книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

На рис. 1.4, г, д показаны плоские системы, образованные из трех дисков. Каждый диск соединен с каждым другим при помощи шарнира (см. рис. 1.4, г) или двух линейных связей (’’мгновенного шарнира”) (см. рис. 1.4, д). Важно, чтобы три шарнира, соединяющие диски, или, что то же самое, три мгновенных центра вращения Оу не лежали на од­

ной прямой.

Если указанные требования о расположении связей между соеди­ няемыми дисками не выполняются, то диски имеют бесконечно малые взаимные перемещения; такие системы называются мгновенно изменяе­ мыми. Так, в системах из двух дисков, изображенных на рис. 1.5, д, б, соединяющие связи образуют единый мгновенный центр вращения, а в системах, показанных на рис. 1.5, в, г, три диска соединены шарнирами либо ’’мгновенными шарнирами”, лежащими на одной прямой.

Следует различать мгновенно изменяемые и просто изменяемые системы. На рис. 1.5, д показана мгновенно изменяемая система, у кото­ рой три связи, соединяющие два диска, параллельны (пересекаются в бесконечности). При смещении одного диска относительно другого на некоторую малую величину А связи уже не будут пересекаться в одной точке в силу непараллельности стержней в новом состоянии; это мгно­ венно изменяемая система. Система, изображенная на рис. 1.5, е, похо­ жа на предыдущую, но в ней все три параллельные связи имеют одина­ ковую длину; при смещении одного диска относительно другого на ве­ личину А параллельность связей сохранится, и система будет изменять свое положение и дальше; это просто изменяемая система, у которой одна из связей ложная.

Аналогичным образом устанавливаются правила образования неиз­ меняемых пространственных систем. Пространственная система будет неизменяемой (при И = 0) :1 —если она образована путем присоедине­ ния узла к блоку при помощи триады - трех линейных связей, не лежа­ щих в одной плоскости (рис. 1.6, а) ; 2 - если она образована путем соединения двух блоков (одним из которых может быть земля) шестью связями таким образом, что они не пересекаются одной прямой и при этом три связи, лежащие в одной плоскости, не пересекаются в одной

точке (рис. 1.6, б ); 3 - если она представляет собой сетчатую систему - шарнирно-стержневую ферму в виде выпуклого многогранника, в кото­ ром каждая грань —неизменяемая в своей плоскости ферма (рис. 1.6.в ) .

Кинематический анализ плоских и пространственных систем основан на изложенных правилах образования, а также на некоторых признаках, вытекающих из общих методов расчета сложных систем, которые будут рассмотрены ниже. Его можно проводить либо на основе рассмотрения последовательного образования (монтажа), либо последовательного разрушения (демонтажа) системы. Отметим, что если при демонтаже какой-либо части системы оставшаяся часть остается неизменяемой, то удаленная часть называется дополнительной (по отношению к остав­ шейся) , а оставшаяся - главной частью системы.

Поясним проведение кинематического анализа на примерах различных систем. Свободная система, изображенная на рис. 1.7, а (типа экскаватора, оборудо­ ванного обратной лопатой), содержит шесть дисков (отмеченных римскими циф­ рами) , пять простых шарниров (А, В, С, D и Е) и пять стержней. В соответствии с формулой (1.5) И = 3 * 6 - 5 * 2 - 5 - 3 = 0. Проследим путь образования этой системы. К диску I при помощи шарнира А и стержня 1 - Г присоединяется диск II, далее аналогично диски III, IV, V и VI. Следовательно, система неизменяема. От­ метим, что диск VI по отношению к другим дискам представляет дополнительную часть, так как его удаление (вместе с шарниром Е и стержнем 5 - 5 ' ) не влияет на неизменяемость оставшейся системы. Аналогичным образом диск IV совместно с дисками V и VI представляет собой дополнительную часть по отношению к части системы, состоящей из дисков /, И, III, но совместно с последними дисками яв­ ляется главной частью по отношению к дополнительной части системы, состоя­

щей из дисков V и К/.

Прикрепленная к земле система, изображенная на рис. 1.7, б, имеет 22 узла и 44 линейные связи, включая опорные. В соответствии с формулой (1.3) И =; О, однако кинематический анализ показывает, что система изменяема. Последователь­ ное прикрепление диад позволяет представить данную систему в виде двух дисков / и II (рис. 1.7, в), соединенных между собой всего двумя связями-дисками (12 -

Так как при этом три мгновенных центра вращения не лежат на одной прямой, система неизменяема. Все элементы - главные. Отметим, что если диски 2 - 3 - 7

и 4 - 5 - 8 соединить не перекрещивающимися стержнями, а параллельными (3 — 4 и 7 - 8), то система станет мгновенно изменяемой, так как в этом случае три мгновенных центра вращения будут лежать на горизонтальной прямой.

Пространственная система, изображенная на рис. 1.8, д, неизменяема, так как представляет собой два блока (диск АВС в пространстве и ’’земля”) , правильно соединенных между собой шестью стержнями. Ее можно также рассматривать как сетчатую систему.

Образование пространственной шарнирно-стержневой системы, изображен­ ной на рис. 1.8, б, можно представить в виде последовательного присоединения триад к неизменяемому тетраэдру 1 - 2 - 3 - 4 (рис. 1.8, в ) : сначала узел 7 - триадой 2 - 7, 2 ~ 7 и 4 - 7, затем узел 6 —триадой 2 —6, 3 - 6 и 7 —6, затем узел 5 и т.д. Следовательно, система неизменяема.

Подчеркнем еще раз, что при проведении кинематического анализа формулы (1.1) - (1.8) играют вспомогательную роль; использование их не обязательно, если руководствоваться правилами образования неизменяемых систем.

1.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

1.2.1.ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ

ВСВЯЗЯХ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Основные предпосылки. В статически-определимых системах внут­ ренние силы (усилия в связях) возникают только от действия нагрузки (силовых внешних воздействий). Температурные и дислокационные воздействия внутренних сил не вызывают.

При определении внутренних сил S и перемещений точек А предпола­ гают, что система обладает упругими свойствами, ее деформированное состояние незначительно отличается от недеформированного и рост внутренних сил и перемещений от внешних воздействий следует по ли­ нейному закону. Такие системы называют линейно деформируемыми.

Определение внутренних сил и перемещений в этих системах основы­ вается на принципе независимости воздействий (принципе суперпози­ ции) . Внутренняя сила S в /-й связи от суммы п воздействий равна сум­ ме внутренних сил в этой же связи, возникающих от каждого воздейст­ вия, т.е.

Статически определимые неизменяемые системы обладают следую­ щими свойствами: при отсутствии нагрузки все внутренние силы равны нулю (в противном случае система мгновенно изменяема); под дейст­ вием нагрузки усилие в любой связи имеет только одно значение (в про­ тивном случае система мгновенно изменяема) ; если к диску (блоку) приложена уравновешенная система сил (рис. 1.9, д), то усилия во внеш­ них связях этого диска (блока) равны нулю (на рисунке отмечено чер-

точками); усилия во внешних связях диска (блока) не изменятся, ес­ ли силы, действующие на этот диск (блок), заменить равнодействующи­

в равновесии. Поэтому, расчленяя систему на отдельные части путем проведения разрезов (сечений), можно к любой из них применить урав­ нения статики, которые будут содержать как внешние силы, так и уси­ лия в разрезанных связях. Из совместного решения этих уравнений на­ ходят искомые силы.

Применительно к шарнирно-стержневым системам (фермам) с узло­ вой нагрузкой способ сечений разделяют на способ вырезания узлов и способ моментной точки (или моментной оси - для пространственных систем).

Обычно все силы в разрезанных стержнях принимают направленны­ ми от узлов, т.е. считают каждый стержень растянутым. Отрицательный знак в решении показывает, что стержень сжат.

Способ вырезания узлов заключается в следующем. Каждым сече­ нием вырезают один узел, к которому прикладывают внешние силы (если они есть) и продольные силы Nj в разрезанных стержнях. Для каж­ дого узла плоской фермы составляют два уравнения статики (уравнения проекций: ЪХ = 0 и 2У = 0), а для всей фермы —2У уравнений, где У —число узлов фермы,,

Так как в статически определимой плоской ферме, прикрепленной к земле, число стержней (включая опорные) также равно 2У, то в общем случае получают полную систему 2У алгебраических уравнений с 2У не­ известными. Аналогично, для пространственной фермы получают — ЗУ уравнений с ЗУ неизвестными. Для свободной плоской фермы (см.

рис. 1.3) число стержней равно 2У —3, и таким образом три уравнения статики будут избыточными; они могут служить для контроля решения.

Наиболее простое решение способ вырезания узлов дает тогда, когда к вырезанному узлу плоской фермы сходятся лишь два ’’неизвестных” стержня, а к узлу пространственной фермы —три.]

На основе способа вырезания узлов можно легко установить следую­ щие признаки нулевых (неработающих) стержней: в ненагруженном двухстержневом узле плоской фермы оба стержня являются нулевыми, если их оси не лежат на одной прямой (рис. 1.10, а) ; если в ненагружен­ ном трехстержневом узле плоской фермы оси двух стержней лежат на одной прямой, то третий стержень является нулевым (рис. 1.10, б), то же, если вместо второго стержня будет приложена сила Р (рис. 1.10, в); в ненагруженном трехстержневом узле пространственной фермы все стержни нулевые, если их оси не лежат в одной плоскости (рис. 1.10, г ) .

Отметим, что графический способ построения диаграммы усилий Максвелла—Кремоны; известный читателю из курса теоретической ме­ ханики, основан на способе вырезания узлов.

Способ моментной точки заключается в следующем (для плоских ферм). Систему расчленяют сечением на две части, каждую из которых можно рассматривать как диск. Разрез проводят через стержень /, в кото­ ром определяют усилие, и через два других стержня (или большее число стержней, если они сходятся в одной точке fc,). Затем для одной из час­ тей фермы составляют уравнение моментов (2Л/^. = 0), содержащее

нагрузку и лишь одну неизвестную силу 7V,-. В этом уравнении Л/ —мо- ментная точка для /-го стержня, лежащая на пересечении других разре­ занных стержней. При расчете пространственной фермы составляют уравнение моментов относительно моментной оси.

При удалении моментной точки в бесконечность (при параллельнос­ ти других разрезанных стержней) уравнение моментов ’’переходит” в уравнение проекций сил 2 У = 0, где ось у перпендикулярна параллель­ ным разрезанным стержням. В этом случае способ называется способом проекций.

Покажем применение статического метода на примере плоской фермы, изо! браженной на рис. 1.11, а. Ферма прикреплена к земле при помощи шарнира А и

стержня (оттяжки) ВВ' и нагружена в узле 8 силой Р. Сначала из уравнений стати­ ки определим опорные реакции:

усилие в стержне 8 —9 N$.9 определим из уравнения ЕЛ/4 = Ng.9d + Pd - R tf\ =

При внеузловом действии нагрузки на ферму (рис. 1.12, а) нагружен­ ный стержень i - к испытывает не только растяжение (или сжатие), но и поперечный изгиб. Для определения изгибающих моментов М и попе­ речных сил Q и построения соответствующих эпюр стержень рассматри­ вают как шарнирно-опертую по концам балку (рис. 1.12, б) . Для нахож­

рис. 1.12, а ), равными соответственно опорным реакциям Rj и Rk балки (см. рис. 1.12, б), но имеющими противоположные направления. Это соответствует эквивалентному преобразованию нагрузки на диске, о котором говорилось выше.

Основы кинематического метода. Кинематический метод основан

Рис. 1.11. Схемы для расчета плоской фермы статическим методом при приложении нагрузки в узле

Рис. 1.12. Схема плоской фермы и эпюры изги­ бающих моментов и поперечных сил при при- - ложении внеузловой нагрузки

на применении принципа возможных перемещений, который заключается в следующем. Если система находится в равновесии, то сумма работ всех приложенных к ней сил на возможных бесконечно малых переме­ щениях равна нулю. При этом под возможным перемещением пони­ мается любое бесконечно малое перемещение, не противоречащее связям системы.

Для определения усилия (реакции) S в /-й связи ее разрезают (устра­ няют), а вместо нее прикладывают соответствующие равные и проти­ воположно направленные усилия S(. Полученной системе задают возмож­ ное перемещение и составляют уравнение работ всех сил, включая уси­ лия S, в следующем виде:

Наиболее удобен и целесообразен кинематический метод при расчете плоских сложных статически определимых систем, когда усилие надо определить в одной связи. Если система неизменяема и не имеет лишних связей, то она при удалении одной связи превращается в механизм (И = 1). Все возможные перемещения А точек механизма необходимо связать между собой одним параметром, который при использовании уравнения (1.11) сократится.

Перемещения А можно найти различными способами. При примене­ нии любого из них предполагается, что ввиду малости перемещений точка к диска перемещается не по дуге окружности с центром в мгно­ венном центре вращения, а по касательной к дуге.

Непосредственное применение способа возможных перемещений поясним на примере определения опорной реакции RB многопролетной балки (рис. 1.13, а). Удаляя опорную связь В и давая полученному механизму возможные перемещения (рис. 1.13, б)у в соответствии с выражением (2.3) находим

-РАр + RBAR = 0.

Первое слагаемое имеет знак ’’минус”, так как сила Р и переме­ щение точки ее приложения противоположно направлены. Установив из геометрических соотношений зависимость между перемещениями Ар и А д, получим

RB =РАр/ AR = />(/ + b)b1b2/(la1a2).

Для определения усилий в сложных стержневых системах переме­ щения А можно находить по способу изображающих точек, который основан на построении неполярного плана возможных перемещений (скоростей) точек образовавшегося механизма.

Перемещение каждой точки к (рис. 1.13, в) относительно мгновен­

Рис. 1.13. Схемы для определения усилий в многопролетной балке кинематическим методом

ного центра вращения Ок изображают вектором кк' (в определенном масштабе), повернутым на 90° по отношению к действительному направ­ лению перемещения кк\. Конец повернутого вектора называют изобра­ жающей точкой к \ или изображением точки к. Общее выражение прин­ ципа возможных перемещений записывают в виде

где суммирование распространяется на все силы, как внешние, так и определяемые.

Учитывая, что величина А к cos (Рк, Ак) представляет собой плечо \ к>силы Рк относительно точки/:', выражение (1.12) можно представить так:

где моменты Мк> определяют с учетом знака.

Таким образом, искомое усилие S определяют из условия равенству нулю моментов всех действующих на механизм сил относительно изобра­ жающих точек их приложения.

При изменении этого способа руководствуются следующими прави­ лами: изображающая точка лежит на радиусе-векторе с началом в мгновенном центре вращения; изображающая точка неподвижной точки совпадает с ней самой; всякий прямолинейный отрезок на диске изобра­ жается отрезком параллельной прямой на плане перемещений (ско­ ростей) .

Поясним применение способа изображающих точек на примере сложной шар­ нирно-стержневой системы (рис. 1.14, а). Ранее было показано (см. рис. 1.7, г), что эта система геометрически неизменяема и статически определима. Сложной она считается потому, что ко всем ее узлам сходятся по три и более стержней. При использовании способа вырезания узлов для определения сил N в 13 стерж­ нях необходимо с учетом симметрии решать совместно систему семи уравнений с семью неизвестными.

Пусть, например, требуется определить усилие в стержне 1 - 6 . Удалим этот стержень и взамен его к узлам 1 и 6 приложим искомые усилия N (рис. 1.14, (Л. Рассматриваемая система является свободной, поэтому один из дисков (например, 2 - 3 - 7 ) можно считать неподвижным. Тогда изображения 2\ 3\ 7 точек 2, 3 и 7 будут совпадать с ними самими.

Рис. 1.14. Схемы для определения усилий в стержнях сложной фермы кинематичес­ ким методом и методом замены связей

Положения других изображающих точек определим в следующем порядке. Сначала на радиусе-векторе 1 - 2 произвольным отрезком а получим положение изображающей точки Г (точка 2 является центром вращения). Изображающую точку & определим как точку, лежащую на пересечении линий Г - 8* и 3' - 8*, параллельных 1 - 8 и 3 - 8, так как они являются изображениями этих отрезков. Затем найдем изображающую точку 4 \ лежащую на пересечении линий 4* — Т и

Отметим, что если системе с устраненной связью (полученному механизму) нельзя задать возможное перемещение A s по направлению устраненной связи, т.е. As = 0, то в этом случае согласно выражению (1.11) S = °°. Как уже отмечалось, получение усилия, равного бесконеч­ ности или неопределенности, свидетельствует о мгновенной изменяе­ мости системы. Таким образом, если As = 0, то система мгновенно из­ меняема (по кинематическому признаку).

Основы метода замены связей. Согласно этому методу расчет задан­ ной сложной системы заменяется расчетом другой, преобразованной (заменяющей) системы, которая должна быть также неизменяемой и статически определимой, но более простой и полученной из заданной системы путем замены связей.

Действие устраненных ~из заданной системы связей заменяется действием неизвестных сил Я/ и при этом накладывается условие: сум­ марное усилие (реакция) в каждой /-й введенной связи от действия на систему всех сил как нагрузки Р , так и неизвестных Х( должно быть равно нулю.

Если заменяется только одна связь (этот случай представляет наи­ больший интерес), то это условие записывается так: