книги / Упругопластическое деформирование и разрушение материалов при импульсном нагружении

р — р имеет участок положительной кривизны, сопровождается образо­ ванием ударной волны; на ее фронте параметры изменяются скачком по линии АВ (рис. 98, а) от начального состояния в точке А (рл, Ра)до конечного в точке В (рв, рв). Из соотношений для ударных волн скачок давления Дрлв связан со скачком плотности материала и его объемной деформацией Еу (изменением удельного объема А К) зависимостью

где. и и D — скачок массовой скорости при прохождении фронта и скорость фронта ударной волны; V = 1/р.

Рассмотрим ударный переход в материале, пренебрегая тепловыми эффектами неупругого деформирования материала (последние могут быть при необходимости легко учтены) и нестационарностью процессов, сопровождающих фазовый переход, т. е. пренебрегая конечным време­ нем релаксации напряжений и конечной крутизной фронта волнТы. При­ нимаем сжатие от начального состояния до конечного происходящим за промежуток времени, малый по сравнению с рассматриваемым пе­ риодом процесса. Так, при сжатии пористого материала (ПМ) с началь­ ной пористостью П0 — 1 — р00 р0 его деформация гу определяется сум­

марным сжатием за счет схлопывания пор ву и упругим сжатием сплош­ ного материала ву, соответствующим максимальному давлению:

Принимая для упругого объемного сжатия плотного вещества за­ висимость

р — Рп =

Р = Ко Ро >

из предыдущего выражения получаем связь давления и деформации в виде

где р0 и Ко — плотность и модуль объемной упругости сплошного ма­

р, определяется выражением

С учетом возможного влияния тепловых эффектов иеупругого де­ формирования в процессе схлопывания пор в ПМ и действия сдвиговых напряжений, повышающих уровень давления при той же деформации, указанный расчет дает оценку скорости ударной волны снизу. Приве­ денные на рис. 98, б расчетные зависимости удовлетворительно соот­ ветствуют экспериментальным данным, полученным на пористом желе­ зе с начальной плотностью 20 (/) и 30 % (2).

Естественно, что при малой интенсивности волны, не вызывающей схлопывания лор, не обеспечивается условие возникновения ударной волны (наличие участка ударной адиабаты с положительной кривиз­ ной) и указанные расчеты неприменимы. В этом случае по материалу распространения волна неупругих деформаций с размывающимся фронтом.

Приведенные расчетные соотношения при нулевой пористости сво­ дятся к известным соотношениям для сплошного материала без учета нелинейности сжатия:

Р1Ко i + РПС„

Изменение сжимаемости с ростом давления и температуры может быть учтено соответствующим изменением модуля объемной упругости.

При фазовом переходе, имеющем характер ударноволнового пере­

хода от состояния перед фронтом рф, рф (до фазового перехода) к со­ стоянию за фронтом р', р' (после перехода), скорость ударной волны Оф рассчитывается аналогично приведенному выше примеру для ПМ.

Результирующее объемное сжатие в плоской волне с фазовым пере­ ходом определяется суммарным изменением удельного объема вслед­ ствие изменения фазы ДУф при давлении рф ц вследствие упругого сжатия этой фазы А К': АУ = А Уф 4* AV"

Выражение для скорости распространения ударной волны фазо­ вого перехода получим в виде

Я * ___ £^*Ф____

р-; (ДКФ + А П *

Обозначим параметры а-фазы — р, /С; параметры е-фазы — р \ /С'; параметры при переходном давлении р — Рф — /Сф, Рф. Тогда

РФ = Р о ( 1 + «

________ Р~Рф______

-« ф - ^ ) р ф •

После несложных преобразований найдем зависимость для расчета скорости волны, распространяющейся по материалу, сжатому до

давления р$:

где Др = р - р ф; /C' = t f ^ l + a ' - ^ - j .

Скорость волны относительно несжатого материала (скорость в лагранжевой системе координат)

/)} = о ф-£* .

Ро

По результатам обработки статических измерений принято 182], что изменение объема при фазовом переходе в области давлений около

13 ГПа в стали ДУф = 0,38 см3 моль = 6,8 • 10 15м3 кг, а упругое объемное сжатие можно аппроксимировать в виде (рис. 99, а)

стает с его повышением. Представленные на рис. 99, б эксперименталь­ ные данные, полученные при ударном сжатии железа 1761, удовлетво­ рительно согласуются с рассчитанными по выражению (6.13). Из при­ веденных данных также следует, что модули объемной упругости для

риментальными свидетельствует, что использованная схема расчета удовлетворительно учитывает основные особенности поведения ма­ териала при ударно-волновом сжатии.

6. Уплотнение пористых материалов

Упругое сжатие пористых металлов. При решении ряда задач совре­ менной техники используют способность пористой металлокерамики поглощать энергию в процессе ее необратимого уплотнения. В связи с этим значительный интерес представляет изучение начальной стадии деформирования пористых металлов, связанной с их упругим поведе­ нием. Влияние пористости на характеристики упругости материалов изучалось как теоретически, таки экспериментально [70, 92] многими исследователями. Имеющиеся в литературе данные по упругому пове­ дению материалов в основном относятся к случаю малой концентрации (до 20 %) сферических включений.

В работе [92] представлена попытка оценить упругие постоянные композита в зависимости от формы и размеров включений. Полученные приближенные зависимости при объеме включений более 20 % с экспе­ риментом не согласуются. Для пористого материала принимается ну­ левая жесткость включений. Ниже изложена расчетная модель пористо­ го материала, используемая для определения его модулей упругости и коэффициента Пуассона, проведено сопоставление с известными си­ стематическими экспериментальными данными для железа, рассчитан­ ными по резонансным частотам поперечных и крутильных колебаний цилиндрических образцов 0 8 х 100 различной пористости.

Пористый материал представим в виде матрицы основного матери­ ала с регулярно расположенными порами.

Прежде всего определим модуль объемной упругости пористого материала К (£ 0>vo — модуль Юнга и коэффициент Пуассона, рв — плотность материала матрицы). Гидростатическое сжатие пористого материала связано с распределением упругих напряжений вблизи пор. Для учета этого распределения представим элемент пористого материа­ ла в виде сферы с центральной порой (наружным и внутренним радиу­ сами R и г0соответственно) и рассмотрим его упругую деформацию при действии внешнего гидростатического давления р.

Из изв'естного решения задачи Ламе [12] получим связь тангенци­ альной деформации на наружной поверхности полой среды е0 с уров­

Учитывая, что объемная деформация такой сферы ву определяется

а0,км/с

m

к

Ю 20 30 *0 SO fl,% 0 20 w nt%

Рис. 103. Влияние пористости на модуль Юнга и модуль упругого сдвига

Рис. 104. Влияние пористости железа на скорость упругой волны

ми упругости материала матрицы и в отличие от известных подходов раскрыт физический смысл эмпирических коэффициентов. При пори­ стости до 15 % аппроксимация кривых обеспечивается одним эмпи­ рическим коэффициентом |.

Соответствие расчетных и экспериментально полученных резуль­ татов позволяет заключить, что использованная расчетная модель удовлетворительно учитывает особенности упругого деформирования пористого материала при изменении пористости П в диапазоне 0.. .50 %.

Квазистатическое уплотнение пористого железа при сжатии. Дефор­ мирование ПМ — сложный процесс, включающий ряд стадий. Рас­ смотрим ПМ при монотонном нагружении, которое сопровождается переходом от чисто упругого поведения (ПМ можно рассматривать как сплошную среду со своими модулями упругости, зависящими от пори­ стости) к упругопластическому с локальными неупругими деформация­ ми в более напряженных областях вблизи пор (состояние неполной пластичности) и, наконец, состоянию полной пластичности.

Расчет упругого деформирования ПМ не представляет затрудне­ ний н может бытк проведен с применением достаточно разработанных методов решения для упругих сред. При неполной и полной пластич­ ности материала связь напряжений и деформаций ПМ в большинстве работ определяется на основе упрощенных моделей*, нё имеющих убе­ дительного физического обоснования. Поэтому в данном сообщении основное внимание уделим определению их физически обоснованной связи, пренебрегая в первом приближении уплотнением ПМ вследствие действия сдвиговых напряжений (принимаем, что понижение пористо­ сти — результат действия средних напряжений сжатия в ПМ). Решение представим в два этапа: на первом рассмотрим уплотнение ПМ с ростом давления (средних напряжений), т. е. связь давления и объемной де­ формации, на втором — связь сдвиговых напряжений и деформаций.

Деформирование ПМ при действии давления (без сдвиговых де­ формаций). ПМ моделируем набором сфер с центральными порами на­ груженных внешним давлением р. Наружный радиус сферы R и эффек­ тивный радиус поры г0э связаны с пористостью соотношением: