книги / Аналитическая геометрия.-1

Подставляя в данное уравнение

вместо х и у

их

выражения

через

X и

К,

найдем:

(Х -\- х 0 6) ( K -f-у 0) = а (Х -\- х 0)

р.

Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов.

Х У ( У 0— a) * + ( * 0‘+ 6 )

у 4 - (х 0у 0- а ^ 0 +

6у0- Р ) =

0.

Так

как х 0 и у 0 произвольны, то выберем

их так, чтобы исчезли

члены

с X и У. Для этого

нужно

положить

у 0— а = 0,

JC0

6 =

О, откуда

х„ =

— 6,

у, = а.

Очевидно, полученное

уравне­

ние является

уравнением

рав­

носторонней гиперболы,

для

которой

новые

оси координат

являются асимптотами (см. пре­

дыдущий

пример).

Следова­

тельно, данное

уравнение

оп­

Рис. 74.

ределяет равностороннюю ги­

перболу

с центром в точке (х0, у 0), асимптоты которой параллель-

ны осям

координат

(рис. 74

соответствует случаю

р — а6^>0).

3. Г е о м е т р и ч е с к и й сь ы сл к в а д р а т н о й

ф у н к ц и и .

Дано

уравнение

у = ах1

Ьх -f- с .

112

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

[ГЛ/ \

начала

х 0, y Q пока

произвольны. Формулы преобразования

суть:

* = * + * . . у = У + у *

Подставляя в

данное

уравнение вместо х и у их

выражения

через

X и

Yy найдем:

У -\-у0 =

а (Х - \- х 0)24 - Ь (X 4 “х 0) 4 - с.

Раскрываем

скобки

и делаем приведение подобных членов:

Подберем х 0 и у 0 так, чтобы исчезли

член

с X в первой степени

и свободный член. Для этого нужно положить

2ах0-\-Ь =

0,

а * : + к + £ — л = ° .

откуда

4ас — Ьг

2а ’

—

1 4а

в

Для

нахождения

ее

вершины

важ­

но только

обратить

внимание

на

то,

что

ордината же

у 0= / ( * „ )

находится

подстановкой

значения

х 0 в

уравнение

кривой.

кривой у =

ах2-\-

Рис. 75.

Для

построения

4 - 0 * 4 - с

удобно найти ее точки пе­

ресечения с осью

Ох (полагая ^ =

0),- если

только

эти

точки

*§ 6 }

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

113

В■приведенном исследовании мы считали а^=0; в случае

а = О

наше

уравнение будет иметь вид:

П р и м е р. Привести уравнение параболы у =

Зх* — 6х — 1 к простейшему

виду и найти координаты вершины.

Перенесем начало координат в точку (х0, у0). Формулы преобразования

будут:

х==Х +

х0, у = У +

у0.

Заменяя в данном уравнении х и у

их выражениями

через

X и Y, получим:

у

+ У * =

3 (X +

*„)* -

6 (X +

х„) -

I.

или

У =

ЗХ2 +

(6*„ — 6) X +

3*; — 6*0 -

у„ -

1.

Полагая

6х„ — 6 =

0,

найдем:

* о = 1 .

У о — —4.

Внося эти значения в уравнение, будем иметь:

K = 3XV

откуда получим простейшее уравнение

параболы

Ось симметрии данной параболы параллельна оси Оу\

вершина

находится

в точке (1,

— 4).

§ 6.

Преобразование общего уравнения

второй

степени,

**в +

<У + Я* + £у. +

^ = 0 ,

(8)

где коэффициенты Л

и

С одновременно

не равны

нулю, так

как

в противном случае уравнение превратилось бы в

уравнение

1-оЙ

степени.

Посмотрим, какие

кривые определяются этим уравнением при раз­

i 14

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

[ГЛ. V

сделали бы их положительными. Перепишем уравнение

(8) следую­

щим образом:

4 (**+ X *) + с (/+ -§- у ) + ^ = 0.

Дополним выражения в скобках до полных квадратов.

Для

этого

к левой и правой частям уравнения прибавим

; уравнение

примет вид:

4 *+T'+S)+<^+£>+£)-5 +5 -'

или

CD' + A E '-M C F

(9 )

'•(* + й ), + с ( , +

* )‘. z

4АС

Перенесем начало координат в точку

.

Тогда по

формулам

(2')

и

(3')

(§

2)

* =

*

+

ё

и

Y=y+w>

где X и

Y — координаты

в

новых

осях.

Обозначим

правую

часть

уравнения

(9)

через

U

тт

CD8 + АЕг— 4ACF

U~

4АС

В результате

уравнение

(9) примет

вид:

АХ*-\-СУ* = и.

(10)

Пусть (J^> 0;

разделив

обе

части

уравнения (10) на

U,

получим:

4 г + т т Г = л .

Введя

А

I

С

I

что

возможно,

так как Л,

обозначения — — — ц

— = -р,

С и U положительны, будем

иметь

о* ^

Ь1

'

Это есть уравнение эллипса. Следовательно, в данном случае

уравнение

(10),

а

значит

и

уравнение

(8),

.определяет

эллипс

(в частности,

при а = Ь—

окружность). Центр

этого

эллипса

имеет

D

и

Е

(в системе координат хОу), а его оси парал­

координаты — g-д

— ^

лельны осям координат.

Если U = 0, то уравнение (10) будет

иметь, вид АХ*-\-ВУ* — 0.

Оно определяет только одну точку Х = 0 ,

У = 0, так как при любых

§ 6]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

115

наты

только

одной

точки

Ог ^ ^

,

j .

Наконец,

если U<^ 0, то правая часть уравнения (10)

отрицатель­

на, в

то время как

оба члена

левой

части

при любых

значениях X

и Y неотрицательны. Следовательно,

нет ни одной точки, координаты

которой удовлетворяли бы уравнению

(10), а значит и уравнению (8).

и установить ее вид.

Ах2+

9у2+

32* — 5 4 * / 1 0 9 =

0

Перепишем уравнение так:"

4 (х2+

8х) +

9 (у2- 6у) =

-

109.

Дополняя выражения в скобках до полных квадратов,

получим

4 (х2 + 8* + 1 6 ) -{- 9 (у2— 6^ +

9) =

64 -f- 81 — 109

или, после преобразований,

(* +

4)« ,

(</ -3)»_ :1.

4

Перенесем

начало координат

в

точку

Oi(— 4,

3);

полагая

Х = х + 4,

Y = y — 3, будем иметь

*

+ Г = 1 .

S

9 ^ 4

Это

есть

уравнение эллипса.

f

'

. #

Центр его лежит в точке (— 4,

3),

а

полуоси

равны

3

и

2

(рис. 76).

Заметим, что обычно нет надоб­

ности писать

уравнение эллипса в

О

системе

координат XOY.

Лучше

оставить

его

виде

(* +

4)2

.

*— !— -

-L-

9

^

,

(У -3 )* _ 1. В этой форме

за-

писи сразу видны координаты

цен-

Рис. 76.

тра эллипса.

С л у ч а й

11. К о э ф ф и ц и е н т ы

А

п

С

у р а в н е н и я

(8)

и м е ю т

р а з н ы е

з на к и .

Для

определенности положим, что А ] > О,

а

С<^0. Как и в

случае

I, приведем

уравнение

(8) к виду:

Ч»+й)‘+с(*+&)‘-а,,+5

г4” -

<«»

Перенесем начало координат

в точку Ох^

^

и

обозна­

1 1 6

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

[ГЛ. V

координат

XO Y уравнение

(11) примет

вид

где

AX*-{-CY2 =

U,

(12)

^ = Х Л~2л»

^Г==«^

2С •

Пусть

U отлично от

нуля.

Разделив

обе

части

уравнения (12)

на 6/,

получим:

ъ

х '+ ъ * '= * ' -

Если

£/^>0, то можно ввести обозначения (напомним, что по условию

Л > 0 ,

С < 0):

А ^_ 1 _

£ _

_ Л

(J ~

a2'

U

Ь2*

После

этого уравнение

примет

вид:

Х*_

X I

=

1.

а2

Ьг

Это

уравнение гиперболы,

действительная

ось

которой

лежит

на оси ОхХ, а мнимая на

оси

О, К.

Если

же £/<^ 0,. то,

обозначая

А

— _ 1

A

— JL

придем

к

уравнению

и

а2*

и

Ьг *

Y2

V*

ьг

1*

о< т

или - б Г - ^ - = 1 -

болу с центром в точке ^

• Действительная ось ее

118

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

[ГЛ.

V

равна 2,

а мнимая равна 1.

Расположение гиперболы показано на

рис.

78.

П р и м е р

3. Упростить уравнение кривой

Эх*— 16#* — 36* + 32у + 20 = 0

и установить ее

вид.

Перепишем уравнение так!

9 (х2 — 4х) — 16 («/* — 2у) =

— 20.

После преобразований получим

9 (х — 2)* — 16(£/— 1)* =

0.

Представив левую часть в виде произведения

[ 3 ( * - 2 ) + 4 < * ,-1 )]

[3 (х — 2) — 4 (у— 1)] = 0,

замечаем, что уравнение

распадается

на два:

Ъх +

4у — 10 == 0

и

Зх — 4у — 2 =

0.

Мы получили две прямые, пересекающиеся в точке (2,

1) (см. рис.

79).

С л у ч а й

III.

К о э ф ф и ц и е н т

С у р а в н е н и я (8)

р а в е н

нулю (А=^=0). В

этом случае уравнение (8) принимает вид:

А хг-\-D x -{ -E y -\-F = 0 .

(13)

Предполагая,

что

Е ф 0, разрешим его относительно у

§6]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

119

Введем

обозначения:

Наше

уравнение запишется

так:

у =

ахг-\-Ь х-\-с.

(14)

Преобразуем его к виду

/

, г

Ъ

.

Ь 2 \

Ь *

,

или

У = а [ х - Ь т х + 4 * ) - 4Г + С-

Перенесем

начало координат

в точку

Ог ^

с

— 4а ) •

Полагая

Х = х - \ “

Y = y — (^c— ^

, получим-уравнение

Заметим, что уравнение (14)

было рассмотрено в § 5-, где приве­

дение его к простейшему виду

производилось

иным способом.

Если в уравнении (13) £ = 0

, то оно примет вид:

А х * -\-В х -\-Г = 0 ,

(15)

1 2 0

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ

ЛИНИЙ

[ГЛ. V

Пусть* a t и а 2— корни

этого уравнения. Тогда

уравнение (15)

принимает

вид

А (х — а,) (х — а 2) = 0.

д; — а 1 = 0 и х — а 2 = 0.

Если корни

а,

и а 2

действительные, то

каждое

из

них есть

уравне­

ние

прямой,

параллельной оси

Оу.

(При

a , = a 2 обе

прямые

сливаются.) В этом

случае

го­

ворят,

что

кривая

выроди­

лась в пару параллельных•

прямых.

Если

же

корни

и а 2 мни­

мые,то трехчлен Ах2

Dx -f- F

ни

при

каких действительных

значениях

х

не обращается в

Рис. 80.

нуль

и,

следовательно,

нет

ни

одной

точки,

координаты

которой удовлетворяли бы уравнению (15).

Разумеется,

ход

нашего

исследования

не

изменится

в

случае

А = 0, С ф 0.

П р и мер.

Упростить уравнение кривой

и установить ее вид.

4уг + 8// — 2JC— 1 = 0

Разрешим уравнение относительно х

х =

2уг + 4 у - - 1 ;

Х И У

Ах*-\-Вху + С у * -\-О х + Е у -{ -Е = 0 ,

(16)

считая, что

0.