Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§	71		ПРЕОБРАЗОВАНИЕ			ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ					121
	Покажем прежде всего, что при помощи поворота координатных
осей		его всегда		можно		привести		к	виду, не содержащему		члена
с	произведением переменных.
	Повернем координатные оси на некоторый угол а, который выбе
рем		впоследствии.
	Как		известно,	формулы преобразования координат						имеют вид:
					х = X cos а — Кsin а,
					у = A’sin а			Уcos а.
	Заменяя в данном уравнении х и у								их выражениями по формулам
преобразования, получим:
	А (X cos а — Уsin а)2 4* В (X cos а — Уsin а) (A'sin а									Уcos а) 4
			4-C(A 'sin а 4			Kcosa)2-J-D (A ’c o sa — Кsin а) 4
								4	E (Л'sin a 4	Кcos a) 4	F = 0.
	Раскрыв в этом уравнении скобки и сделав приведение подобных
членов, будем иметь уравнение данной									линии в новых координатах
в	таком		виде:
			АхХ г+		ВхХУ-\- СхК2 +			DxX 4" Ех Y + F = 0 ,
где для			краткости	положено:
			Ах=		A cos2 a 4		В sin a cos a 4 Csin2a,
			Bx=		2 (C— i4)sina c o s a 4 ^ ( cos2(1 — sin2 a),
			CX= A sin2 a — В sin a cos a 4* Ccos*a »
			Dx=		О cos a 4* E sin a ,
			Ex = — D sin a				E cos a.
	Выберем угол			a	так,	чтобы	коэффициент Вх обратился в				нуль,
т. е.		чтобы
			2 (С— A) sin a cos a 4 Я (cosa — sina ) =							0.	(17)
	Припомнив, что				sin a cos a =		у	sin 2a и
					cos2 a — sin2 a =				cos 2a,

перепишем уравнение (17), определяющее угол поворота а, в таком

виде:	(18)
(С— A) sin 2a4~ #cos 2a = 0.	(18)
Заметим, что sin2a=^0, так как в противном случае,	как видно из

уравнения (18), равнялось бы нулю и В, что противоречит условию.

Поэтому уравнение (18) можно разделить	на sin 2a, после чего
получим
(С— /l)4 - ^ c tg 2 a =	0,

122	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ		[ГЛ. V
откуда	. о	Л — С
			(19)
	ctg 2 о =	— 2j— •

Таким образом, всегда можно выбрать угол а так, что после поворота координатных осей на этот угол в уравнении линии 2-го порядка исчезнет член с произведением переменных. Угол а мы бу

дем выбирать так, чтобы 0« х <

Получив ctg 2а по формуле (19), мы воспользуемся известной из тригонометрии формулой (в силу выбора а знаки cos 2а и ctg 2а одинаковы)

			cos 2а =		ctg 2а
			cos 2а =	У1+ ctg2 2а
и далее	по формулам			У1+ ctg2 2а
и далее	по формулам
		1 — cos 2а					/~\	4- cos 2а
		/ -----2------		и	cos а =	у
найдем	sin а	и cos а,	а это позволит вычислить					новые	коэффици
енты Л,, С„		Dx и Ех.
В результате преобразованное				уравнение линии				примет	вид:
		АхХ* +	СхУ2+ DxX -\-E xY-\- F = 0,						(20)
где все	коэффициенты		известны.
Дальнейшее упрощение полученного уравнения (20) производится
методами, описанными в § 6.
П р и м е р .		Упростить уравнение
		г+ У + 02— 3* — 6у + 3= О
и установить вид кривой.					найдя ctg 2а	по формуле (19). В данном
Повернем оси координат на угол а,					найдя ctg 2а	по формуле (19). В данном
случае Л = 1,		С = 1 и В = 1. Следовательно, ctg 2 а = 1 — 2 = 0 и 2 а = 9 0 ° .

Отсюда а = 45*. Так как sill 45° = cos 45° = зования координат примут вид

X — Y

= V2 ’

У~2 1

—2 у^2 , то формулы преобра

X+ У

/2 ’

Подставляя эти выражения х и у в данное уравнение, получим

(w )W )(^ > (W )'-4 wh

Произведя упрощения, будем иметь

з ^ + ^ - э / г л - з у Т к + б = о .

§ 8]

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

1 2 3

Как и следовало ожидать, полученное уравнение не содержит члена с произве

дением переменных. Производя дальнейшее упрощение, как это показано в § б, придем к уравнению

3 ( * - г т ) ' + 1 [ Г- * У

или

				( у		3 V	( у	3	у
				( у		3 V	/
				(	Ут)		(	1 о	=	1.
								1 о	=	1.
Таким образом,			исходное уравнение представляет эллипс с полуосями 2 и 2Уз
(рис.	81).	Чтобы найти координаты центра этого эллипса в системе коорди
нат	хОу,	подставим			координаты
Х = - ^ = г и У = - ~					точки	Ох в
	V2		V2
формулы		преобразования. Получим
		3		3
		V 2	/ 2	Y 2
			/ 2
		__3__3
	и — У 2		/ 2		гЗ.
			V2
Таким образом, центр эллипса имеет
координаты (0,			3).
§	8. Классификация линий.
Так	как	в аналитической				гео^
метрик		линии		определяются
уравнениями,			то	в	основу их		классификации			естественно	положить
свойства		уравнений			этих	линий. В основу			классификации		линий мы

положим свойства их уравнений в декартовых координатах. Пере

нося все члены уравнения в левую часть, мы	придадим ему вид:
П**У) = О,	(20)

где F есть символ функции от двух переменных х , у. Если урав нение (20) [т. е. функция F(x, у )]— трансцендентное, то и ли ния, им определяемая, называется трансцендентной; если же уравнение (20) — алгебраическое, то и линия, им определяемая,

называется алгебраической. Например, линия, которой соответствует уравнение

у = sin JC,

трансцендентная; уравнение же

х* -f-у * — 3аху = 0

124	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ		[ГЛ. V
определяет алгебраическую линию. Так как одна и та			же линия
может	быть представлена	бесчисленным множеством	различных
уравнений, смотря по тому,		к какой системе координат	мы отно

сим ее уравнение, то, чтобы оправдать возможность указанной классификации линий на алгебраические и трансцендентные, необхо димо показать, что алгебраический или трансцендентный характер линии не зависит от положения осей координат. Но действи


тельно,		так	как формулы преобразования			координат			суть	алгебраи
ческие,		то	всякое алгебраическое	уравнение			при	любом		преобразо
вании координат переходит в* алгебраическое;							отсюда		уже		следует,
что	трансцендентное уравнение			при	любом		преобразовании				коорди
нат	переходит в трансцендентное			же,	так	как		если	бы	трансцен

дентное уравнение перешло в алгебраическое, то путем обратного преобразования алгебраическое уравнение переходило бы в транс цендентное, что невозможно.

Итак, алгебраический или трансцендентный характер линии (уравнения) не зависит от выбора осей координат, а зависит лишь от

свойств	самой		линии.
Далее, всякое алгебраическое уравнение можно освободить от
радикалов		и дробей,		если	таковые в нем имеются. Таким образом,
уравнение		алгебраической			линии можно привести к виду:
					2	а * У = о,
т. е. левая часть такого уравнения							есть сумма членов вида				Ах3у*,
где А — постоянное				число,		s и	i — целые положительные				числа
(или нули). Говоря кратко, левая часть									уравнения алгебраической
линии есть целый многочлен. Каждый член									Axsy *	многочлена	имеет
определенное			измерение,		равное сумме показателей при х						и у,
т. е.		Наивысшее из			измерений			всех	членов	уравнения	назы
вается	степенью этого				уравнения.			Если	алгебраическая		линия

определяется в декартовых координатах уравнением п-й степени, то она называется линией п-го порядка.

Так, в предыдущем примере мы имели линию 3-го порядка; всякой прямой линии в декартовых координатах соответствует

уравнение

первой степени,

и следовательно,

прямая линия есть

ли

ния

1-го

порядка;

наконец,

окружность,

эллипс,

гипербола и

пара

бола

суть

линии 2-го порядка, потому что им в декартовых коорди

натах соответствуют уравнения

второй степени. Чтобы это деление

алгебраических

линий

по

их

порядкам

было законным, необходимо

показать,

что

оно

не

зависит

от выбора

осей

координат,

т.

е.

что порядок линии остается неизменным при любом преобразо вании координат. В самом деле, формулы преобразования декар

товых координат в декартовы	же,	как мы в свое время отметили,
являются линейными, т. е. первой		степени.	Следовательно, заменяя
в алгебраическом уравнении	л-го	порядка	х и у их выражениями

УПРАЖНЕНИЯ

1 2 5

первой степени через X нения, т. е;, обозначая ния, мы имеем:

и К, мы не можем повысить порядок урав через ri степень преобразованного уравне

(21)

С другой стороны, путем обратного преобразования мы пере ходим от нового уравнения степени п! к старому степени л, и, сле довательно, так как степень уравнения не может повыситься, то должно быть:

				Ж	я'.	(22)
Из	сопоставления этих неравенств заключаем: п = п \ т. е.					по
рядок	уравнения		не	изменяется	при преобразовании декартовых
координат.		Итак,	порядок алгебраической линии не зависит			от
выбора	осей	координат,		а зависит лишь от свойств самой линии.
В указанной классификации линий весьма существенным является
то обстоятельство,			что	в основу положена декартова система коор

динат. Эта классификация теряет всякий смысл, если пользоваться полярными координатами. В самом деле, как мы видели, окруж ность в полярных координатах может быть определена различными уравнениями:

г — а

г = 2а cosq>,

смотря по выбору^ полюса и полярной оси. Первое из написанных уравнений относительно текущих координат г и <р есть алгебраи ческое и первой степени, второе же — трансцендентное. Таким об разом, в полярных координатах одна и та же линия может опре

деляться как

алгебраическим, так

трансцендентным

уравнением,

смотря по выбору полюса и

полярной

оси.

Вследствие

этого

нельзя классифицировать

линии

на

основе

их

уравнений

поляр

ных координатах^

Упражнения

Координаты

точки

относительно

некоторой

системы

координат суть

х = 2,

у = — 1.

Чему

будут равны

координаты

этой

точки,

если, сохраняя

направление осей, перенести началокоординат в точку:

а)

(4,

5);

б)

(4, - 5 );

в)

( - 4 , 5);

г)

( - 4 , — 5)?

2. Относительно двух систем координат,

имеющих

одно и то же напра

вление осей, координаты некоторой точки суть

(12,

— 7) и (0, ^ 15). Чему

равны координаты начала каждой из этих систем относительно другой?

3. При замене осей координат

новыми,

имеющими

те же

направления,

что и оси прежней системы, координаты

точки

(5,

обращаются в (2, 5).

Найти координаты начала каждой из этих систем относительно другой.

126	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ	[ГЛ. V
4. .Две системы координат имеют одинаковые направления осей. Коор
динаты	начала первой системы относительно второй суть (7, —5). Чему
равны координаты начала второй системы относительно первой?
5.	Как изменятся координаты любой точки М (х, у), если: а) изменить

на противоположное направление на оси ординат; б) изменить на противо положные направления на обеих осях?

6. Как изменятся координаты любой точки

М (х,

у), если

за ось абсцисс

принять ось ординат и за ось ординат ось абсцисс?

7. Чему будут равны координаты

точки М( 1 , Y

3),

если

повернуть оси

координат на угол в 60°?

повернуть

оси

координат,

чтобы координаты

8. На какой

угол

надо

точки М (2 , 0) стали равны между собой?

х2 +

02=

а2,

если

оси коор

9. Какой вид примет уравнение

окружности

динат повернуть на произвольный угол а?

х2 —02 =

а2,

если

оси коор

10. Какой вид примет уравнение гиперболы

динат повернуть на угол в 45°?

х у = 1 ,

если

оси

координат

11. Какой вид примет уравнение гиперболы

повернуть на угол в 45°?

Преобразовать

его

так,

чтобы оно

12 . Дано уравнение

у = 4х* —8х +

не содержало члена с первой степенью

свободного

члена;

начертить

кривую.

5х.

13. То же для уравнения у = — Зх2 +

14. Дано уравнение

у =

2x4-3

Преобразовать

его

так,

чтобы оно не

—

содержало членов первого измерения; начертить кривую.

15. Упростить уравнения кривых:

а)

Зх +

2у2+

6# — 1 =

б) уг — 4х — 8у =

16.Упростить уравнение параболы х = Му2 + Му + Р. Найти также коорди наты вершины параболы и направления осей симметрии.

17.Построить параболы:

а) у = 2х2— 4х-f- 8;	б) х2+ 6х + 0 + 7= 0;
в) 02+ 8*/-2х+12 = О;	г) 2^ + 4//4-* + 6= 0,

упростив предварительно их уравнения.

18.Построить кривые:

	а) х2+ 4х+			4у2= 0;
	б) 2х2— 8х +			^ — 6/ / + 1=		0;
	в) х2— 8х — 4у2= 0;
	г) I/2— б£/ — лс* + 2х =				0,
упростив предварительно их уравнения.
19.	Составить простейшие уравнения,				а также построить кривые, выражаемые
уравнениями:
	а) 2ху — 4х — 20 + 3 = 0 ;
	б) 5х2 +	12ху — 22х — 12«/— 19=				0;
	в) х2 + 2 х0 + 02 + Зх + 0 = О;
	г) 5х2 +	6x0 +	5# 2 — 16х — 16i/ — 16 =				0;
	д) 5х2 +	8х0 +	50 2 — 18х — 18f/+			9 =	0;
	е) 4Х2— 12x0 +		902 — 36х +		1 0 0 = 0 .

УПРАЖНЕНИЯ

1 2 7

20. Какого порядка алгебраическая кривая, выражаемая уравнением

У1Л Г„+ У 7= Гу= 1?

21.Какие из ниженаписанных уравнении выражают алгебраические кри вые и какие трансцендентные:

а) “ + /*+1=0;	б) а* + 6у +	1=0;
в) x co sa -f-^ co sp — р = 0;	г) a c o s x +	P cos^ — р = 0

(a, bt a, P — постоянные)?

22. Даны уравнения кривых в полярных координатах:

a) r= acosq> ; б) г = а + ^ г ^ : в) г = а (1 + cos <р).

Показать,-что они выражают алгебраические кривые.

Г Л А В А VI
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКА
§ Ь Определители 2-го порядка.	Рассмотрим систему двух,
уравнений первой степени с двумя неизвестными
°гХ-\-Ьгу = Сг.	/	11)

Чтобы найти решение системы (1), исключим сначала неизвестное у . Для этого умножим первое уравнение на Ьг и второе на а затем, вычитая второе уравнение из первого, получим:

(« А — atbl)x =	clbt — сгЬх.
Аналогично исключим неизвестное х	из системы (1) и найдем:

(яA — агЬ,)у — а1с1 — а2сх.

Если

аА — аА ¥ = ° .

(2)

(3)

то из уравнений (2).и (3) получим определенное решение системы ( 1).

а 1Ьг ci^b'Y * ^	Qjb]	(4)

Числитель и знаменатель полученных выражений называются определителями 2-го порядка. Вообще, если имеются четыре числа, расположенных в виде квадратной таблицы

A . fl.. А .

то определителем 2-го порядка, соответствующим этой таблице, называется разность

л А - л . Я | -

Для обозначения определителя принимают символ

А, В,

(5 )

А Вг •

§ и

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО ПОРЯДКА

1 2 9

Числа Ах, A2J Вп В2 называют элементами определителя (5); значок указывает номер строки, а алфавитный порядок буквы — номер столбца, на пересечении которых находится рассматриваемый элемент. Элементы AXi В2 образуют главную диагональ определи теля, а элементы Вх и А2— побочную.

Из формулы (5) явствует, что

К А Л = \А г В г\ и \В г А г \ _ \ А г В г
\В г В г\ \А г В г\	\В * А г\	\А г В 2	'

т. е. при замене строк столбцами величина определителя 2-го по рядка не изменяется, а при перестановке столбцов меняет знак на обратный. Очевидно, решение (4) системы (1) может быть выражено через определители таким образом:

с,

Ьх

ах сх

х =

£*_ *1

а2

сг

(4')

а,

Ьх

ах Ьх

°2 Ь2

аг Ь2

Определитель, стоящий

в знаменателе,

составлен

из

коэффициентов

при неизвестных системы (1) и носит

название

определителя

этой

системы. Определители, стоящие в числителях формул (4'),

полу

чаются из определителя системы путем

замены

соответственно

пер

вого и второго столбцов свободными членами этой системы.

Итак, если определитель системы (1)

не

равен нулю,

то

фор

мулы (4') дают единственное решение

этой

системы,

причем значе

ние неизвестного

равно

дроби,

знаменателе

которой

стоит

опре

делитель

системы,

в числителе

же определитель,

получающийся из

определителя системы заменой коэффициентов при

определяемом

неизвестном свободными членами системы (стоящими

правой

части).

равен

нулю, но по крайней мере

Если определитель системы

один из определителей,

стоящих

числителях

выражений

(4') для

х и у, отличён от нуля, то система ( 1) несовместна, т. е. не

имеет

никакого решения, как это следует из

уравнений (2), (3).

В этом случае из равенства

нулю

определителя

системы

выте

кает, что

ахЬ2 = а2Ьх, откуда ^ = - ^ ,

т.

е.

коэффициенты

при не-

известных

пропорциональны.

а2

О2

справедливо

обратное —

Очевидно,

если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то опреде литель системы равен нулю. Наконец, если

а\	^ i \|_ . \|,ci		\|_ _ \|а » С11 Q
а,	*,!	\| с2 М	Iа2 ci I

то система (1) неопределенна, т. е. имеет бесконечное множество

1 3 0	ОПРЕДЕЛИТЕЛИ		2-ГО	И 3-ГО ПОРЯДКА		[г л . VI
решений. В этом случае одно из уравнений (1) есть						следствие дру
гого. В самом деле,		мы имеем:
	eA	= eA . СА	=	СА »	aici = a2ci,
или		а\ __	Ьх __ сх		*
		аг	Ьг	с2	*

откуда вытекает, что одно из уравнений системы ( 1) 'есть следствие

другого.
Таким образом, мы приходим к выводу:
1) если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы ( 1)
непропорциональны, то система совместна и определенна;
2) если коэффициенты при неизвестных пропорциональны,			а	сво
бодные члены им не пропорциональны, то система несовместна;
3) если пропорциональны коэффициенты при		неизвестных	и	сво
бодные члены, то система неопределенна.
Все эти случаи могут быть истолкованы геометрически, если
рассматривать уравнения (1)	как уравнения	двух прямых	линий.
В первом случае две прямые	пересекаются в	определенной	точке,

координаты которой представляют решение системы (1); во втором

случае

прямые

параллельны

не совпадают; наконец, в третьем

случае они сливаются друг с другом,

Пр имер

1. Решить систему

2х + 3^ — 8= О,

х — 2у + 3= 0.

— 7 отличен

от нуля,

и, следова

j _2

тельно,

система

имеет

единственное

решение. Чтобы найти его, перенесем

свободные члены направо и воспользуемся формулами (4'):

— 3 —2

' __ J ~1* if '

1 —3

1 4 _

х ——

2 3

— 7

1 —2

1 - 2

Пр име р

Решить систему

3 * + у = 1,

6х -f• 2у =

Определитель этой

системы

причем

определитель

= 6 — 6=

ГЗ

5 =

9 отличен от нуля; следовательно, данная система несовместна, в чем

убедимся непосредственно, если умножим первое уравнение на 2.

Пр и м е р

Решить систему

* — 2у= 3,

2х — 4у — 6= 0.

Определитель этойсистемы 11 -2 1 =

0, причем оба определителя 13 —2

131

2 - 4

6 —4

следовательно, данная система неопределенна. Дей-

Л тоже равны нулю;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги