книги / Аналитическая геометрия.-1

Отсюда, в частности, следует, что равные векторы имеют равные проекции на ту же ось.

на три слагаемых, лежащих на осях координат. Слагаемые век­ торы Мп М,, Ms назовем компонентами или составляющими данного вектора М относительно системы координат Oxyz.

От точки О в положительном направлении каждой оси координат отложим по вектору длины, равной 1. Обозначим три введенных попарно взаимно перпендикулярных единичных вектора соответственно

Щ = Х\,

где X есть длина вектора М,, взятая со знаком -[“»если направления векторов М, и i совпадают, и взятая со знаком — , если направление

вектора М, противоположно направлению основного вектора I. Другими словами, X есть число, являющееся проекцией вектора М на ось абсцисс. Аналогично получим:

М2= Kj, M, = Zk,

где У и Z — проекции вектора М соответственно на оси ординат и аппликат. Таким образом, рассматривая три проекции Х> К, Z век­ тора М на оси координат, перепишем равенство (I) в виде

Это равенство дает разложение вектора по основным векторам i, j, k.

Есть существенная разница между компонентами вектора и его проекциями. Проекции вектора — это три числа X , F, Z, которые являются декартовыми координатами конца вектора — точки Мл если начало вектора находится в начале координат. Называя радиусомвектором точки М вектор; идущий от начала координат в точку Ж, мы можем сказать, что декартовы координаты Х у У, Z точки М

суть проекции ее радиуса-вектора ОМ. Компоненты же вектора представляют собой векторы М,, М2, М2, сумма которых равна данному

т. е. компонента получается умножением основного единичного вектора на проекцию.

Значение равенства (Г) в теории векторов исключительно велико. При помощи этого равенства устанавливается связь между двумя частями теории векторов — геометрической и алгебраической. Ведь векторная алгебра состоит из соединения этих двух моментов: геоме­

метрическая теория дает возможность широко использовать геометри­ ческие представления, алгебраическая же часть позволяет проводить

*) В дальнейшем, говоря о проекциях вектора на оси координат, мы иногда будем корогко называть их просто проекциями, опуская слова «на оси координат».

§6. Действия над векторами, заданными своими проекциями.

В§ 5 мы заметили, что проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Применяя это предложение относительно каждой оси координат, мы заключаем:

При сложении векторов одноименные проекции их склады­ ваются. Запишем это так: если

A ^ X J + Y J + ZJL, B = * 2i + K J + Z2k,

вило вычитания векторов: чтобы вычесть вектор, нужно вычесть его проекции, т. е.

A - b = (X l - X 2)\-\-.(Yl - Y 2)i + (Z1 — Z t)k.

Правило умножения вектора на число получим умножением обеих частей равенства А== Х х\ Yxj-{-Z xk на Я (при этом мы пользуемся свойствами умножения, отмеченными формулами (4) и (6) § 4):

ЯА = ЯХ х\ + Я Yxj + XZjk.

Таким образом, чтобы умножить вектор на число, нужно умно­ жить все его проекции на это число.

П р и м е р . Найти радиус-вектор точки, делящей в отношении Яотрезок А В между точками А (г,) и В (г*)1). Найдем радиус-вектор г точки М , делящей

отрезок А В в данном отношении Я (см. ч. 2, гл. 1, § 2). Очевидно, что

АМ = ХМВ.

Обозначая через хъ ух, г, координаты данной точки А, через xt, yt, zt координаты другой данной точки В и через х, у, г координаты искомой точки М, перепишем формулу (9) в проекциях:

*) Радиус-вектор точки условимся записывать в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку.

А В = АВ = (АВ).

или словами: скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию другого вектора на направление первого.

т. е. при скалярном умножении вектора А на единичный вектор получаем проекцию этого вектора А нанаправление единичного вектора.

§ 8J ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 175

§ 8. Основные свойства скалярного произведения.

I. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из векторов является

Так как направление нулевого вектора неопределенно, то нуле­ вой вектор можно считать перпендикулярным к любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения может быть сформулировано короче: скалярное произведение обращается в нуль

же угла.

III. Исключительно важное значение имеет распределительный закон. Его применение столь же велико, как и в обычной арифме­ тике или алгебре, где он формулируется так: чтобы умножить сумму, нужно умножить каждое слагаемое и сложить получен­ ные произведения, т. е.

( а Ь ) с — а с Ь с .

Очевидно, что умножение многозначных чисел в арифметике или многочленов в алгебре основано на этом свойстве умножения.

По второму определению скалярного произведения, выражаемому формулой ( 10"), получим:

(А + В)С = Спрс (А + В).

т. е. чтобы умножить скалярное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

Для доказательства мы вычислим отдельно левую и правую части последнего равенства (предполагая А ^ 0)

А (АВ) = АВ cos (А^В) А,

А (АВ) = А (КВВ°) = ХАВ cos (iO В0)

и заметим, что углы АВ и АВ равны, потому что векторы В и В одного направления. Легко проверить формулу (13) и при А<^0.

Как частный случай доказанного свойства отметим следующее предложение: чтобы перемножить скалярно два вектора, можно один из них умножить скалярно на единичный вектор, направлен­ ный по второму, и полученное произведение умножить на длину второго, т. е.

DC = (DC0) С.

§ 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями. Обозначая через X ti Yx, Z, проекции вектора А, а через Xtf YX,Z % проекции вектора В, выразим скалярное произведение А и В:

АВ = (Xtl + Yxj + Z tk) (Xti + YJ + Ztk).

По свойству распределительности суммы векторов умножаются как многочлены. Следовательно, получаем:

Так как i, j, k представляют три взаимно перпендикулярных еди* ничных вектора, то

скалярный квадрат вектора ЛД, получим:

Ав2 = (ЛО + ОД)2 = ЛО* + 2ЛО • ОД + ОД*,

или

ЛД* = ОЛ* + ОД* + 20Л-ОД cos (ЛО, ОД).

Обозначая через <р внутренний угол треугольника ОАВ при вершине О, по­ следней формуле придадим обычный вид:

С (рис. 102).

Если векторы А и В параллельны, то их векторное произведение

т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними.