книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

Рис. 1.65. Модель системы с одной степенью свободы

сопротивления RCy которая в общем случае может также зависеть от t [Лс ( 0 ]- Все силы будут направлены в сторону, противоположную отклонению^. Следовательно (рис. 1.65,6),

где А и - амплитуда и фаза колебаний.

Как следует из формул (1.190) и (1.191), функция.у(0 описывает незатухающий колебательный процесс, периодически повторяющийся через промежуток времени Т= 2 я/со, называемый периодом колебаний. Такое колебательное движение (см. рис. 1.65, в) называется гармони­

чески*и

В конструкциях роль условной жесткости с пружины выполняет величина, обратная податливости —единичному перемещению 6: с = 1/6 .

Таким образом, для систем с одной степенью свободы

Например, для невесомой балки, на которую действует сила Р (см. рис. 1.65, г),

Как следует из полученных выражений, частота'собственных коле­ баний растет с увеличением жесткости балки при изгибе и с уменьшени­ ем массы груза. Таким образом, изменяя эти величины, можно при не­ обходимости изменить частоту собственных колебаний.

Рассмотрим определение частоты собственных колебаний массы из энергетических соображений. Если время t отсчитывать от того мо­ мента, когда масса проходит через среднее положение, то из выражения (1.190) можно получить

у — (уо sincof)/co и У — Уо cos сot.

Тогда

Потенциальная энергия деформации пружины имеет максимальное значение Wmax при крайнем положении массы, когда кинетическая энергия равна нулю:

Из равенства выражений (1.193) и (1.194) получим то же выраже­ ние частоты, приведенное в формуле (1.192).

Затухание колебаний. Сила сопротивления Rc, благодаря которой происходит затухание колебаний, может быть либо постоянной, либо пропорциональной отклонению или скорости и т.д. Рассмотрим только один вид свободных колебаний с затуханием, когда сила сопротивления пропорциональна скорости: Rc = ay (где a —коэффициент пропорцио­ нальности). В этом случае дифференциальное уравнение (1.189) будет иметь вид:

ту + ay + су = 0.

где е = а/2т - коэффициент затухания; ш = V сIni- круговая частота свободных колебаний без затухания.

Коэффициент затухания е можно определить, если известны отноше­ ния соседних амплитуд колебаний и частота со. Для металлических кон­ струкций е = (0,016 ... 0,08)со!, где со! - круговая частота свободных затухающих колебаний. Если е < со, что встречается в инженерной прак­ тике наиболее часто, то решение уравнения (1.195) можно представить в виде, аналогичном выражению (1.191) :

Дважды дифференцируя выражения (1.199) и подставляя получен­ ные зависимости в формулы (1.198), придем к следующей системе уравнений:

(1 — /7т 1511 со 2 —m i 2 & i 2 b } 1A.2 — ... — m n 8\n co2 Ап = 0;

— /гг1б21ы 2 А 1 + (1 — ГП2 8 2 2 Ы2 )А 2 —... — тп8 2 пЫ2Ап = 0; (1.200)

- 8 n l oj2 А х - т 2 8 П2 ^ 2 А 2 - ... + (1 - тп8 пт со2 )Ап = 0.

Нетривиальное решение (все А\ Ф 0) этой системы однородных уравнений заключается в равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений при неизвестных амплитудах Л,*:

Раскрывая этот определитель, получим уравнение л-й степени отно­ сительно параметра v = со2. Решая его, найдем л корней v. Наименьшая частота comin = V Pm in называется основной частотой или основным тоном колебаний, а другие частоты — обертонами. Вся совокупность частот свободных колебаний системы называется спектром ее собствен­ ных частот.

Отметим, что перемещения при этом остаются неопределенными. Однако можно найти соотношения амплитуд А *для: каждой к-и частоты сод.. Эти соотношения определяют форму свободных колебаний. На рис. 1.67, в, г показаны формы колебаний, соответствующие первым двум тонам. Главные формы колебаний обладают свойством ортого­ нальности:

Рис. 1.67. Свободные колебания системы с конеч­ ным числом степеней свободы

Рис. 1.68. Схемы для определения частот и форм свободных колебаний системы с двумя степенями свободы

Условие (1.202) отражает равенство нулю работы внешних сил од­ ной главной формы на перемещениях другой главной формы коле­ баний.

Поясним сказанное на примере рамы с одной сосредоточенной массой (рис. 1 .68, а). Здесь число степеней свободы зависит от пере­ мещений в направлениях 1 и 2 , определяющих движение массы, т.е. ид = 2 (/72! = т2 = гп). Для определения коэффициентов Ь.к прило­ жим единичные силы и построим соответствующие единичные эпюры

Определим направления движения массы, отвечающие первой (к = = 1) и второй (/ = 2) частотам колебаний. Подставив со* в первое

-0 1 ) = 90°, т.е. их формы взаимно ортогональны.

1.8.2.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

При большом числе степеней свободы решение систем а ( 1 .201) требует очень высокой точности из-за перемножения болшшх чисел на малые, представляющие, в свою очередь, разность больших чисел. Существуют различные приближенные методы определения частот сво­ бодных колебаний, дающие приемлемую точность особенно для основ­ ной частоты, имеющей первостепенное значение в решении многих ин­ женерных задач.

Энергетический метод. Энергетический метод основан на законе сохранения энергии. При колебаниях системы сумма кинетической К и потенциальной W энергий остается постоянной в любой момент вре­ мени: K(t) + И;(t) = const. Так как в момент наибольшего отклонения

Рассмотрим сначала колебания балки с распределенной массой M(z) (рис. 1.69, а). Предположим, что отклонение в произвольной точке определяется уравнением y(z, t) = y(z) sin (cot + <p) и, соответ­ ственно, скорость y(z, t) = y(z) со cos (cot + tp). Тогда кинетическая энергия согласно общей формуле А = 0,5 ту2 определяется так:

/

Kmax = 0,5 o>2 f fi(z)y2(z)dz.

I

Согласно выражению (1.66) максимальное значение потенциаль­ ной энергии для балки

/

Подставляя выражения (1.204) и (1.205) в формулу (1.203), по­

лучаем

f E J [ y " { z ) ] * d z

Рис. 1.69. Схема для определения частот свободных колебаний энергетическим методом

1 . Приложим в точках, где сосредоточены массы, неопределенные силы д/. Для точного определения всех частот надо приложить п сил, т.е. в данном случае —три силы дь д2 и д3, а для приближенного опре­ деления основной частоты —только силу а\ .

2. От действия этих сил построим эпюру моментов Ма (рис. 1.69, в) и в соответствии с ней по формуле (1.210) вычислим Wmax. При точном решении задачи

3.Приложим последовательно к узлам 1,2 и5_единичные силыР= 1

ипостроим соответствующие единичные эпюры М\ (рекомендуем чита­ телю это выполнить самостоятельно).

Используя формулу Мора, найдем перемещения А/. В данном случае

+2ахаъ -588+ 2д2 д3 • 314)и 2 ml6 Ц12Е2 J2).

5.Выполнив условия (1.209) и раскрыв определитель соответствую­ щей системы однородных уравнений третьего порядка, получим куби­

ческое уравнение 676 X3 - 1703 X2 + 468 X - 3,25 = 0, в котором пара­ метр X/ = тсо?/3 /(12£7). Корни этого уравнения Xi = 7,129 Ю '3, Х2 = 0,3056 и Х3 = 2,207 определяют точные значения частот, поскольку число неопределенных параметров равно числу степеней свободы систе­ мы. Здесь со* = 0,0855 EJ/(ml3).

6. Если необходимо определить формы колебаний, то надо найден­ ные значения X/ порознь подставить в систему л —1 уравнений (1.209) и затем решить ее относительно д,\ Определив относительные значения сил д/, можно по формуле Мора найти перемещения узлов с точностью до принятого за единицу параметра д. На рис. 1.69, г - е показаны фор­ мы колебания для данной задачи.

Обычно наибольший интерес представляет определение основной частоты. Если к балке приложить только одну силу ах, то эпюра момен­ тов Ма будет линейной. Выполняя расчеты в той же последовательности, получим из решения уравнения первой степени значения со?, превышаю­ щее точное значение на 0,6.

Отметим, что энергетический метод всегда дает завышенные значе­ ния частот4 (’’собственные значения”), если число неопределенных па­ раметров д/ меньше, чем число степеней свободы системы. Этот метод можно применять при расчете различных конструкций (ферм, рам ит.д.).

м

Рис. 1.70. Схемы для определения частот свободных колебаний методами замены и приведения масс

Методы замены и приведения масс. Наряду с широко применяю­ щимся энергетическим методом определения частот и форм свободных колебаний в инженерных расчетах используются различные приближен­ ные методы, основанные на замене или приведении масс. Изложим суть некоторых из них, иллюстрируя соответствующими примерами.

Прежде всего отметим, что при применении численных методов распределенную массу заменяют сосредоточенными массами. Поясним, как это делается на примере шарнирно опертой по концам балки с рав­ номерно распределенной массой ц (рис. 1.70, а) . Разбивая длину балки на участки длиной d и разнося массы Aid по правилу рычага, получаем замедляющие сосредоточенные массы.

На рис. 1.70, б показано применение этого способа в первом прибли­ жении. Разбивая длину балки на два участка d = 0,5/, после разнесения масс получим посредине сосредоточенную массу 0,5д/. Так как только эта масса будет участвовать в движении, то полученная система будет иметь лишь одну степень свободы. В этом случае 5 ц = /3/(48/Г/) и со­ гласно выражению (1.192) coi = 9,80 ( у/ EJ/p )//2, что незначительно меньше точного решения.

Метод замены (переноса) масс применяют для определения основ­ ной низшей частоты. Он заключается в том, что систему с рядом сосре­ доточенных масс /и/ приводят к системе с одной массой М. Вывод фор­ мулы, определяющей основную частоту, заключается в следующем.

Перенесем условно массу ту с некоторым поправочным коэффи­ циентом <*1 в произвольную точку к (рис. 1.70, в, г). Согласно выраже­

а 1 = ^ 1 1

Если система имеет п масс, то, перенося все массы в точку ку полу-

ветствии с выражением (1.192) находим

—- = Mbкк = S/n/6,7 ,

w:КК

или

Как видим, эта формула не связана с выбором расположения заме­ няющей массы и определением ее значения, что приводит к единствен­ ности решения задачи. Поскольку при решении не учитывалось взаим­ ное влияние масс на колебания системы,при использовании этого метода получают заниженное значение частоты. Например, в консольной балке с тремя сосредоточенными массами (рис. 1.69, б) 5 ц = (З/)3 /(3EJ),

на 2,5 % меньше точного значения.

Метод приведения масс заключается в том, что и сосредоточенные и распределенные массы приводят в одну фиксированную точку, чаще всего в точку приложения динамической силы P(t). При этом приведен­ ную массу М определяют из равенства кинетической энергии заданной и приведенной динамических систем: к^т —к^.

Принимая соотношения скоростей масс равными соотношениям их

у = y ( z ) , от удачного выбора которой зависит точность решения. Можно получить уравнение упругой линии от единичной силы по направлению силыР(г). Например, при приведении масс (рис. 1.69, б) к свободному концу консоли (рис. 1.71, д) уравнение упругой линии от силы Р = 1

1.8.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Дейст­ вие переменной во времени силы P(t) на систему можно представить в виде суммарного действия отдельных импульсов dS = Pdt (рис. 1.71, а) . Если затухание не учитывать, то согласно выражению (1.188) дифферен­ циальное уравнение вынужденых колебаний системы с одной степенью свободы будет иметь вид

Решение этого неоднородного уравнения состоит из общего интег­ рала Уобщ однородного уравнения (1.189) и частного решения участ.