Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 282 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ЧА С Т Ь ПЕ Р В А Я

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Г ЛАВА I

МЕТОД КООРДИНАТ

§ 1. Направленные отрезки. Понятия отрезка и его длины известны из элементарной геометрии. Отрезок есть часть прямой, ограниченная двумя точками. Длина отрезка есть положительное число,

получаемое

измерением этого отрезка

с помощью некоторого заранее

выбранного

отрезка — единицы

масштаба.

Отрезок,

ограниченный

точками А и В, а также его длину, обозначают АВ или ВА.

Во многих вопросах математики и физики имеет значение напра

вление отрезка: например, если отрезок

рассматривается

как

путь,

который

проходит

движущаяся

точка.

Чтобы охарактеризовать

направление

отрезка, одну из двух огра

ничивающих его точек принимают за

начало

отрезка,

другую —

за его конец;

направлением

отрезка считают

направление

от

начала

к концу. Отрезок, на котором

указано

направление

(т. е. сказано,

какая из

двух

граничных

точек

считается началом и какая — концом),

называется

направленным

отрезком.

Условимся

обозначать

направленный

отрезок двумя буквами с чер

той

над

ними,

помещая на

первом месте букву, указывающую начало

отрезка.

Так,

например,

направленный отрезок, для которого точка А

является

начальной, а В — конечной,

будем обозначать АВ. Заметим,

что

направленные

отрезки

АВ

и ВА

различны, так

как

направления их про-

тивоположны.

Если

рассматривать

направленные

Рис.

отрезки,

расположенные

на

одной пря

-|-

и —.

мой,

то

их

направления

можно

характеризовать знаками

Для этого одно из двух противоположных направлений этой прямой (безразлично какое) назовем положительным, а другое — отрицатель ным. На чертеже положительное направление условимся отмечать стрелкой (на рис. 1 направление слева направо принято за положи тельное). Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью•

12	МЕТОД КООРДИНАТ	[гл. I
Длина направленного	отрезка, расположенного	на оси, взятая

с определенным знаком, называется величиной направленного отрезка оси; при этом знак выбирается положительный, если направление

отрезка совпадает с		положительным направлением		оси, и отрицатель
ный,— если	направление		отрезка противоположно	положительному
направлению	оси *).	Так,	например, величина направленного отрезка
ЛС, изображенного		на рис. 1, положительна, а		величина отрезка
СВ — отрицательна.		Очевидно, длина направленного отрезка равна

модулю*2) его величины. Условимся длину направленного отрезка АВ

обозначать через	/Ш, а его величину символом вел АВ.
Из определения		величины направленного отрезка оси следует,
что величины отрезков АВ и ВА отличаются знаком:
		вел А В = — вел ВА.
З а м е ч а н и е .	В	дальнейшем нам придется ввести в рассмотрение

и такой направленный «отрезок», начало и конец которого совпадают.

Направление		этого	отрезка	можно выбирать	произвольно. Длина,
а следовательно, и величина				его равна нулю. Такие отрезки мы будем
называть нулевыми.				три точки А, В,	С и выясним, чему
Возьмем		на некоторой оси
будет	равна	сумма	величин	направленных отрезков АВ и ВС. Мы
сейчас	покажем, что		при любом расположении точек А , В и С на

оси сумма величин направленных отрезков АВ и ВС будет равна

величине	направленного			отрезка		АС:
			вел А В -\- вел В С = вел АС,						(1)
т. е. сумма величин			направленных отрезков АВ и ВС, расположенных
А	В С	о—	— >-	на	оси	так» что	коне1* первого из		них
— ■ о	о '			является началом второго, равна величи
				не направленного отрезка АС, началом
	Рис* 2*			которого является начало первого, а кон
				цом— конец второго направленного отрезка.
Для	доказательства			равенства (1) предположим сначала, что
точка В располагается м е ж д у					точками А и С (рис. 2).
Рассматривая		направленный			отрезок как		путь,	проходимый	дви
жущейся	точкой,	мы можем сказать, что в					этом	случае подвижная

*) Термин «величина направленного отрезка оси» имеет смысл употреблять только в том случае, когда рассматривается направленный отрезок, лежащий на оси. Но в дальнейшем для краткости мы будем говорить о величине направ ленного отрезка, опуская слово «оси». Точно так же для краткости мы будем

иногда говорить «отрезок АВ» вместо «направленный отрезок Л В».

2) Абсолютная величина числа называется также его модулем; модуль числа а будем обозначать через | а |.

§ 1]	НАПРАВЛЕННЫЕ		ОТРЕЗКИ			13
точка, пройдя путь	АВ,	продолжает	движение по пути ~ВС в том же
направлении. Тогда	длина отрезка АС,			очевидно,	равна	сумме длин
отрезков АВ и ВС,	а величины всех трех направленных отрезков
имеют одинаковые знаки,		так как все	три отрезка одинаково направ
лены. Следовательно,
	вел АВ-\- вел В С = вел АС.
Таким образом,	если	точка В лежит		на отрезке ЛС,		то равен
ство (1) справедливо.
Допустим теперь, что		точка В располагается			вн е отрезка АС,

либо на продолжении отрезка за точку С (рис. 3), либо на продол

жении его за точку Л				(рис. 4).
А	С______ В				_____ В________А С
	Рис.	3.				Рис. 4.
В каждом		из	этих	случаев	подвижная точка,	пройдя путь АВ,
продолжает движение				по пути	ВС в противоположном направлении.
Ясно, что теперь			длина отрезка АС будет равна разности длин двух
других	отрезков		(А С = А В — ВС— рис. 3, либо			А С = В С — АВ —

рис. 4).

Очевидно,

что

направление отрезка

АС будет совпадать с напра

влением того из отрезков АВ и

ВС, который имеет ббльшую длину

(с направлением отрезка АВ на

рис. 3 или" с направлением

отрезка

ВС на рис. 4). Поэтому

величина отрезка АС будет иметь

тот

же

знак, что и величина более длинного отрезка.

Следовательно, величина направленного отрезка АС может быть

найдена по правилу сложения относительных чисел

вел АВ и вел ВС.

Таким образом, и при любом расположении точки В вне отрезка

ЛС будем иметь:

вел Л#-{-вел

В С = вел

АС.

Остается заметить, что равенство (1) будет справедливо

и в том

случае, когда

некоторые

точки

будут

совпадать.

Читатель легко

проверит это

сам. Например, если будут совпадать

точки А и С, то

вел АВ -[- вел ВС =

вел АВ -J- вел ВА =

О,

но

и вел Л С = 0 .

Следовательно, равенство

(1)

будет

справедливо.

З а м е ч а н и е .

Если

бы в

равенстве

(1)

стояли

не величины,

длины направленных отрезков,

то оно было бы справедливо только

в том случае, когда точка В

лежит

на отрезке

АС,

и теряло

бы

силу при любом другом

расположении точки В.

14	МЕТОД	КООРДИНАТ		[ГЛ, 1
Пользуясь равенством (1), легко			показать, что при любом	числе
точек А ,	Вл, ВгУ . . . , ВПУ С и	произвольном их расположении		на оси
мы будем	иметь:
	вел АВл-\- велВхВг -\- . . .		-J-вел ВпС = вел АС,	(Г )

т. е. сумма величин направленных отрезков, для которых начало каждого следующего отрезка совпадает с концом предыдущего, равна величине направленного отрезка, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом последнего из направленных отрезков.

§ 2. Координаты на прямой линии. Посмотрим, как можно определить положение точки на прямой линии.

Возьмем на этой прямой некоторую произвольную точку О (от латинского origo— начало), относительно которой будем определять положения всех точек прямой. Ясно, что положение любой точки Р

прямой линии будет вполне определяться направленным отрезком ОР: каждой точке прямой соответствует определенный направленный


отрезок с началом	в точке О и концом		в рассматриваемой				точке Р
т		и, обратно,		каждому направленному
О	—	отрезку с началом в точке О соот-
-t—		ветствует одна точка				Р прямой ли
Рис. 5.		нии — конец		этого отрезка.
		Установим теперь на прямой по

рем единицу масштаба т (на		ложительное		направление			и выбе
		рис. 5	положительное			направление
выбрано слева направо). Тогда		положение любой точки Р прямой
линии можно будет	определить	числом — величиной				направленного
отрезка ОР. Это число, определяющее			положение		точки * называется
ее координатой. Итак, величина направленного					отрезка		ОР яв

ляется координатой точки Р прямой линии. Обозначая координату точки Р буквой х , имеем:

* = вел ОР.

Зная точку Я, легко найти ее координату: она равна величине направленного отрезка ОР. Обратно, по заданной координате х можно построить единственную точку: она будет концом направленного

отрезка ОЯ, величина которого равна х .

Если на прямой линии отмечена некоторая точка О, указано положительное направление и, кроме того, выбрана единица масштаба, то мы будем говорить, что на прямой установлена система коорди нат. Точка О, являющаяся началом рассматриваемых направленных отрезков, называется началом координат, а данная прямая — осью координат. Начало координат делит ось координат на две части; полупрямая, идущая от точки О в положительном направлении, называется положительной полуосью, полупрямая, идущая от О в отри-

§ 4J

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА плоскости

дательном направлении,— отрицательной полуосью. Очевидно, точки положительной полуоси имеют положительные координаты (на рис. 5 точки, лежащие вправо от О), точки отрицательной полуоси— отри цательные координаты; точка О имеет координату, равную нулю.

В тексте условимся координату точки писать в скобках рядом

сбуквой, обозначающей эту точку: Р(х).

§3. Расстояние между двумя точками на прямой линии. Пусть нам даны в некоторой системе координат две точки: А (хг) и В (хг). Посмотрим, как выразится расстояние АВ между этими точками через их координаты.

На основании равенства (1) мы можем написать, что

вел	СМ + вел	А В = вел	ОВ,
откуда
вел	АВ = вел	ОВ— вел	ОА;
так как вел O A = xlt вел OB = x ti		то
	вел АВ = хг— х х.		(2)

Таким образом, чтобы получить величину направленного отрезка оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала.

Расстояние между точками А и В равно длине направленного

отрезка АВ. Следовательно,
АВ = \х л— х г\,	(2')

т. е. расстояние между двумя точками равно абсолютной величине разности координат этих точек.

Например, если даны точки Л (5) и В(—3)л то вел АВ = —3—5 = —8,

арасстояние АВ = В.

§4. Прямоугольные координаты на плоскости. Дадим теперь понятие о методе координат на плоскости, т. е. ^

укажем способ, позволяющий определять поло- *L


жение точек плоскости с помощью чисел.
Возьмем две взаимно перпендикулярные пря										^
мые	и на каждой из				них установим	положитель- ^
ное направление. Эти прямые, относительно
которых		мы	будем		определять положение точек
плоскости, называются осями координат. Оси
координат обычно располагают так,						как	это	ука-	-----	_	г j
зано	на	рис. 6:		одну— горизонтально и положи- О						р
тельное направление на ней выбирают слева
направо,		а	другую— вертикально			и	положи-		из	ис* *
тельное		направление			на ней— снизу	вверх.		Одна		осей (обычно
горизонтальная)				называется осью абсцисс				(ось Одг),		а другая —

16 МЕТОД КООРДИНАТ [г л . I

осью ординат (ось Оу). Точка пересечения осей координат назы

вается	началом координат (на рис. 6 начало координат обозна
чено	буквой О). Наконец,	выберем единицу масштаба (мы	всегда
будем	предполагать, что на	обеих осях координат выбрана	одна и
та же	единица масштаба).

Теперь положение любой точки плоскости можно будет опре


делить		числами— координатами этой			точки.		Действительно,		всякой
точке		М плоскости		соответствуют	на	осях	координат	две	точки
Р и Q,		являющиеся		ее проекциями ‘)	на	эти	оси (рис. 6) и, обратно,
зная	точки		Р и Q на осях координат, можно				построить	единствен
ную	точку		М на плоскости, для которой Р и Q являются						проек

циями на эти оси. Таким образом, определение положения точки М


плоскости сводится к определению положений							ее	проекций Р и			Q
на координатные			оси.
Но мы уже знаем, что положение точки на								оси вполне		опре
деляется	ее	координатой.			Пусть	х — координата		точки	Р	на	оси
абсцисс	(х = вел		ОР)	и у — координата точки			Q	на оси	ординат
{у = вел	OQ),	Числа х		и у	вполне	определяют	положение		точки		М
на плоскости и называются координатами точки;								при этом х		назы
вается абсциссой			точки	Му а у — ее		ординатой.

Таким образом, абсциссой точки называется величина направ ленного отрезка оси Ох, началом которого является начало координат, а концом— проекция точки на эту ось; ординатой точки называется величина направленного отрезка оси Оу, началом

которого

является

начало координат, а концом— проекция точки

на ось

ординат.

Итак, положение любой точки плоскости вполне определяется

заданием

пары

чисел

и у у первое из которых

является

абсциссой

точки,

второе— ее

ординатой.

Координаты точки условимся писать в скобках, рядом

с буквой,

обозначающей эту точку, ставя на первом месте

абсциссу,

а на

втором— ординату

разделяя

их запятой: М (х,

у).

При

указанном

на рис. 6 расположении координатных осей для всех точек

пло

скости, лежащих вправо от оси Оу (оси ординат),

абсцисса

х по

ложительна, а

для

точек, лежащих влево от оси Оу, — отрицательна.

Точки

самой

оси

Оу

имеют

абсциссу, равную

нулю. Совершенно

так же точки плоскости, лежащие выше оси

Ох

(оси

абсцисс),

имеют

положительную

ординату у у а точки, лежащие ниже оси О.г,—

отрицательную. Точки

самой оси Од: имеют ординату, равную нулю.

Начало координат имеет координаты (0, 0).

Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые

четвертями или

квадрантами

(иногда их также называют коорди-)*

*) Проекцией

точки

М на ось называется основание

перпендикуляра,

спущенного из М на эту

ось.

§ 4]

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА плоскости

натными углами). Часть плоскости, заключенная

между

положитель

ными полуосями

Ох и

Оу,

называется

первым

квадрантом.

Дальше

нумерация квадрантов идет против часовой стрелки

(рис.

7). Для

всех точек

I квадранта

* ^ > 0 ,

для

точек

И квадранта

JC<^0,

д?^>0;

111 квадранте

д;<^0,

у<^0

в IV

квадранте

л:^>0,

^ < ^ 0 .

Координаты,

которые принимаются

здесь

для определения положения точки плоскости,

называются прямоугольными координатами,

так как

точка М плоскости

получается пере

сечением

двух

прямых

РМ и

QM (рис. 6),

встречающихся

под

прямым

углом,

так

же декартовыми по имени

математика

и фи

лософа Декарта, который в 1637 году опуб

ликовал первый труд по аналитической гео

метрии.

Декартова

прямоугольная

система

коор

динат не является единственной коорди

положения

точек

пло-

натной

системой,

позволяющей

определять

скости

(см. § 11 этой главы),

но

она

является

наиболее

простой и

мы в дальнейшем будем

пользоваться

преимущественно

ею. Из

опи

санного

метода

координат

вытекает

решение

двух

основных

задач.

З а д а ч а

По данной точке М найти

ее координаты.

Из данной

точки

опускаем

перпендикуляры

на оси

Ох и

Оу.

Основания

этих

перпендикуляров — точки

Р и

Q — определят

обе

искомые

координаты.

Первая

координата

точки

М ,

ее

абсцисса,

равна

величине

направленного

отрезка

ОР оси

Од;.

Вторая

же

координата точки Ж, ее ордината, равна величине направленного

отрезка OQ оси Оу.

точки Ж, построить

эту

З а д а ч а

II. Зная координаты х и у

точку.

Ох от точки О отрезок длиною \ х\

Отложим

по оси

единиц вправо,

если х^> 0,

и влево,

если

л;<^0. Конец

этого отрезка — точка

Р —

будет проекцией

искомой

точки Ж

на

ось Ох\

откладывая по оси

Оу от точки О отрезок

длиною (^1 единиц вверх,

если

^ ^ > 0 ,

вниз, если у< ^0 ,

получим

точку

Q — проекцию

искомой

точки

на

ось Оу. Зная же

Я и Q,

легко по этим точкам, как проекциям,

построить искомую точку Ж.

Для

этого нужно

провести

через

и Q прямые, параллельные осям координат; в

пересечении

этих

прямых получится

искомая

точка Ж.

З а м е ч а н и е .

Если мы

условимся

рассматривать

направленные

отрезки РМ и QM (рис. 6) как отрезки осей, направления которых совпадают с направлениями параллельных им координатных осей, то абсцисса точки М будет выражаться не, тотгвгаъвеличиной отрезка ОЯ,

МЕТОД КООРДИНАТ

[ГЛ. 1

но и	равной ей	величиной отрезка QM. Ордината той	же	точки
будет	одинаково	выражаться как величиной отрезка	OQ,	так и

равной ей величиной отрезка РМ. Направленные отрезки OP, QM,

OQ и РМ будем называть координатными отрезками точки М. Тогда при решении рассмотренных двух основных задач нет необходи мости определять обе проекции точки Ж, достаточно определить только одну, например проекцию на ось абсцисс. Так, в задаче I опускаем из данной точки М перпендикуляр на ось абсцисс. Его основание Р определяет проекцию точки М на эту ось. Величина

направленного

отрезка ОР даст

абсциссу х

данной точки,

вели

чина

отрезка

РМ — ординатуру.

П р и м е р .

Построить точку

по

координатам

х =

г /=

— 3.

Отклады

ваем вправо

от О

по оси абсцисс отрезок

длиною

в 2 единицы;

через конец

Р этого

отрезка

проводим

прямую,

параллельную

оси

ординат,

на ней

откладываем вниз от Р

отрезок

длиною в 3 единицы;

конец

этого

отрезка и

есть искомая точка

М.

Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке

плоскости

соответствует

вполне

определенная

пара

координат

и у

и, обратно, всякая пара действительных чисел х , у определяет

на

плоскости

единственную

точку,

абсцисса

которой

равна

дт,

орди

ната

у . Поэтому

задать

точку,

это значит задать ее координаты;

найти

точку,

значит

найти ее координаты.

§ 5. Расстояние между двумя точками

на

плоскости.

§§5,

этой

главы мы рассмотрим некоторые простейшие задачи

аналитической

геометрии, Ж Kotoрым

часто при

водятся многие более, сложные задачи.

Одной

из

таких задач является задача о расстоянии между

двумя

точками.

Пусть в выбранной на плоскости прямо

угольной

системе

координат

заданы

две

точки

А { х 19

у ,)

В ( х 2,

у*)1). Выразим

расстояние d

между

этими

двумя

точками

через

их

коор

Найдем

динаты.

В на координатные

проекции

точек

оси

(рис.

8).

Будем иметь:

ОРл=

х х,

вел

OQ1= y I,

вел

ОРг =

х г,

вел

OQ2= y 2.

Через одну из данных точек, например Л, проведем прямую параллельно оси абсцисс до пересечения в точке С с прямой РгВ.

*) Ясно, что говорить о координатах точек можно лишь в том случае, когда выбрана система координат. В дальнейшем мы не будем каждый раз оговаривать введение координатной системы.

§ 6 ]		ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ			19
Из прямоугольного треугольника АСВ получим:
		йг= АСг-\-СВг
(здесь	АС и	СВ — длины сторон треугольника АСВ).		Но так	как
		A C = P lPl =	\x i — x l \
		C B = Q xQl =	\yi — y t \
(гл. I,	§ 3),	то
или		(1г = \х 1 — х 1Р + \| л — Л г.
или
откуда		<** = ( * .’- * . ) • +	( Л — 3’,)*,
откуда
		< * = / ( * . - * . ) ■ + О		,	(3)

Ясно, что здесь нужно брать арифметическое значение корня. Таким образом, расстояние между двумя данными точками

равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одно именных координат этих точек.

З а м е ч а н и е . Если	данные точки А и В будут располагаться
на прямой, параллельной	координатной	оси, то	треугольника	АВС
мы не получим, однако	формула (3) и	в этом	случае будет	спра

ведлива. Действительно, если, например, точки А и В будут лежать
на	прямой, параллельной оси Охуто, очевидно, А В = Р1Р2 = \х 2— лг,\|
(гл.	1, § 3). Это же получится и из формулы (3), так как в этом случае

У 1““ У2*	точки М {х, у)	от начала	координат 0 (0 ,		0)	со
Расстояние
гласно формуле	(3) будет
	d =	y V - { - / .			(3’)
Пример. Найти расстояние между точками ( —1,				4) и (2, 0).	//i =	4,
Искомое расстояние вычисляется		по формуле	(3).	Здесь хг= — 1,
х2 = 2, //2= 0. Следовательно,

<* = / [ 2 — ( — 1)]2-Н 0 — 4)2 = / 3 2-Н — 4)== 5.

§ 6. Деление отрезка в данном отношении. Пусть заданы две точки А я В. Проведем через них прямую и установим на ней произвольно положительное направление. Пусть М — некоторая точка этой оси. Где бы ни располагалась точка М — внутри отрезка

АВ или на его продолжении в ту или другую сторону — условимся

говорить, что она делит	направленный			отрезок АВ. При		этом если
точка М лежит между А		и В,	будем	говорить,	что	она	делит
отрезок АВ в н у т р е н н и м		образом; если же точка М будет					лежать
на продолжении отрезка,	то	будем	говорить, что она		делит		отрезок
в н е ш н и м образом.

2 0

МЕТОД

КООРДИНАТ

[ГЛ. I

Назовем отношением, в котором точка М делит направленный

отрезок

АВ, число

вел AM

...

А =

-----=

(4)

вел МВ *

v '

Если точка М делит отрезок АВ внутренним образом,

то отрезки

AM и

МВ

имеют одно и то же направление,

величины

их —

один знак

и, следовательно, отношение А положительно. Если

точка М

совпадет

началом

А отрезка,

то

А =

по

мере

приближения

делящей

точки

концу

В отрезка отношение

неограниченно

возрастает,

так как знаменатель (вел МВ) стремится к нулю. Случай

совпадения

делящей

точки Ж с концом

В отрезка следует

исключить,

так как отношение в этом случае

теряет

смысл (знаменатель

дроби

обращается

нуль).

Если точка М делит отрезок

внешним

образом,

то

при

любом

ее

расположении

отрезки

МВ противоположно

направлены,

величины

их

имеют

противоположные

знаки

и,

следовательно,

отношение

А,

в котором

точка

М делит

направленный

отрезок АВ,

отрицательно. При этом яснр, что

если

делящая

точка

М лежит

вне отрезка АВ за его

началом, то абсолютная величина отношения А

меньше

единицы;

если

же

М лежит

на

продолжении

отрезка

за

его концом, то

|А|^>1

(заметим, что

ни

при

каком

положении

де

М?* А

Мг

лящей точки М отношение А не может

1 '

быть

равным

— 1).3*1

каждому

положе-

о-*-* • .

о—»-

Таким

образом,

рнс

нию

точки

на

прямой

(кроме

случая,

когда

М. совпадает

концом

рассматриваемого

отрезка)

соответствует

определенное

значение

отношения

А.

Так,

например,

на

рис.

9 точка

делит

отрезок

АВ

отношении

Точка Mt делит

А = — . Таже

точка делит отрезок ВА в отношении А =

у .

отрезок АВ внешним образом в отношении А =

— я-,

точ-

«5

в отношении А =

ка Мг делит тот же отрезок АВ

— у .

Задачу

о делении отрезка в данном

отношении

следует

понимать

так: даны

две

точки

А (хг,

у,)

В (х г,

у 2)

дано

отношение

А,

котором

некоторая

точка

М (х,

у)

делит

направленный

отрезок АВ; требуется найти координаты

х,

Рис.

1J.

точки М.

Я,, S , Рг суть проекции точек

А,

М,

Ох

Пусть

на

ось

(рис. 10). Прямые АР1% MS

ВРг

параллельны

и,

следовательно,

<<< < Предыдущая 12 / 282 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги