книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

Xi = 1. Однако при расчете вручную это проще, чем проводить расчет сложной системы путем решения системы уравнений высокого порядка.

Признак мгновенной изменяемости по методу замены связей заклю­ чается в равенстве нулю коэффициента гх %(при замене одной связи); в этом случае согласно выражению (1.14) Х х = оо#

1.2.2. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ

Применение общих методов расчета. Все реальные конструкции пространственны: они имеют пространственные опорные закрепления и несут пространственную нагрузку. Расчет пространственной системы вручную намного сложнее, чем расчет плоской, но в ряде случаев его можно упростить путем разложения пространственной системы на плос­ кие. Так поступают, в частности, при расчете пространственных ферм, представляющих собой сетчатые системы. Об этом будет сказано ниже, а здесь рассмотрим случаи точного расчета Пространственных ферм при непосредственном использовании методов, изложенных в предыдущем параграфе.

Например, при расчете пространственной фермы, изображенной на рис. 1.15, д, можно использовать статический метод. Прежде всего выя­ вим наличие нулевых стержней. Так как трехстержневой узел 2 не нагру­

также способом моментной оси из уравнения моментов 2Af5 _6 = -PH -

- N x.4h = 0.

При расчете сложных пространственных ферм целесообразно исполь­ зовать метод замены связей. Например, пространственная ферма, изобра­ женная на рис. 1.8, а,является сложной, так как в каждом ее узле схо­ дятся по четыре стержня, и при непосредственном использовании способа вырезания узлов требуется решить систему алгебраических уравнений высокого порядка. На рис. 1.16 показана преобразованная система для этой пространственной фермы. Она получена из заданной фермы путем устранения стержня ВС и введения стержня AD. Так как в заменяющей системе в узлах В и С сходятся только по три стержня, усилия в них от действия нагрузки и сил ^ 1 = 1 найдем по способу вырезания узлов. Затем определим усилия в стержнях, примыкающих к узлу А. Используя формулы (1.14) и (1.15), вычислим усилия в стержнях заданной фермы.

Расчет сетчатых ферм путем разложения их на плоские системы. Если пространственная статически определимая ферма состоит из плос­ ких ферм, каждая из которых в своей плоскости геометрически неизме­ няема и неподвижна, то от нагрузки, приложенной в плоскости любой фермы, возникают усилия только в стержнях этой плоской фермы; все остальные стержни пространственной фермы будут нулевыми.

На основании этого свойства можно легко находить усилия в стерж­ нях ферм, имеющих вид призм или усеченных пирамид, если сосредото­ ченные силы в узлах предварительно разложить на составляющие, каж­ дая из которых действует в плоскостях соответствующих граней. Подчеркнем при этом, что пространственная ферма не только должна пред.

Рис. 1.18. Схемы для расчета пространственных ферм на кручение

7 - 3 не имеют в своих плоскостях необходимых опорных закреплений и не являются неподвижными системами. Отсюда следует, что внешние силы, действующие в этих плоскостях, будут восприниматься стержня­ ми других граней пространственной системы.

При расчете подобных ферм на действие пары сил в торцовом сече­ нии используют следующий способ. Пространственную ферму расчле­ няют на плоские, затем к каждой плоской ферме прикладывают внеш­ ние силы (нагрузку и реакции) и внутренние силы взаимодействия F/ со смежными фермами, которые являются для каждой выделенной плоской фермы внешними силами (см. рис. 1.18, б). Естественно, что при сложении плоских ферм в единую пространственную систему силы Fj должны взаимно уравновешиваться.

Определив из совместного решения уравнений равновесия плоских ферм силы F/, находят усилия в стержнях соответствующих граней от всех действующих сил; затем усилия в стержнях пространственной фер­ мы, принадлежащих двум смежным плоским фермам, суммируют.

Поясним сказанное на примере (см. рис. 1.18, а). Определив из условий статики опорные реакции R ~ РЪ/а (остальные реакции равны нулю), расчленим систему на шесть плоских ферм (см. рис. 1.18, б). После этого к узлам торцовой фермы 1 - 2 - б - 5 приложим силы Р и силы взаимодействия Fl и F2, представ­ ляющие собой проекции усилий в раскосах боковых ферм на торцовую плоскость (/г1 = TV4 6 cos a; F2 =Л Г1_4 cos/З). Из условия равновесия торцовой фермы £Л/ 6 =

= 0 получимРЬ = F\a + F2b.

Действие боковых граней друг на друга определяется узловыми силами F3. Прикладывая эти силы к узлам соответствующих плоских ферм совместно с си­ лами Fi и F2t запишем уравнения равновесия: Fxl = F3b и F2l = F3a. Выразив из этих уравнений F\ и F2 через F3 и подставив полученные величины в уравнение равновесия для торцовой фермы, получим F3 = Pl/(2е); F2 —Р/ 2; Fx = Pb/(2д).

Зная все силы, действующие в плоских фермах, найдем по способу вырезания узлов усилия в стержнях каждой из шести плоских ферм. Вертикальные стержни (пояса) пространственной фермы в данном случае будут нулевыми. Кручению фермы препятствуют только наклонные стержни (раскосы).

Отметим, что в многопанельных фермах постоянного поперечного сечения усилия в поясах при кручении будут незначительными. Однако роль поясов возрастет, если ферма будет иметь пирамидальный вид [2,14].

1.3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

1.3.1. ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ

Основные понятия. Подвижной нагрузкой называется группа парал­ лельных сил, неизменных по значению, направлению и взаимному распо­ ложению, которая совершает поступательное движение по системе (например, подвижная каретка с грузом на стреле башенного крана). Естественно, что усилие 5/ в любой /-й связи системы зависит от поло­ жения нагрузки. Невыгоднейшим (для /-й связи) называется такое по­ ложение нагрузки, при котором 5/ имеет экстремальное значение.

Простейшей подвижной нагрузкой является безразмерная единичная силаР = 1. График изменения усилия 5/ (или перемещения Ак ) от дейст­

вия единичной силы Р постоянного направления в зависимости от ее положения (координаты z) называется линией влияния (л.в.) усилия - л.в. Si (или перемещения - л.в. А ^).

Линию влияния Si(z) строят на базисе, соответствующем грузовой линии — прямой, перпендикулярной направлению действия силы Р = 1. Ордината линии влияния 5/ в какой-либо точке / выражает значение усилия Sf при положении силы Р на грузовой линии в точке /. Размер­ ность ординат [у] линии влияния S определяется формулой [5]/[Р], где [S] — размерность исследуемой величины, а [Р] — размерность силы. Положительные значения ординаты будем откладывать вниз от базиса.

Зная линию влияния 5/, можно, используя принцип независимости действия сил, определить значение 5/ от действия любой системы сил. Линии влияния строят на основе общих методов определения усилий в связях, изложенных в предыдущем параграфе.

Статический метод построения линий влияния усилий в балках. Построение линий влияния усилий (опорных реакций и внутренних сил) в балках статическим методом заключается в следующем. Силу Р = 1 прикладывают в произвольной точке балки. Положение этой точки фиксируется абсциссой z при произвольно выбранном начале отсчета. Используя условие статики, получают выражение искомой величины S, содержащее в общем случае абсциссу z. Считая z переменной величиной, получают уравнение л.в. S. Для получения уравнений линий влияния опорных реакций в простой балке достаточно зафиксировать положение силы Р = 1 один раз, а для получения уравнений линий влияния внутрен­ них сил Si 2 раза (слева и справа от рассматриваемого сечения z), для каждого из двух участков балки выводить свое уравнение S(z). Как будет показано ниже, в статически определимых системах уравнения линии влияния S содержат z в первой степени. Таким образом, все ли­ нии влияния усилий состоят из прямолинейных отрезков и, следователь­ но, для их построения надо на каждом участке задать лишь два значения абсциссы z.

Поясним сказанное на примере. Задаваясь абсциссой z (рис. 1.19. а)

нии влияния Si будут различными при положении силы Р слева и справа от сечения. Поэтому линии влияния 5/ будут состоять из двух прямых — левой и правой.

При построении линии влияния 5,- в межопорных сечениях (точка 1 на рис. 1.19, а) следует при приложении силы Р слева (справа) от /-го сечения усилие 5/ выразить через правую (левую) опорную реакцию. Например, при приложении силы Р = 1 справа от сечения - Мi = VA а = = (/ - z)fl//, а при приложении слева —Mi = = zb/l. Нетрудно убе­

диться в том, что левая и правая прямые линии влияния Мг пересекают­ ся под самим сечением (рис. 1.19, г). Из любого уравнения получим, что при приложении силы Р = 1 в точке 1 (z = а)М\ = ab/l.

Аналогично, при приложении силы Р — 1 справа Q\ = VA = (/ - z)//, а при приложении слева Q\ = —VB = -z//. Следовательно, левая и правая

прямые л.в. Qi параллельны и имеют разрыв под сечением на величину, равную единице (рис. 1.19, д ).

консольную часть балки. Так, при отсутствии силы Pi = 1 на консольной части, т.е. правее точки 2 внутренние усилия М2 и Q2 будут равны нулю,

прямые линии влияния М2 (рис. 1.19, е) пересекаются под сечением, а в линии влияния Q2 они параллельны (рис. 1.19, ж ), причем разрыв (скачок) в линии влияния Q2 будет, как и ранее, в месте сечения.

Кинематический метод построения линий влияния усилий в балках. Этот метод удобен в первую очередь для определения характера линии влияния. Используя уравнение (1.11) и учитывая, что внешней нагруз­ кой является только сила Р = 1, получим уравнение S = —Ap/As. Пос­ кольку в нем As представляет взаимное перемещение точек приложения усилий 15и является постоянной величиной, а представляет перемещения^ибех точек грузовой линии, т.е. эпюру возможных перемещений

Чтобы Положительные ординаты линии влияния были расположены внизу, следует механизму дать возможные перемещения от отрицатещ,-

Отметим, что произвольную нагрузку, действующую на прямолиней­ ном участке линии влияния (рис. 1.21, в), можно заменить ее равнодей­ ствующей/?. Как следует из рис. 1.21, в,

S = ЪРр. = 2 />yzj. tga = tg а ХР. z(. =

Невыгоднейшее положение подвижной нагрузки, т.е. такое положе­ ние, при котором искомая величина S имеет экстремальное значение, определяют в общем случае из условия экстремума dS/ dz = 0. Если имеется система связанных между собой сосредоточенных грузов и ли­ ния влияния криволинейна (например, л.в. А на рис. 1.21,г), то условие экстремума в соответствии с выражением (1.19) запишется так (рис. 1.21, д) :

( 1.20)

Если линия влияния S имеет треугольное очертание (рис. 1.21, ё) , то в такой записи условие экстремума использовать нельзя, так как функ­ ция y(z) = S(z) имеет излом, а производная y'(z) претерпевает разрыв (рис. 1.21, лиг). В этом случае условие (1.20) необходимо заменить таким условием, при котором переход одной из сосредоточенных сил через вершину треугольника изменит знак выражения 'ЕР.у'.. Эту силу назы­ вают критической Ркр.

Обозначим равнодействующие сил, расположенных в пределах левой и правой прямых, соответственно через Rn и Rn. Тогда при бесконечно малом перемещении системы сил влево

dS/dz = (R„ + PKp) t g a - R Btgfi>0,

а при смещении вправо

dS/dz = RJI tg ос—(Rn +/*кр) tg P< 0.

Подставив в эти уравнения значения tg ос = с/а и tg 0 = c/b, получим систему двух неравенств, определяющих невыгоднейшее загружение треугольной линии влияния:

Отметим, что эти неравенства применимы только тогда, когда сис­ тема нагрузок при малых перемещениях остается на грузовой линии.

Линии влияния при узловой передаче нагрузки. В конструкциях подвижная нагрузка может передаваться не непосредственно, а через другие, вспомогательные балки, которые опираются на рассматриваемую главную балку в узлах (рис. 1.22,а). Такая передача нагрузки называет­ ся узловой.

При приложении единичной силы Р между узлами М и/Уна главную балку будут передаваться опорные усилия, равные VM = { d - z)ld и

Рис. 1*22. Линии влияния усилий при узловой передаче нагрузки

VN = z/d. В результате совместно­ го влияния этих неподвижных, но переменных сил

s-

( 1.22)

т.е. линия влияния S на участке М - N представляет собой прямую, соединяющую концы ординат ум

иJV-

Таким образом, для построения линии влияния S при узловой передаче нагрузки необходимо на построенную линию влияния S (при передвижении силы Р непосредственно по балке АВ) спроектировать узлы, а затем проекции смежных узлов соединить прямолинейными отрезками. На рис. 1.22, бу е показаны в качестве примера линии влия­ ния Мк и Qk при узловой передаче нагрузки. Подчеркнем, что линии влияния строятся на базисе CD.

1.3.2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ В ФЕРМАХ

Статический метод. Построение линий влияния усилий ./V в стержнях ферм статическим методом основывается на общих способах определе­ ния усилий в фермах и на основных понятиях о межопорных и консоль­ ных сечениях, изложенных ранее. Особенность линии влияния N в фер­ мах заключается в том, что при рассечении фермы на две части (два дис­ ка) разрезается панель грузового пояса между двумя узлами. Поэтому, если используется способ моментной точки, то линия влияния N будет состоять из трех прямых: левой, правой и соединительной. Левая (пра­ вая) прямая соответствует грузовой линии левого (правого) диска, а соединительная —участку разрезанной панели.

При построении л.в. N в фермах используют те же уравнения стати­ ки, что и при построении линии влияния усилий в балках. Отличие за­ ключается в том, что при определении усилий Nf моменты вычисляют относительно моментной точки 0/. При этом левая и правая прямые линии влияния Ni должны пересекаться под моментной точкой О,*.

Поясним сказанное на примере. Построим линии влияния усилий в стержнях фермы типа стрелы башенного крана (рис. 1.23, а) при дви­

2Z = 0 получим НА = RB cos 0 = (z cos 0)/r (рис. 1.23, г ) .