направлению ее действия, вызванному единич­ ным перемещением dm = 1 связи и взятому с противоположным знаком.

1.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО МЕТОДУ МОРА

Формула Мора. Рассмотрим два состояния системы (например, плоской рамы, изображенной на рис. 1.31, а).Действительное состояние m зависит от внешнего воздействия (в данном случае от нагрузки m = р) . Фиктивное (единичное) состояние к зависит от искомого перемещения Акр ; по направлению этого обобщенного перемещения прикладывается

сопряженная с ним обобщенная безразмерная единичная сила Рк = 1 (рис. 1.31, б).

для определения перемещений, которая для плоских систем, состоящих из прямолинейных стержней, имеет вид:

/GF

Для криволинейных стержней интегрирование проводят не по длине /, а по дуге s, и интеграл Мора записывают так:

S/з (*>

Вобщем виде эти интегралы вычисляют приближенно. Однако в

одна из функций/1 или/ 2 линейна (что всегда соответствует единичному состоянию системы, состоящей из прямолинейных элементов).

Вычисление интеграла от произведения двух функций, одна из кото­ рых линейна (например, / 2 (z) = а + bz), можно выполнить по способу ’’перемножения эпюр”, называемому правилом Верещагина:

эпюры / 3( z ) , расположенная под центром тяжести С эпюры f x(z) (рис. 1.32, а, б) .

Формула (1.56) выводится так же, как и формула (1.19).

Полагая далее, что функциями/^) являются изгибающие моменты, т.е. что f\ (z) = Mi (z) и/ 2 (z) = M2(z ), приведем некоторые формулы, удобные для вычислений. Если обе эпюры M(z) на участке интегрирова­ ния линейны, т.е. представляют собой трапеции (рис. 1.32, в, г), то сог­ ласно выражению (1.56):

или кубическую параболу, a /i (z) = Мг(z) —линейна, то интеграл Мора следует вычислять по формуле Симпсона:

вой эпюрам моментов соответственно (рис. 1.32, д, е).

Рис. 1.32. Схемы, поясняющие вычисление интегралов Мора разными способами

Формулу Симпсона удобно использовать при приближенном вычис­

Рассмотрим примеры вычисления перемещений по формуле Мора от дейст­ вия нагрузки. Определим вертикальное перемещение точки В и угол поворота сечения, проходящего через эту точку, в криволинейном стержне постоянной жест­ кости, нагруженном на конце силой Р (рис. 1.33, а) . Влиянием продольных и попе­ речных сил пренебрегаем. Изгибающий момент от нагрузки и в произвольном се­ чении М =PR sin а.

Выберем соответствующее единичное состояние: приложим в точке В верти­ кально направленную силу Р = 1 (рис. 1.33, б). Изгибающий момент в сечении

от этой силы Мх = - 1 • Л (1 - cos а ) . Подставляя полученные выражения момен­

Для определения угла поворота выберем другое, второе единичное состояние:

приложим в сечении В момент М = 1 (рис. 1.33, в ). Изгибающий момент в сечении

от этого Момента М2 = —1. Производя соответствующее интегрирование, получаем

Рис. 1.33. Определение перемещения под действием нагрузки

Знак минус в полученных выражениях показывает, что определяемые переме­ щения имеют направления, противоположные направлениям единичных сил.

На рис. 1.33, г изображена плоская рама, нагруженная силой Р, направленной перпендикулярно плоскости рамы. Определим вертикальное перемещение точки С, полагая, что сечение элементов рамы постоянно и при этом отношение жесткостей при изгибе и кручении EJ/GJ^ = 2. Здесь нельзя пренебрегать деформациями кручения элементов, поэтому формулу (1.50) следует записать так:

Рекомендуем читателю проделать вычисления самостоятельно.

Определение перемещений от температурных и дислокационных воздействий. Как отмечалось выше, формула Мора выражает возможную работу внутренних сил к-го единичного состояния на деформациях т-го действительного состояния системы. Если действительное состояние определяется температурным воздействием, то в соответствии с выраже­ ниями (1.39) и (1.40) формула Мора будет иметь вид:

« (t х + t2)

I

Здесь суммирование ведется по всем участкам системы, на которых произошло изменение температуры.

Для прямолинейных или ломаных стержней интегралы можно вы­ числить как площади единичных эпюр, и формула перемещений (1.61) примет вид:

жительным знаком, если соответствующие деформации от температуры и от силыР = 1 одного знака.

На рис. 1 .34, а изображена |эама, у которой краевые волокна стерж­

ти реакций и перемещений. Разделив обе части равенства (1.47) на Рк и заменив индекс т на d, получим

d. надо в точке к приложить соответствующую единичную силу и опреде-