книги / Упругопластическое деформирование и разрушение материалов при импульсном нагружении

где £ — коэффициент формы пор, £ > I; £ = 1 для пор сферической формы, П9 — эффективная пористость; индекс «э» в дальнейшем опус­ каем.

Воспользуемся известным решением для упругой сферы с централь­ ной сферической полостью, подверженной действию наружного (р) и внутреннего (/?0) давлений, по которому радиальные и тангенциальные напряжения определяются соотношениями

°г —

-н^('-ж'[+(Я'+']-'[|+тет])

Тангенциальная упругая деформация в0 на поверхности г — R, определяющая объемное сжатие сферы = Зее (а следовательно, и упругое объемное сжатие ПМ — набора сфер), определяется при р0 = О по обобщенному закону Гука выражением

При повышении давления возникает пластическое течение, перво­ начально развивающееся вблизи внутренней полости. Сфера разделя­ ется на два сферических слоя: внутренний (г £ [r0, RTJ) деформиру­ ется неупруго, а внешний (г £ [Rr, R]) деформируется упруго под действием давлений р на внешней поверхности и ртна внутренней.

Давление на границе раздела ртопределяется неупругим деформи­ рованием внутренней области. На этой границе напряжения сдвига достигают критического.значения. По критерию Треска на внутренней поверхности упругого слоя

откуда получаем зависимость между приложенным внешним давлением и радиусом RT

(ото — предел текучести материала матрицы).

С другой стороны, рг как давление на внешнем радиусе внутреннего неупругого деформируемого слоя определяется из условий пластиче­ ского течения материала.

Из уравнения статического равновесия элементарного объема, вы­ деленного в пластически деформированной области (рис. 105).

2 (<7« — a,)/r — do,/dr

и условия течения Треска, ovo = оу п-

— ое (пренебрегая деформационным упрочнением), получим дифференци-

dor . о daxO альное уравнение-^- = —2 —— , ин­

тегрируя которое (в пределах r0y Rf) получаем выражение.для расчета дав: ления на границе слоев

eE j3 (1 — 2v0).

2.При неупругом деформировании вблизи поры (г £ [r0, R T}) объем­

ная деформация ПМ определяется из (6.23) — (6.25) параметрическим выражением (в (6.23) r0 = RT, р0 = рг)

(6.26)

Ev — — 3 Ко [ ч - Ч З Т + - г а ^ й г ( * П

Модуль объемного сжатия в этом случае

т.е. К 0 при RT-> R.

3.При полной пластичности объемная деформация ПМ определяет­ ся из (6.26) при

Как следует из этих выражений, с понижением пористости быстро воз растает давление, приводящее к полной пластичности..

Таким образом, при росте давлений выше критического р* имее* место полная пластичность ПМ, и изменение его удельного объема

(под пористостью понимается ее значение в разгруженном материале). Для квазистагического нагружения уровень давления связан с пористостью материала в процессе его уплотнения при полной плас­

' +-?-г£Й-Н«(~г*)+'Ч10- П 0)

1 — ехр ( ------I-P/Ort)

(6.30)

Уо :—1/Poi П0 — 1 р00 р0,

а плотность ПМ

1 - П 0

р/ро =

1"Ь Е\/(* — По)

Сжатие ПМ с учетом сдвиговых деформаций. Заметим, что если ПМ находится в условиях всестороннего гидростатического сжатия, материал матрицы испытывает как упругое объемное сжатие, так и сдвиговые деформации. Оценим энергии этих деформаций, необходи­ мых в дальнейшем при рассмотрении процессов отличных от гидро­ статического сжатия.

Средняя объемная деформация материала матрицы в области ее пластического течения (не следует отождествлять с объемной деформа-

цией ПМ, в которрй ar =-д-ат01п (г0 (Rr)*) определяется интегрирова­

нием изменения объема по матричному материалу сферических элементов, представляющих ПМ,

и при полной пластичности (Rr = R, р = ;>*)

Удельная (н£ единицу объема ПМ) энергия упругого объемного сжатия при полной текучести равна энергии упругого сжатия матери-

ала матрицы, которая определяется модулем объемной упругости и деформацией е{?:

= (1 - П) К , (ё?)=/2.

Энергия упругого формоизменения ПМ включает энергию формоизменения, связанную с действием средних напряжении Ьф (р), и энергию,

связанную с негидростатическим сжатием £ф (SF/M). Энергия упругого формоизменения, связанная с гидростатическим сжатием, определя­ ется модулем сдвига и составляющими тензора-девиатора напряжений

SIT в объеме матрицы (при Rr = R)

При полной текучести матричного материала с пределом текучести Ото энергия формоизменения, определяемая по критерию Мизеса,

поэтому в ПМ с пористостью Пона не превышает (если не учитывать де­ формационное упрочнение) величину

£ r = - r i r < i - n )

определяется как разность ее максимального значения для матрицы и энергии упругого формоизменения в материале при его гидростати­ ческом сжатии,

Следовательно, имеет место нулевой уровень тензора-девиатора напряжений в ПМ при его деформировании с уровнем средних напря­ жений, вызывающих полную пластичность. Процесс деформирования ПМ в случае гидростатического и негидростатического сжатия, сопровождающегося уплотнением материала, описывает уравнение (6.30).

Наиболее сложным является случай сжатия ПМ давлением, не вы­ зывающим наступление полной пластичности (р < рт(RT)). В этом случае потенциальная энергия формоизменения ПМ определяется обла­ стью упругого деформирования (/?, < г < /?).

В упругой области среднее напряжение а и составляющие тензорадевиатора Srr и See определяются выражениями

Таким образом, энергия упругого формоизменения при неполной пла­ стичности на единицу объема ПМ в области г £ [RTt #]

(R?/R)3

l - (Rr/R)a *

Поскольку максимальная энергия формоизменения материала матрицы

не превышает £фах, то с упругим формоизменением ПМ может быть связана только часть энергии

9

6G0 Н*Л1

а составляющие тензора-девиатора напряжений St/ в ПМ удовлетво­ ряют неравенству

Следовательно, при негидростатическом напряженном состоянии процесс деформирования ПМ существенно зависит от уровня среднего сжимающего напряжения.

При действии на ПМ только сдвиговых напряжений также возни­ кают области локализованного пластйческого течения вблизи пор, однако из учет затруднен в силу отсутствия удобных решений. Поэто­ му в первом приближении можно принять, что квазиупругое деформи­ рование при сдвиге сохраняется до тех пор, пока энергия упругого формоизменения в материале не достигнет предельной, после чего начи­ нается пластическое течение, которое не сопровождается уплотнением.

При этом условии под действием давления р не возникает локализо­ ванное пластическое течение.

Если при рассматриваемом напряженном состоянии под действием давления возникает состояние неполной пластичности (RT с R), для оценки условий перехода к полной пластичности следует использоватьвместо (6.31) уравнение

£ Г - - 5 - 4 - [* - ( Э Д - Т 42^ 1

(6.33>

Рт

По этому выражению можно рассчитать кривую дес{юрмирования при заданном изменении средних напряжений, вызывающих состояние неполной пластичности. Так, при одноосной деформации в плоской волне для случая RT£ [/•„•, R]

2

По уравнениям (6.34) и (6.35) может быть построена зависимость ог (е,)— кривая сжатия пористого материала в области неполной пластичности. Наклон кривой аг (еД определяемый выражением

монотонно снижается до нуля при увеличении радиуса пластически деформированной области до R, что ведет и к уменьшению скорости распространения соответствующего участка фронта волны.

Приведенная модель деформирования ПМ позволяет рассчитать напряженно-деформированное состояние в элементах конструкции и»

ПМ с учетом объемного сжатия и сдвига при квазистатическом нагру­ жении.

Гидродинамическое уплотнение пористых материалов. Эксперимен­ тальные данные по динамическому сжатию железа различной пори­ стости в плоских волнах свидетельствуют о том, что давление в волне, необходимое для понижения пористости до нескольких процентов, выше для материала с меньшей начальной пористостью П0. Последнее, повидимому, связано с различием в скорости деформации и уровне нагре­ ва материала (влияющем на его предел текучести сгт).

Точный расчет процесса схлопывания пор с учетом скорости деформа­ ции и измёнения температуры возможен только численными метода­ ми. Поэтому в настоящем сообщении ограничимся рассмотрением ка­ чественной картины процесса деформации ПМ с оценкой тепловых эф­ фектов и скоростей деформации на основе упрощенных представлений, допускающих использование методов расчета.

Прежде всего следует заметить, что по результатам экспериментов при одноосной деформации ПМ в плоских волнах на нагружаемой по­ верхности в начальный момент реализуется предельно высокий уровень давления, соответствующий упругому поведению ПМ. По мере разви­ тия процессов релаксации напряжений (развитие пластической дефор­ мации) давление в этой области снижается, приближаясь к уровню со­ ответствующего статического сопротивления (при достаточной дли­ тельности процесса).

Уровень давлений, вызывающий переход от упругого к неупруго­ му деформированию, определяется пределом текучести материала мат­ рицы. При статическом давлении, достигающем

наступает полная пластичность материала матрицы. Этот уровень дав­ ления определяет амплитуду упругого предвестника рп на фронте плоской волны, распространяющейся в ПМ. Изменение р7 в зависимости от пористости (пренебрегая возможным влиянием скорости деформации на фронте предвестника на сопротивление материала матрицы).

Р п — з о7 In *По

соответствует экспериментальным данным по сжатию пористого железа в плоской волне при от = 660 МПа, £ = 1,67. Этот предел текучести материала матрицы характеризует сопротивление мягкой стали при

скоростях деформации е « 103 с-1; повышение температуры вследст­ вие пластической деформации при уплотнении ПМ в волне нагрузки

ведет к снижению сопротивления нагружению, а наличие вязкости — к его повышению.

Приведем анализ динамического уплотнения ПМ, учитывая эффек­ ты вязкости материала металлической матрицы. С учетом сил инерции

радиальное течение вблизи сферической поры в сферических координа­ тах представляется уравнением (о,, ав приняты положительными при сжатии)

уравнение для скорости перемещения г!г0 = го/г2, с использованием которого, интегрируя уравнение (6.36) по радиусу, при нулевом давлении внутри поры (Р = 0 при г — г0) для вязкопластической сре­ ды с постоянным коэффициентом вязкости, получаем

ности поры соответственно.

Давление на значительном удалении от центра одиночной поры (Рое при г-*- оо) приводится к известному уравнению Рэлея — Ламба,

Для реальных пористых материалов (размеры пор порядка 0,1 мм) при статическом и импульсном нагружении давлением в несколько ГПа

(при времени роста давления больше 10-7 с) состояние течения может быть принято вблизи поры квазистатическим (т. е. без учета инерции радиального течения) и уравнение (6.37) допустимо принять в упро­ щенном виде:

Отсюда следует, что скорость объемного уплотнения зависит от уровня давления и вязкости материала

Для получения уравнений, описывающих кинетику сдвига в ПМ, воспользуемся уравнениями Кукуджанова — Пэжины для скорости пластического сдвига в континууме

где Of, е, —г интенсивности напряжений и деформаций;- £х — время1 релаксации сдвиговых напряжений.

Поскольку при перенапряжении время релаксации сдвигобых на­ пряжений в ПМ определяется релаксацией напряжений в материале матрицы, можем принять для материала матрицы и ПМ это время

одинаковым. При этом коэффициент вязкости в ПМ определяется его

ПМ

модулем упругого сдвига р?м = Щ— . Следовательно,

Изложенный подход позволяет учесть вязкую составляющую сопротив­ ления ПМ (при полной пластиности). Коэффициент вязкости щ и ста­ тическое сопротивление от в общем случае изменяются в процессе деформации. Для оценки эффективной пластической деформации ма­ териала матрицы ПМ при уплотнении, определяющей деформационное упрочнение, определим взаимосвязь уплотнения АП — П0 — П с интенсивностью пластической деформации е„.

Поскольку работа уплотнения ПМ равна работе сил сопротивления материала матрицы,

П.

По уплотнению П0 — П можно учесть деформационное упрочнение и температурное разупрочнение. Если воспользоваться наиболее про­ стой степенной зависимостью для кривой деформации материала

а (ел) = А (ея)м ( а > а ^ , п < 1)

и линейной зависимостью сопротивления от температуры

а(Г) = от(Г0) ( 1 - С ф Д ^

совместное действие деформационного упрочнения и повышения темпе­ ратуры, связанные с уплотнением ПМ, описывается уравнением

Iпadz

<г(е„, Т )= ЛеГД 1 — РСуТ*

Отсюда получим выражение для сопротивления материала матрицы в процессе уплотнения

a(e„, Т) = i4e"exp

А£ ptyT* (п + 1)

(6.39)