книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

t2 =-го°с

—+ —

Рис, 1,34. Определение переме­ щения под действием темпера­ туры

Рис. 1.35. Определение переме­ щения от дислокаций

лить от ее действия реакции /у во всех i-x связях. При перемножении этих реакций с дислокациями берется положительный знак, если реакция и перемещение имеет одно направление.

Определим, например, вертикальное перемещение Д ^ точки к рамы (рис. 1.35, а) , основание которой одновременно переместилось вертикально на ёд

1.4.4.ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ

ИМЕТОДОВ РАСЧЕТА

Полная энергия деформированной системы. Ранее было введено по­ нятие потенциальной энергии упругой деформации W системы. Теперь введем понятие полной энергии Э (потенциала всех сил) системы, кото­ рое понадобится для изучения вариационных принципов, лежащих в основе самого совершенного метода расчета конструкций любых ти­ пов —метода конечных элементов.

В упругом теле накапливается потенциальная энергия деформа­ ции W. При этом внешние силы, перемещаясь вместе с точками дефор­ мируемого тела, изменяют потенциальную энергию положения. С энерге­ тической точки зрения, явление деформирования тела —это процесс об­ мена энергиями двух систем или полей сил — внутренних и внешних. Таким образом, энергия деформации тела W представляет собой лишь часть энергии взаимодействующих полей сил.

Полная энергия Э (потенциал всех сил) равна работе, которую со­ вершают как внутренние, так и внешние силы при переводе (а не при разгрузке!) системы из ее деформированного состояния в начальное, недеформированное:

где W — энергия упругой деформации (упругий потенциал) (W > 0); Г - энергия (потенциал) внешних сил — величина отрицательная и равная произведению обоб­ щенной силы на обобщенное перемещение без множителя 0,5 (в силу того, что при переводе системы из деформированного состояния' в недефор миров энное внеш­ ние силы остаются постоянными).

Энергию деформации W так же, как и потенциал внешних сил Г, можно представить через функции перемещения точек системы. Для этого внутренние силы в выражении (1.33) надо выразить (в соответст­ вии с формулами сопротивления материалов) через соответствующие перемещения. Например, при изгибе балки Af(z) = —EJv"(z) и, следо­ вательно,

Таким образом, полную энергию Э системы можно представить как функцию перемещений v (z ):

Отметим, что величина, зависящая не от z, а от v(z), в математике называется функционалом.

В ряде случаев энергию деформации W отдельного стержня удобно выразить не через функцию v(z) (при изгибе), а через дискретные пе­ ремещения одного или нескольких его сечений. Например, для изогну­ той балки постоянной жесткости (рис. 1.36) с учетом того, что прогиб fB = PI31(3EJ) , можно записать:

W = 0,5PfB = 0,5(3 E J/l3) fB .

Следовательно, энергию деформации W и полную энергию системы Э можно представить через функции перемещений v(z) или через не­ сколько дискретных параметров, определяющих состояние системы. Например, для рассмотренной балки этим параметром является пере­ мещение fB в точке В. Согласно (1.65)

Как видим, здесь полная энергия системы определяется через одно перемещение fB.

В общем же случае величина Э будет зависеть от выбора функций v(z) или от дискретных перемещений, обозначаемых в общем случае через Z,-. Перемещения Z/ называются обобщенными координатами. В стержневых системах функцию перемещений, например v(z), можно точно выразить через обобщенные координаты Z/. Потенциал всех сил системы Э = Э (Z х, Z 2 ...) в этом случае вычисляется точно.

Вариационные принципы деформируемых систем и основы вариа­ ционных методов. Полная энергия системы обладает экстремальными свойствами, на основе которых строятся приближенные методы расчета континуальных систем. Эти энергетические свойства, выраженные в со­ ответствующей математической форме, называются вариационными принципами.

Принцип вариации перемещений (принцип Лагранжа) читается так: из всех мыслимых перемещений упругой системы истинные перемеще­ ния сообщают энергии минимальное значение.

Поясним его на примере. Выразим потенциал сил для балки, изобра­ женной на рис. 1.37, а через функцию прогибов v (z ). С учетом формулы ( 1 .66) получим

Э(v) = W(w) + T(v) = 0,5 JEJ(v")2 dz - Pf. I

Исследуем, как изменяется потенциал сил Э в зависимости от произ­ вольного изменения (вариации) изогнутой оси балки. Увеличим, напри­ мер, все ординаты v(z) в к раз (рис. 1.37, а), так что \ к = ку и fk = kf. Тогда функционал (1.67)

Как видим, функционал Э представляет собой функцию второй степени от коэффициента к = f k/f. На рис. 1.37, б изображена зависи­

Вариационное уравнение (1.69) используется для приближенного определения деформированного состояния сложных систем (пластин, оболочек и др.). Применение его для дискретных систем заключается

в следующем. Функцию перемещений, например v (z ), можно предста­ вить в виде совокупности п базисных функций f.( z ) :

системы и не противоречит граничным условиям, а неизвестные коэф­

при произвольных и независимых вариациях 6д/ может быть выполнено только в случае соблюдения равенств:

из которых выражает условие равновесия, соответствующее /-му состоя­ нию системы. Решая эту систему уравнений, находят неизвестные пара­ метры Д/.

Аналогично формулируется и доказывается принцип вариации внутренних усилий (принцип Кастильяно) : энергия системы в действи­ тельном состоянии имеет минимальное значение. Для линейно-дефор- мируемых систем при использовании принципа Кастильяно сохраняются те же уравнения (1.73), только в них роль обобщенных координат Z выполняют не перемещения, а неизвестные силы - ’’силовые параметры”

Если в выражении (1.72) нагрузку Р надо определить, например, в задачах устойчивости, то из нетривиального решения системы урав­ нений (1.73) находят искомый параметр нагрузки, а параметры д/ ос­ таются неопределенными. В этом заключается применение метода Ритца для отыскания так называемых собственных значений (критических сил или частот свободных колебаний) (см. пп. 1.8.2, 2.2.3).

1.5. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

1.5.1.СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

ИОБЩИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МЕТОДОВ ИХ РАСЧЕТА

/Статически неопределимые системы. Статически неопределимой называется система, расчет которой на основе одних уравнений статики невозможен. Кинематическим признаком статически неопределимых систем является наличие в их структуре лишних (избыточных) связей. Число лишних связей определяет степень статической неопределимости

псистемы. Одновременное разрезание (удаление) лишних связей превра­ щает систему в статически определимую./

Если лишними являются только внешние связи, то систему назы­ вают внешне статически неопределимой. Если лишние связи имеются только во внутреннем образовании свободной (отделенной от опор) системы, то она называется внутренне статически неопределимой. Такое деление условно, поскольку оно зависит от того, какие связи прини­ маются за лишние. Системы могут быть одновременно внешне и внут­ ренне статически неопределимые.

Статически неопределимые системы обладают следующими отли­ чительными свойствами: внутренние силы в них возникают не только от нагрузки, но и от температурных и дислокационных воздействий; внутренние силы в них зависят не только от внешних сил, но и от соот­ ношения жесткостей элементов системы; эти системы могут находиться в состоянии самонапряжения, т.е. в напряженном состоянии без нагруз­ ки. Последнее свойство используют для создания предварительно напря­ женных конструкций. В целом же статически неопределимые системы оказывают большее сопротивление воздействиям, чем статически опре­ делимые, так как в отличие от них удаление некоторых (лишних) связей не ведет к изменяемости, а следовательно, и к разрушению конст­ рукции.

( Расчет статически неопределимой системы начинается с установления ее степени статической неопределимости п.\ Для плоских рам, состоящих из замкнутых контуров, удобно использовать формулу

щие взаимным линейным перемещениям, и одна связь, препятствующая взаимному угловому перемещению сечений контура в месте разреза. Этим обобщенным перемещениям соответствуют обобщенные внутрен­ ние силы М, QnN.

На рис. 1.38, б показана рама с двумя контурами (земля считается замыкающей связью). Шарниры А и С — однократные, а шарнир D — двукратный. Поэтому согласно выражению (1.74) п = 3 2 —4 = 2 .

Рис. 1.38. Основные системы метода сил

Рама, изображенная на рис. 1.38, в, 7 раз статически неопределима (п = = 3 3 —2 = 7). На рис. 1.38, г, д показаны системы, полученные из за­ данных после удаления лишних связей. Эти системы статически опреде­ лимы.

Отметим, что при удалении шарнира удаляются две внутренние (линейные) связи; при разрезании затяжки CD (рис. 1.38, б, г) (это делается обязательно) удаляется одна (линейная) связь; также одна связь (угловая) удаляется при врезании в контур шарнира.

Общие предпосылки методов расчета статически неопределимых систем. Расчету статически неопределимой системы подлежит не задан­ ная, а преобразованная система, которая должна быть эквивалентна ей в статическом й кинематическом отношениях —все усилия и перемещения в эквивалентной системе должны быть такими же, как и в заданной.

Условия эквивалентности заданной и преобразованной систем вы­ полняются при соблюдении принципа заменяемости связей, согласно которому:

любая /-я связь может быть разрезана (удалена), если вместо нее приложены обобщенные силы Я/ и принято, что взаимное перемещение,

любая /-я связь может быть введена, если при этом введенная связь получит соответствующее перемещение Z/ и будет принято, что реакция (усилие) в этой связи равна нулю, т.е.

Система, полученная из заданной путем удаления связей или введе­ ния их, называется основной системой, а соответствующие ей неизвест­ ные Х{ nZj - основными неизвестными.

Условие кинематической эквивалентности представляет собой равенство нулю обобщенного перемещения А/ от действия на преобра­ зованную систему как внешних воздействий, так и основных неизвест-

ных X j или Z j . Обозначая для общности рассуждений основные неизвест­ ные через У/, представим это условие в виде

где п - число основных неизвестных У/, a m - фактор внешнего воздействия.

Любой член этого уравнения, за исключением последнего, можно представить в виде произведения единичного перемещения 8.к на соот­ ветствующее неизвестное Yk : А /У,. _ 5ik Yk- Следовательно, выражение

где Дim - обобщенное перемещение Д/ от внешнего воздействия т на основную систему.

Исходя' из аналогичных рассуждений, запишем условие статической эквивалентности (1.76):

Число уравнений типа (1.78) и (1.79) равно числу п основных неизвестных. В совокупности они образуют систему канонических уравнений:

где cik - единичные коэффициенты (б.к или г -к) , не зависящие от внешнего воз­

действия; С(т - свободные члены (Д/ш или Rim)* зависящие от внешнего воз­ действия.

Размерность единичного коэффициента с.к определяется отношением размерности свободного члена С,*т к размерности соответствующего неизвестного Yk : [с.к] = [Qm]/[Yk ]. Отметим, что в соответствии с теоремами о взаимности [см. формулы (1.43) и (1.46)] Cik = СкГ Вычислив коэффициенты cik и свободные члены Qm из решения системы п уравнений с п неизвестными (1.80), находят величины У/. Затем в соответствии с принципом суперпозиции определяют усилия

S. в любой /-й связи или перемещения Д;.любого/-го узла:

Как видим, математическая часть расчета сводится в основном к решению системы алгебраических уравнений, которое при большом числе неизвестных выполняется с помощью вычислительных машин.

Если основная система получена из заданной только путем удаления связей и основными неизвестными являются силы Л/, то метод расчета называется методом сил\ если основная система получена из заданной только путем наложения связей и основными неизвестными являются перемещения Z/, то метод расчета называется методом перемещений; если же основная система получена путем одновременного и удаления, и

Универсальный контроль решения по любому из этих методов заключается в том, что перемещение Ду по направлению любой отбро­ шенной /-й связи, вычисленное по формуле (1.82), должно быть равно нулю; также должна быть равна нулю реакция R., вычисленная по формуле (1.81) в любой введенной /-й связи. I

1.5.2._МСТОДсил

Особенности метода. Основной системой метода сил является неиз­ меняемая и статически определимая (хотя это и не обязательно) систе­ ма, полученная из заданной путем устранения всех лишних связей. От­ метим, что основных систем в методе сил множество, так как разрезать замкнутый стержень или врезать шарнир можно в различных точках. Каждой основной системе соответствуют свои основные неизвестные - силы Х{.

Число уравнений кинематической эквивалентности всегда равно числу удаленных связей. Группируя п уравнений (1.77), получают систему п алгебраических уравнений с п неизвестными Л/. Система ка­ нонических уравнений метода сил при внешнем воздействии в виде нагрузки (т = р) имеет вид:

б11 <^1 + 6 1 2 ^2 + • • • + \блХ п + Д рi = 0 ;

собой перемещения и определяются по формуле Мора, согласно которой (для плоских рам):

/ EJ

Обратим внимание на то, что на каждом этапе расчета можно вы­ полнять контроль вычислений. Например, правильность определения коэффициентов д-к и свободны* членов Д/р можно проверить путем умножения так называемой суммарно-единичной эпюры моментов М5 = 2 Л/,- саму на себя и, отдельно, на грузовую эпюру моментов Л/°. В результате должны выполняться равенства:

в формуле (1.85).

Подчеркнем, что контроль по выражениям (1.90) является лишь этапным и не отражает правильности построения единичных и грузовой эпюры.

Универсальный контроль расчета системы методом сил заключается в кинематической проверке. Если все вычисления правильны, то пере­ мещение любой точки к по направлению соответствующей удаленной связи должно быть равно нулю, т.е. должно выполняться условие (для плоских рам):

приложенной по направлению удаленной связи; Мр —момент в заданной системе от нагрузки.

Для рамы с затяжками формула универсального контроля имеет

где Я'зат, F3aT - усилия в затяжках и площади их поперечных сечений.

Порядок и примеры расчета. Порядок расчета поясним на примере расчета плоской рамы, изображенной на рис. 1.39, а.

1. Определяем степень статической неопределимости системы. Здесь две лишние связи. Следовательно, п = 2.

2. Выбираем основную систему с основными неизвестными (рис. 1.39,6).

3.Строим грузовую и единичную эпюру моментов, соответствующие грузовому и единичным состояниям системы (рис. 1.39, в -д ) .

4.Вычисляем единичные коэффициенты и свободные члены системы

циентов и свободных членов.