книги / Аналитическая геометрия.-1

§ 6]

ОДНОРОДНАЯ

СИСТЕМА

1 4 1

§ 6. Однородная система. Перейдем теперь к исследованию

системы однородных

уравнений:

X l = alx -{-b ly - \ - clz =

0,

'

Х г=

агх -|- bty 4 - ctz =

О,

(23)

x > ^ aS - \- b ,y - \- c ,z = О,

причем для сокращения письма мы через

X lt

Х г, Х г

обозначаем

левые части уравнений. Исследование разобьем на три

случая.

I. Если

определитель

Д системы (23) отличен от

нуля,

то эта

система

будет иметь одно определенное решение согласно § 5. В нашем

случае

это

будет очевидное решение x — y = z = О,

которое

назы­

вают нулевым решением.

II. Предположим,

что

определитель

Д

системы (23)

равен

нулю,

но по крайней мере один из его миноров отличен

от

нуля. Уста­

навливая надлежащим

образом порядок

уравнений

и

неизвестных

в системе

(23),

можно

всегда

достигнуть

того,

чтобы минор,

отлич­

ный от

нуля,

стоял

в

левом

верхнем

углу

определителя

Д. Итак,

не уменьшая общности, мы можем считать

Д =

0;

Ьг

Ф Ъ-

К

Рассмотрим

определитель

D =

«.

bx X,

аг Ьг Хг

Заменяя Х х, Xt, Xt их выражениями, мы можем вследствие свойств

V и "VII- {§ 4): представить определитель

D в виде суммы трех опре­

делителей:

bt

at

«. bx

bx

ax

ai

bx c,

D =

at

bt

at

X +

аг b2 bt

У +

в*

Ьг

аг Ьг a.

a, bx

bx

a,

Ьг С,

Определители,

стоящие

при х

и у,

равны нулю, так как имеют

по два одинаковых

столбца,

а определитель,

стоящий

при z,

есть

определитель А, равный нулю по

условию,

т. е. имеет

место

тож­

дество относительно х, у , z:

« . К X ,

« . Ьг

Х г =

0 .

1 4 2

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА

[г л . VI

=

0,

(24')

где а, и а , суть алгебраические дополнения элементов

Х г, Х 2.

Это тождество показывает, что третье из уравнений (23) есть

следствие первых двух. В самом деле, если

при

некоторых значе­

ниях х у у , z мы будем

иметь

Х г = Х 2 =

0,

то из

тождества

(24')

и условия

6=^=0 вытекает,

что

и ^

=

0 для

этих значений

х у

у , z .

Таким

образом,

в рассматриваемом

случае

остается

решить

сов­

местно первые два уравнения системы

(23). Согласно

формула^

(9)

решение будет:

y — k

сл

a%

z = k

e i

b*

«2 h

т.

е.

x = kA„

y = kB„

z = kC„

где

k есть

произвольный

множитель. Если

k= £0t то

z= £0

и

полу­

чаемое решение отлично от нулевого.

111.

Предположим,

наконец,

что

определитель

А и

все

его ми­

норы равны нулю. Не уменьшая общности, можем считать, что коэф­

фициент аг отличен

от

нуля. Рассмотрим два

определителя- 2-го

по­

рядка:

Х А

x t

К

в,

Н*

4

"*=«,

X,

•

Каждый из этих определителей можно представить в виде суммы

трех определителей

(§ 4):

Я . =

а,

а,

* +

а,

Ь,

уА г

«1

с,

«2

«2

«2 Ьг

«2 С2

0 г =

а,

а,

в ,

С ,

«2

«2

«2

Ь,

а, с,

§ б]

ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА

1 4 3

а1 Х г =

0.

а,

X t

= 0,

(25)

а,

v‘

а. Х 9

X ,

или

а.ЛГ, — « ^ , =

0,

atX, — atX t = 0.

(25')

Эти тождества показывают, что последние два из уравнений (23)

суть следствия

первого. В самом деле,

из

тождеств

(25') и условия

at =^=0 вытекает,

что

если ^

= 0, то

и Х я = Хя =

0и Итак, в рас­

сматриваемом случае

достаточно

решить

одно первое уравнение, и

мы получим решение

системы (23) в виде:

__

Ьху-\-схг

нуляу то одно из уравнений

системы есть следствие двух других.

Если же не. только определитель

системы (23), но и все его ми­

норы, равны

нулю, то система приводится к одному уравнению,

Пример

1. Решить систему

2х — 3у + г = 0, х.+ у + г = 0, Зх + у —2 г = 0 .

Определитель системы

2 —3

1

Д =

1

1

1 =

— 23

3

1 — 2

отличен от нуля.

Следовательно,

данная система имеет единственное нулевое

решение.

2.

Решить систему

П р и м е р

0, х — 3у = 0.

х + 0 + г =

0,

Зх — */ +

2z =

Определитель системы

1

1 1

1

1 1

3 — 1 2

1 — 3 0

1 — 3 0

1 — 3 0

Минор определителя Д,

например

1 Ч

4,

3 —1|

1 4 4

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА

[гл . VI

х = к I 1

=

3s,

y =

k

1 1 =

k,

z — k I1 1

= -4 k ,

1—1

2

3

3 —1

где k произвольно.

П р и м е р 3. Решить систему

х — у -f- z =

0,

2х — 2у +

2z =

0, 3* — Зу -f- 3z = 0.

Определитель системы

— 1

1

1

— 1

1

1

= 0.

А = 2 —2 2

= 2-3 1 — 1

1

3 —3

3

1

— 1

1

у =

х + г,

где х и г остаются произвольными.

§

7. Общее исследование системы трех уравнений первой

степени с тремя

неизвестными.

Обращаясь теперь к

исследованию

неоднородной системы

* , =

‘IiX +

b,y + ctz =

d„

\

Хг=

агх +

Ьгу - \- с гг =

<1г,

V

(26)

рассмотрим

отдельно ряд

случаев.

I

I. Если определитель Д этой системы отличен от нуля, то си­

стема

эта

имеет

единственное

решение,

выражаемое

формулами

(22')

(§ 5).

II.

Предположим, что

определитель

Д равен

нулю,

но по крайней

мере

один

из его

миноров, за

который

мы можем принять,

не умень­

1 4 8

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2-ГО И

3-ГО

ПОРЯДКА

[гл. VI

Определитель системы

2

1

1

2

1

1

д =

4 2 2

=

6

2

1

1

6

3

3

2

1

1

Все его миноры тоже равны нулю. Среди

определителей 2-го

порядка

таб­

лицы

2,

1,

1,

4

4,

2,

2,

5

6,

3,

3, 10

есть отлйчный от нуля, например ^

5 =

— 3.

Следовательно,

данная

си­

стема несовместна, в чем убеждаемся

непосредственно, умножив первое уравне­

ние на 2 или на 3.

П р и м е р 4.

Решить систему

2* + y + z = 4.

4х +

2// +

2z =

8,

6х + Зу + Зг = 12.

Определитель

системы — тот

же,

что

и в предыдущем примере; значит,

Д = 0 и все его

миноры

тоже

равны

нулю. Определители 2-го порядка таб­

лицы

2»

1,

1,

4,

4,

2,

2,

8,

* 1

— *ш

Ух— Уг

5 = ± т

—

Уг — Уг *

§ 8]

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1 4 9

Прибавляя к элементам первых двух строк элементы третьей

строки,

найдем окончательно:

S =

*1

Уг

1

2 * 1

Уг

1

Уг

1

2.

Ус л о в и е ,

при

к о т о р о м

т ри

т о ч к и

л е ж а т на

о д н о й

пря мой .

Если

три данные

точки

находятся на

одной

прямой линии,

то

5 =

0,

и обратно.

Следовательно,

условием того, чтобы три данные

точки

(xlt

у 9),

(х21

y 2)t

(х9, у 9)

лежали

на

одной

прямой,

будет

* 1

Уг

1

Ух

1 = 0.

У,

1

3.

У р а в н е н и е п р я м о й , п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е д а н ­

ные

т о чк и .

(ха, у 9)

Заменив

в

последнем

условии

текущими

координатами

(аг, у ),

получим

уравнение

первой степени:

Уг

1

0

X

у

1

*»

Ух

1 =

или

* .

У,

1

X

у

1

Ух

1

которое определяет прямую линию, проходящую

через две

данные

точки: (*,,

у х)

и (х2, у г).

Эту

задачу

возможно

также

решить

с

помощью определителей,

не прибегая к формуле для площади треугольника. Пусть уравнение

искомой

прямой линии

будет

А х-\-В у - [ - С = 0 . Так

как эта

прямая

согласно условию должна проходить через

точки (х91 .у,), (**> .УД т0

координаты

последних должны

удовлетворять

уравнению прямой, т. е.

Ахх -\-В уг-]г-С =0,

Ах2— Ву2— С = 0.

Итак,

имеем три уравнения:

A x — B

y

С =

0,

Ахх

С =

0,

i4„vl -j-# y a- |- C = 0 ,

1 5 0

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО

И 3-ГО ПОРЯДКА

[гл . VI

Полученное

уравнение первой

степени относительно х %у изображает,

очевидно, искомую прямую.

Легко

проверить, что координаты двух

тельно,

подставляя вместо х у

у

координаты данной

точки, получим

в левой

части определитель

с

двумя одинаковыми

строками, кото­

тривать

также, Как условие того, что три точки (х, 3;), (хХУдг,),

(.vt, y t)

лежат на одной прямой.

4.

У с л о в и е ,

при к о т о р о м т р и п р я м ы е п е р е с е к а ю т с я

в о д н о й

точке.

Пусть

три данные

прямые

линии

А,х +

В,у С, = О

А \хй4 “

4 “ Сх=

О,

А2х 0 +

В2у 0 Сг =

О,

Агх о+

ВгУо+

С, =

0.

Эти равенства

показывают, что однородная система

Ахх -{- Вху -{- Cxz =

0,

А2х -1- В2у -{- C2z =

О,

А г х 4 “

4 " C * Z — 0

имеет ненулевое решение * =

* 0, y = y Qt z =

1. Следовательно, опре­

делитель

этой

системы должен

быть

равен

нулю,

что и дает нам

искомое

условие: