Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 289 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 5]	ПАРАБОЛА	81
Р а в н о с т о р о н н я я	г и п е р б о л а .	В случае Ь — а гипербола

называется равносторонней; ее уравнение получается из (3') и имеет вид:

х 2— у 1 = а2.

Очевидно,

угловые коэффициенты

асимптот

^k = A z ^ j для

равно

сторонней

гиперболы

будут

+ 1 .

Следовательно,

асимптоты

равно

сторонней

гиперболы

перпендикулярны

между

собой и делят пополам углы между ее осями

симметрии.

§ б. Парабола. Парабола есть геометричес

кое место точек, равноотстоящих от данной

точки,

называемой фокусом, и данной прямой,

называемой

директрисой

(предполагается,

что

данная точка не лежит на прямой).

Чтобы составить уравнение параболы, примем

Рис. 52.

за

ось

Ох

прямую,

проходящую

через

фокус

F перпендикулярно к директрисе,

и будем

счи

тать

ее

направленной

от

директрисы к фокусу;

за

начало

коор-

динат

возьмем середину

О отрезка

от точки F до данной прямой,

длину которого обозначим через р

(рис. 52). Величину j)

называют

параметром параболы. Координаты фокуса F будут

Обо

значим

через х н у

координаты произвольной

точки

параболы.

Тогда

координаты точки

К — основания перпендикуляра, опущенного

из

М на

директрису, будут ^ — y Jeyj .

^ ак

как

110

0ПРеДелению

FM = MK, то, применяя формулу

расстояния

между двумя точками

(гл. I,

5),

получим

уравнение параболы

выбранной

системе ко-

Чтобы придать ему простейший вид, возведем обе части в квадрат. Будем иметь:

( * - ! ) * + / = ( * + £ ) ■ .

или
** — Р* + т + У' = * * + р* + т .
откуда
у* = 2рх.	(6)

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы х)*

*) Ясно, что уравнению (6) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на параболе. Легко показать, что оно удовлетворяется только коор динатами точек, лежащих на параболе.

8 2

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ

ТЕОРИЯ

КОНИЧЕСКИХ

СЕЧЕНИЙ

[ГЛ. IV

Чтобы исследовать форму параболы по ее уравнению (6), за

метим,

что

не

может

принимать

отрицательных

значений,

т. е.

все точки параболы лежат справа от оси

Оу.

Каждому

значению х

соответствуют

два

значения у ,

равные

по

абсолютной

величине,

но

противоположные по знаку,

т.

е.

кривая

симметрично

расположена

относительно оси Ох. С увеличением х

абсолютная

величина орди

наты

увеличивается,

причем

когда

неограниченно растет,

то

| у | тоже неограниченно растет. Кривая имеет вид, данный на (рис.

52).

Парабола имеет одну ось симметрии; ось симметрии параболы

называют

ее

осью. Точка

пересечения

параболы

осью

симметрии

называется

ее

вершиной.

Для

параболы,

заданной

уравнением

(6),

вершиной является

начало

координат.

Заметим,

что все

три

рассмотренные

линии — эллипс,

гипербола,

парабола — в декартовой системе коор

динат могут быть представлены

уравне

ниями

второй

степени.

Построение

точек

эллипса,

гиперболы

параболы

посредством

циркуля и линейки. Из уравнения эл

липса (§3) определяем а и ^

изображая

их отрезками

ОАги ОВхна осях коорди

нат (рис. 53). Из точки

Вlt

как

из

центра, радиусом, равным а, описываем

окружность, которая в пересечении с

осью

Ох даст фокусы

эллипса

Fx и

так

как

при таком построении

соблюдается зависимость сг=

аг — Ь%.Найдя фокусы эллипса, делим от

резок 2d на две части: г, н гг = 2а — г,,

и радиусами, равными гг и г2, описываем

две окружности, принимая за их цент

ры соответственно фокусы Fx и Ft.

Точки

пересечения

этих

окружностей

лежат

на

эллипсе,

так

как

сумма

рас

стояний

каждой

из

этих

точек

до

фо

кусов

будет

равна

2а.

Меняя

г1Э бу

дем получать новые точки эллипса.

Аналогично

проводится

построение

точек гиперболы. Определяя нз уравне

ния гиперболы (§ 4) а и b, изображаем их

отрезками

ОА,

и ОВх на осях координат (рис. 54). Из точки О, как из

центра,

радиусом,

равным

с =

А гВ1У описываем

окружность,

кото

рая в пересечении с осью

Ох

даст

фокусы

гиперболы

Fx и

(так как

при этом

построении

соблюдается

равенство сг=

аг-)-£*).

Найдя

фокусы

гиперболы,

описываем

из них, как из центров,

две окружности

радиусов гл п гг =

2 а -\-гг.

Точки

М х

Мж пере


§ 7]	ЭЛЛИПС,		ГИПЕРБОЛА		И ПАРАБОЛА КАК КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ						8 3
сечения		окружностей		лежат на правой ветви гиперболы,						так как раз
ность	расстояний каждой				из	этих		точек	до фокусов	будет	равна
гг — г 1=		2а. Меняя		г,,	будем		получать		новые
точки	правой		ветви	гиперболы.			Изменяя		роль
фокусов, получим точки левой ветви гиперболы.
Перейдем, наконец, к построению точек пара
болы. Прежде			всего	строим		фокус		и директрису
параболы, откладывая на оси Ох вправо от О от
резок	OF, равный у			, такой		же	отрезок		ОК—

влево от О и проводя через точку К прямую, перпендикулярную к оси параболы (рис. 55). Пара метр р определяется из уравнения параболы. Про водим прямую линию, перпендикулярную к оси па

раболы, на произвольном расстоянии d				Рис* 55'
от директрисы и из фокуса F, как из центра,			описываем окруж
ность	радиуса	d.	Точки пересечения
Мх и Мг проведенной				прямой линии с
окружностью		принадлежат			параболе,
так как для каждой из этих точек
расстояния до		фокуса		и	директрисы
равны	между собой.

§ 7. Эллипс, гипербола и пара бола как конические сечения. Эллипс, гипербола и парабола могут быть полу чены сечением прямого кругового ко нуса плоскостями1). Поэтому кривые эти называют коническими сечениями.

Рассмотрим сечения прямого кру гового конуса плоскостями, не прохо дящими через его вершину (рис. 56). Можно доказать, что если плоскость пересекает лишь одну полость конуса, не будучи параллельна ни одной из образующих его, то кривая сечения

Рис. 56. будет эллипсом; если же секущая плоскость будет параллельна одной из образующих конуса, то кривая сечения будет параболой. В том случае,

*) Под прямым круговым конусом мы понимаем здесь коническую по верхность, которая получится, если каждую образующую обыкновенного прямого кругового конуса, рассматриваемого в элементарной геометрии, продолжить неограниченно в обе стороны. Поверхность эта может быть по лучена вращением прямой вокруг некоторой оси, пересекающей эту прямую.

8 4	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ				[ГЛ. IV
когда	плоскость, пересекает обе	полости конуса,		кривая		сечения
будет	гиперболой.					сечением
Итак, в зависимости от положения секущей плоскости
прямого кругового конуса будет эллипс,			гипербола	или	парабола.
§ 8; Эксцентриситет и директрисы			эллипса.	Как	известно из

§ 3, эллипсом называется геометрическое место точек, сумма рас стояний которых до двух данных точек, называемых его фокусами,

есть величина	постоянная.	Обозначая через rx =		FxM и r2= FzM
расстояния любой точки М эллипса			соответственно	до его	правого
и левого фокусов Fx и Fz (рис. 50), мы имеем				согласно	выше
упомянутому	определению	эллипса:
		Г г+ г, =	2а.		(7)

С другой стороны, применяя формулы расстояния между двумя точками, мы получим (гл. IV, § 3):

л, = FtM - / (х + с ) « 4 - /, г, = /у И =

где х, у обозначают координаты точки М эллипса, а с — половину фокусного расстояния FXFZ. Возводя два последних равенства в квадрат и вычитая, находим:

К — Г, = (X + с)г + / — (X — с)* — / .

Раскрывая скобки, „и делая приведение подобных членов, получаем:

г[— г’ = 4сх.			(8)
Из уравнений (7) и (8), считая	в	них искомыми,	величинами
Гг и Ггг мы определяем последние.	С	этой целью,	переписав
уравнение (8) в виде

{rt — rl)(rz -)r rl) = 4cx,

воспользуемся уравнением (7), что нам даст:

Решая полученное уравнение совместно с уравнением (7), найдем

Гx и

Величина

входящая в последние формулы, называется экс

центриситетом эллипса; мы будем обозначать ее через е. Очевидно,

е = -^- есть отношение фокусного расстояния 2с к длине большой

§81		ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСЫ					ЭЛЛИПСА				8 5
оси	2а, причем	0	е < М , так		как	О ^	с	а	(для	окружности
с =	0 и е = 0). Таким образом, мы имеем следующие формулы										для
фокальных радиусов			гх и г2:
		гх =		а — гх,	г2 =	а-\-гх.					(9)
Рассмотрим прямую х = 1(1>					а), параллельную				оси	Оу, и найдем,
во-первых, расстояние			гх	произвольной		точки		М (х, у)		эллипса	от
его	правого фокуса		и,	во-вторых, — расстояние					dx этой точки		М
от прямой д:= / (рис. 57). Вычис-									у
лим	отношение	этих	расстояний.

Рис. 57.

стояннре значение, равное е.

В силу симметрии то же заключение можно сделать относительно левого фокуса F2 и прямой с уравнением

	х	а
	х	7 *
		7 *

Эти две прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и

отстоящие на расстояние— от его центра, называются директри

сами эллипса1). Как мы выяснили, они обладают следующим свой ством: отношение расстояний любой точки эАлйпса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е.

Пр имер . Найти эксцентриситет и директрисы эллипса х* + %Уг= 2, Написав уравнение эллипса в виде:

заключаем, что а*= 2, b2= 1.	Следовательно, с?==а* — b*f=2 — 1 = 1,
откуда
с	_ ! _	V 2

e = -S = y T = ~ Г '

да

Директрисы проходят на рассюянии — от центра эллипса {начала коор-

динат), т. е. на расстоянии, равном -j- = 2. Уравнения директрис

х= + 2, х= -^2.

*) Окружность не имеет директрис.

8 6	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ		ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
§ 9.	Эксцентриситет	и директрисы гиперболы. Сохраняя			обо
значения	предыдущего	параграфа, в силу определения		гиперболы
(гл. IV, § 4) имеем:
		r1 — rl = ± 2 a i			(10)
где знак	плюс относится	к	правой -ветви гиперболы, а	знак	минус
к левой. С другой стороны,			как и в предыдущем параграфе, найдем:
		г\ — г\ = 4сх.			(8)

Из уравнений (10) и (8) находим искомые величины гх и га. Для

этого, переписав уравнение (8) в виде
(г* — rl)(rt -\-rt) = 4cx,
воспользуемся уравнением (10), что	нам даст:
' -i + ,'i = ±	2 7r*-

Наконец, решая последнее уравнение совместно с уравнением (10), получим выражения для г, и гг\

гг— — а -{--^х; гг=

а - \ - ^ х

(правая ветвь);

гх = а — -Ц- х ;

гг =

— а ----- ^-х (левая ветвь).

Величина —,

входящая в

последние формулы,

называется

эксцен

триситетом гиперболы;

условимся

обозначать

ее через е. Очевидно,

8 = -~ - есть отношение фокусного

расстояния

2с

к длине

действи

тельной

оси

2а, причем

теперь

е > 1 ,

так

как

с > а . Итак,

мы

имеем

следующие формулы

для

фокальных

радиусов

гх и

гх

гиперболы:

г, =

— a - f -елг,

rt =

a-\-EX (правая

ветвь);

г, =

а — ея,

г2=

— а — гх

(левая

ветвь).

Назовем прямые x = пеРпенДикУляРнь,е к фокальной оси

гиперболы и расположенные на расстоянии — от ее центра, дирек

трисами гиперболы, соответствующими правому и левому фокусам.

Так как для гиперболы е’> 1, т о a и» следовательно, дирек

трисы располагаются между вершинами.

§ 10]	ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ПАРАБОЛЫ	8 7
Легко	показать, что отношение расстояний любой	точки ги

перболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина

постоянная,		равная	е. Вследствие			симметрии это	свойство доста
точно обнаружить относительно					правого фокуса и соответствующей
ему	директрисы.		dx			точки М (х, у) гиперболы
	Обозначая	через		расстояние
до	правой директрисы, из			рис.	58	усматриваем,	что dl = x — —

в случае, если			М находится на правой ветви гиперболы, и dx =
—	— х, если		М лежит			на	левой	ветви. Составим теперь отноше
ние	“1	пользуясь формулами					(11):
	“1	- а + ех
		- а + ех		(правая		ветвь);
dx		а
dx		х -----
		е
	__а-		(левая		ветвь).
	d ~	а	(левая		ветвь).
		----- х
В обоих		случаях		отношение ~			бу
дет	одинаково и			равно:
	о — гх__а — ех__
	а		а —гх		8*
	----- х		--------
	в			в
что	и	требовалось				показать.		Рис. 58.

§ 10. Эксцентриситет и директриса параболы. В § 5 настоящей главы мы определили параболу как геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки — фокуса и данной прямой — директрисы. Таким образом, обозначая через т расстояние любой точки М параболы до фокуса, а через d ее расстояние до дирек

трисы, мы имеем r = d, или -^ -= 1 (рис. 52). Поэтому эксцентри

ситет параболы принимают равным единице. Уравнение дирек трисы параболы будет:

	х	Р_
	х	2 *
		2 *

если оси координат выбраньктак, как это было сделано в § 5. Объединяя результаты трех параграфов, мы получаем следующее

общее определение конического сечения (эллипса, гиперболы и пара болы): коническое сечение есть геометрическое место точек,

8 8 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV

отношение расстояний	которых	до данной		тонки, (фокуса) и до
данной прямой (директрисы) есть величина				постоянная (е). При
этом (рис. 59)
для	эллипса	д Щ ' =	е < ^ 1,
для	параболы	= г	=	1,
для	гиперболы	■=	s^ > 1').

§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координата*. Задача на стоящего параграфа — вывести уравнение конического сечения в полярных ко ординатах, принимая за полюс один из фокусов и за полярную ось — фокальную ось этого конического сечения.

Пусть АВС (рис. 60) — дуга конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы), В — вершина, F — фокус и DE — соответствующая директриса.

Примем точку F за полюс, а прямую BFP — за полярную ось, выбрав на ней направление от фокуса F в сторону, противоположную директрисе; обозна

чим эксцентриситет кривой через		е. Пусть М0— точка дуги			ВС конического
сечения, лежащая на перпендикуляре к полярной оси, проходящем через полюс F,
Обозначим длину FM0 через р и		будем называть ее фокальным				параметром
конического сечения.					уравнение,		выра
Пусть М (г, ф) — произвольная точка кривой. Составим
жающее зависимость между ее полярными координатами г, ф и данными							числа
ми е, р. По общему свойству всех точек конического сечения					имеем:
		FM	= е.				( 12)
		NM
*) В §§ 7 и 8	было показано,	что ( рллипс		и гипербола	обладают указан
ным свойством.	Можно1доказать	и	обратное:	геометрическое		место	точек,

отношение расстояний которых до данной точки и до данной1прямой есть

величина постоянная,	представляет	собой эллипс, если эта постоянная < I,
и гиперболу, если она	> 1. Отсюда	следует, что это свойство можно принять
за определение конического сечения.

§ 11] УРАВНЕНИЕ

КОНИЧЕСКОГО

СЕЧЕНИЯ

В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

При любом расположении точки М

на коническом сечении

FM = г

N M = N 0M0-{-rcosy.

Так как

= е,

FMQ=

то

N 9M 0= — ♦ Следовательно,

AM = -£ -+ /■ cos <р.

(13)

Тогда равенство (12) можно переписать в виде

е.

•—-{-Г COS ф

откуда

(14)

1 — е cos ф

Уравнение (14) будет определять эллипс, если е < 1, параболу — при е =

гиперболу, когда е >

очевидно, прежнее зна

В уравнении (14) величина р для параболы имеет,

чение, т. е. то же,

что и в уравнении

у*=

2рх. В самом деле, для параболы

р = FM0=

M9Nо,

т.

е.

р есть

расстояние

фокуса до

директрисы (параметр

параболы).

можно поставить вопрос: как выразить фокаль

Для эллипса и гиперболы

ный параметр р через полуоси а и 6?

„

хг I Уг

подставим в его

уравнение координаты

В случае эллипса ^

I мы

одной из точек эллипса, а именно М 0{— с, р)\ после этого получим:

с- + ^ = 1

аг-Г Ь*

или

п*

аг —сг

Ьг

: аг *

откуда

Ъ*

P — —i

и р= —

аг

В случае гиперболы ^ — —■= 1 координаты ее точки 'М0(с,* р), подставим

в уравнение, после чего получим:

р __

с * -о *

V» -- -----и

7 ? -Т > = 1> или Г« = ^ г - = ^

9 0

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

(ГЛ. 1Y

откуда снова имеем!

Ъ18*

и р = — •

и а

Итак, уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах (при указанном выборе полюса, и полярной оси) имеют одинаковый вид:

г	1	Р	(14)
		— е cos ф '

причем для эллипса и гиперболы фокальный параметр р связан с параметрами а й b формулой

Р	(15)
	а

В случае гиперболы уравнение (14) выведено для одной ее ветви, но легко убедиться в том, что ему также удовлетворяют координаты любой точки, рас

положенной на другой ветви гиперболы.

§ 12. Диаметры эллипса.	Сопряженные ди
аметры. Рассмотрим эллипс, отнесенный к его
осям симметрии1):
5 + £ . = i -	<1б>
и систему параллельных между собой хорде угловым
коэффициентом kx (рис. 61).Посмотрим, как распола
гаются середины этих хорд.Иными словами,выясним,

каким условием связаны координаты середин параллельных между собой хорд

эллипса.	Возьмем любую из хорд и обозначим					ее	концы	через	АМ *„	#,),
Мг (х„ уг), а		середину — через М (X, У).			Так	как точки		Мх и Мг лежат на
эллипсе,	то	их координаты должны		удовлетворять			его уравнению		(16),	т. е.
										(17)
										(18)
Выражая	угловой коэффициент kx прямой линии МхМг через координаты двух
ее точек	(гл.	III,	§ 12), будем иметь:
			*« =	У г —	У\					(19)
			*« =	Хг — Хх						(19)
Наконец,	заметив,		что точка М является		серединой		отрезка MxMit получим:
			^ __■*! Ч~							(20)
										(20)
			лг — Ух +		Уг					(21)
			~	2						(21)
			~	2

*) Оси симметрии эллипса приняты за координатные оси.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 289 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги