Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2821 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

ГЛАВА IV

ПЛ О С К О С Т Ь

§1. Нормальное уравнение плоскости. Положение плоскости в

пространстве

будет

вполне

определено,

если зададим

ее

расстоя

ние р от начала О,

т. е. длину перпендикуляра

ОГ, опущенного из

точки

на

плоскость, и

единичный

вектор

п°,

перпендикулярный

плоскости

направленный

от

начала

к плоскости

(рис.

1 1 0 ).

Когда

точка

движется по

плоско

сти, то ее радиус-вектор г меняется так,

что все

время

связан

некоторым

услови

ем. Посмотрим, каково это условие. Оче

видно,

для

любой

точки

Ж (г), лежащей

на

плоскости,

имеем:

прпо О

М =

О Т = р .

(1)

Это условие имеет место лишь для

точек плоскости; оно нарушается, если

точка

лежит

вне

плоскости. Таким

образом,

равенство

(1) выра

жает свойство,

общее всем

точкам

плоскости

только им. Согласно

7 гл.

имеем:

--- —►

ги°,

прпо О М

и,

значит,

уравнение

( 1)

может быть переписано в виде:

П1° —

р =

(Г )

Уравнение (Г ) выражает собой

условие,

при

котором

точка Ж (г)

лежит

на

данной

плоскости,

и называется

н о р м а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

э т о й

п л о с к о с т и . Радиус-вектор г

произвольной

точки М

плоскости

называется

т е к у щ и м

р а д и у с о м - в е к т о р о м .

Уравнение

(Г )

плоскости

записано

в векторной

форме. Переходя

координатам

помещая

начало

координат

начале

векторов —

точке О, заметим, что проекциями единичного вектора па на оси

координат	О х , Оу, O z служат косинусы углов а, р, у, составлен
ных осями	с этим вектором, а проекциями радиуса-вектора г точки М

202

п л о с к о с т ь

[гл . IV

служат координаты х , .у, z точки Ж, т. е. имеем:

n°{cosa, cos р, cosy} и г (*»	ZY
Уравнение (Г) переходит в координатное:
x c o sa -f-y cos Р + 2 cos у — р =	0.	(2)
При переводе' векторного уравнения (Г) плоскости		в координат

ное уравнение (2) мы воспользовались формулой (15) § 9 гл'. И, выражающей скалярное произведение через проекции векторов. Уравнение (2) выражает собой условие, при котором точка М(х, у, z)

лежит на данной	плоскости, и называется		нормальным		уравнением
этой* плоскости'		в координатной форме.		Полученное уравне
ние (2) — первой		степени относительно х,	у ,	z, т. е.	всякая пло

скость может быть представлена уравнением первой степени относительно текущих координат.

Заметим, что	выведенные уравнения	(Г) и (2) остаются в силе
и тогда, когда /? =	0, т. е. данная плоскость проходит через начало
	координат. В этом случае за п° мож
	но принять	любой из двух единичных

^векторов, перпендикулярных к плоско сти и отличающихся один от другого направлением.

	З а м е ч а н и е .	Нормальное уравнение
	плоскости (2) можно	вывести, не пользуясь
	векторным методом.
	Возьмем произвольную плоскость и про
	ведем через начало координат перпендику
	лярно к ней прямую /. Установим на этой
	прямой положительное направление от на
	чала координат к плоскости (если бы вы
Рис. 111.	бранная плоскость проходила через начало
	координат, то направление на прямой мож
Положение этой	но было бы взять любое).
	плоскости в пространстве вполне	определяется расстоя

нием ее р от начала координат, т. е. длиной отрезка оси / от начала коорди нат до точки пересечения ее с плоскостью (на рис. 111 — отрезок ОТ) и углами a, Р, у между осью / и координатными осями. Когда точка М с координатами х, у, 2 движется по плоскости, то ее координаты меняются так, что все время связаны некотррым условием. Посмотрим, каково это условие.

Построим на рис. 111 координатную ломаную линию OPSM произвольной

точки М плоскости. Возьмем проекцию	этой ломаной	на ось I. Заметив, что
проекция ломаной равна проекции ее замыкающего отрезка (гл. I, § 3), будем
иметь:
пр OPSM =	Пр ОМ = р.	(3)

Сдругой стороны, известно, что проекция ломаной равна сумме проекций

еезвеньев (гл. I, § 3); следовательно, равенство (3) перепишется так:

п р ОР + пр PS + пр SM = р .

(4)

§ 2 ] ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ 2 0 3

Так как проекция отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 3), то

пр ОР = х cos а, пр P S =г у cos р, пр S/W = г cos у .

Подставляя эти значения в равенство (4), получим:

или	х cos а +	У cos Р + z cos у = р,
	х cos а -f- у	cos р +	г cos у	— р =	0.	(2)

Как	уже указывалось, уравнение (2) выражает собой условие, при котором
точка М	(х, у , г) лежит на данной плоскости,			и называется нормальным		урав
нением	этой плоскости. Полученное уравнение (2) — первой степени относи
тельно х, у %2 , т. е. всякая плоскост ь			м ож ет	быть	представлена уравнением

первой ст епени от носит ельно т екущ и х координат .

§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. В предыдущем параграфе было доказано, что всякая плоскость может быть представлена уравнением первой сте пени. Теперь докажем обратную теорему: всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость.

Возьмем уравнение первой степени Общего вида:

A x-\-B y-\-C z-\-D = 0.				(5)
Будем рассматривать Л, Б и С как проекции на оси координат				Ох,
Оу и Oz некоторого постоянного вектора п,		а л;, у и z	как	про
екции радиуса-вектора г точки М . Тогда уравнение (5) может				быть
переписано в векторной форме следующим образом (гл. 1, § 9):
rn +	D = 0.			(5')
Покажем, что уравнение (5')	может быть	приведена к	нормаль
ному виду (Г).

Рассмотрим следующие случаи: 1) Пусть *D<[0.

Тогда разделим уравнение (5') на модуль вектора п, т. е. на п. Получим;

так как -^ -= п °.	Обозначив отрицательное			число —	через— р,	где
р положительно,	будем	иметь нормальное уравнение гп°— р =				0.
2) Если	0, то	разделим	уравнение	(5') на (— л), после		чего
оно примет вид г ( — п°)— —- = 0 .
Обозначив же	положительное		число	через р,	получим	нор
мальное уравнение.

2 0 4

плоскость

[ni.

Если

Z) =

то

уравнение

(5')

можно

разделить

как

на л,

так

на

(— п).

В первом случае мы получим

гп° =

а во втором

г (— п°) =

Каждое

из

них

является

нормальным

уравнением

вида

(Г).

Таким

образом,

уравнение

(5')

всегда

может

быть

приведено

нормальному

виду

(Г).

Но нормальное

уравнение

определяет

пло

скость. Следовательно, уравнение (5'), а

значит,

исходное

урав

нение

(5),

определяет плоскость. Таким образом, теорема доказана.

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.

Условимся всякий вектор, отличный от нулевого,

перпендикуляр

ный к

плоскости,

называть

нормальным

вектором

плоскости.

Тогда,

очевидно,

вектор п{Л, В, С} будет одним

из

нормальных

векторов

плоскости. Таким образом, коэффициенты Л,

Ву С при

текущих

координатах в уравнении (5) имеют

простой геометрический

смысл:

они

являются

проекциями

нормального

вектора

на

координатные

оси. Свободный

член

непосредственного

геометрического

смысла

не имеет, но его абсолютная величина, разделенная на длину п нор

мального

вектора п,

равна расстоянию плоскости от начала координат.

Легко

усмотреть,

что

нормальное

уравнение

плоскости

коор

динатной

форме

(2) есть частный случай общего уравнения (5). Это —

тот

случай,

когда

за

нормальный

плоскости

вектор

выбран

еди

ничный вектор,

направленный

из

начала

координат

перпендикулярно

к данной

плоскости.

Из

предыдущего

мы

усматриваем

способ

приведения

уравне

ния

(5) или

(5')

нормальному виду

(2)

или (Г).

Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора п {А В, С), взяв ее со знаком -|- или — , смотря по тому, будет ли свободный член D отрицательным или положительным. Иными словами, для при- ведения общего уравнения (5) первой степени к нормальному виду нужно умножить его на множитель

М	1		(6)
	— У а 2 + в2+	с2 ’

причем знак множителя следует взять противоположным знаку свободного члена D в уравнении (5) (при D = 0 знак множителя выбирается произвольно). Этот множитель М носит название норми рующего множителя.

После умножения на Ж уравнение (5) принимает вид:

M Ax-\-M By-\~M Cz-{-M D = 0

и совпадает с нормальным уравнением (2). Следовательно, имеем:

МЛ = cos a, M £ = c o s p , МС— cosy, MD — — р .

(7)

§ 2)

ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ

2 0 5

Подставив найденное по формуле (6)

значение

последние

равенства, получим

формулы

для

cos a,

cos Р,

cosy и р:

cos а

V Аг+ вг + с* *

COS Р =

V A * + Вг + С х'

(8 )

cosy

— V A z + я* 4- с*’

У а *+ вг+ с г'

В этих формулах (8) надо брать

верхние знаки,

если £)<^0(Л4^>0),

и нижние в противном случае.

З а м е ч а н и е

Установить

геометрический

смысл уравнения первой

степени, а также найти правило приведения общего уравнения к

нормальному

виду,

можно не прибегая

векторному

методу.

Отправляясь от

уравнения

первой степени общего вида (5)г спросим

себя,

каково

геометрическое

место

тех точек

пространства,

координаты

которых х%у, г

удовлетворяют нашему

уравнению? Мы покажем,

что^ искомое

геометрическое

место

точек

будет

п л о с к о с т ь .

этой‘целью умножим наше уравнение на постоянный множи

тель

М, подобрав

его

так,

чтобы

получилось

нормальное

уравнение,

т. е.

уравнение

вида (2). Уравнение. (5)

преобразуется

к виду

МАх + МВу +

МСг +

MD =

(9)

Чтобы уравнение

(9) было вида, одинакового с уравнением (2), нужно положить

/ИЛ =

cos a,

M£==cosP,

МС =

cos у,

MD = — р.

(10)

Из равенств (10) легко найдем неизвестные М, а, Р, у

и р выраженными через

известные

коэффициенты

Л, В, С,

если

воспользуемся

вспомогательным

равенством

cos2 а +

cos* р + cos2y =

(11)

(ч. 2, гл. I, § 4). Действительно, возводя

в квадрат первые три из равенств (10]Г

и складывая,

найдем:

ММ*

М*£* -(- М*С* =

cos2 а

cos* Р 4" cos* у =

откуда

М2 (Л* 4 -В* 4 -С2)=

м=±-

(6)

У л 24 -в*4 -c2,

В формуле (6) нужно брать знак,

противоположный

знаку свободного

члена,

как это видно из последнего равенства (10). Подставив

найденное

значение М

в равенства (10),

получим формулы (8) для cos a,

cosp, cosy

и р.

Итак,

уравнение (5)

приводится к нормальному виду путем умножения его

на множитель

М,

определяемый по

формуле

(6).

Этот

множитель

носит

название нормирующего множителя. Так как нормальное уравнение определяет, как мы видели в предыдущем параграфе, плоскость, то отсюда следует, что и

общее уравнение (5) определяет плоскость. Итак всякое уравнение первой степени между х, у, г определяет плоскость как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

З а м е ч а н и е 2. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то соответствующие' коэффициенты их пропорциональны.

2 0 6

п л о с к о с т ь

[г л . iv

Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба эти уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение.

Коэффициенты каждого из них пропорциональны соответствующим коэффициентам этого нормального уравнения, а потому пропорцио нальны и между собой.

П р и м е р .

Уравнение плоскости х — 2у -f- 2г — 3 =

0 привести к нормаль

ному виду.

Нормирующий множитель будет:

1 .

г 1*4: (— 2)г-Ь 22

3 ’

умножая на него данное уравнение, получим:

х _ " з

г / + 'з z - 1 = 0 i

Для данной плоскости, следовательно, имеем:

C0SY =

р =

cos а = -^-,

cosp = — у ,

-g>

Исследование

общего

уравнения

плоскости.

Посмотрим,

какое

положение относительно

осей

координат

занимает

плоскость,

заданная

уравнением

A x-\-B y -\-C z-\-D =

(12)

если

некоторые

коэффициенты этого

уравнения обращаются в

нуль.

Если

D =

то уравнению

(12)

удовлетворяют

x = y =

z = 0,

т. е. координаты начала; таким

образом,

плоскость

проходит

через

начало координат. Если

С = 0,

то

уравнение (12) будет:

Ax + B y-\-D =

(12')

Рассматривая это уравнение на плоскости хО у, мы будем иметь прямую линию. Рассматривая же уравнение (12') в пространстве, мы будем иметь геометрическое место тех точек, которые проекти руются на плоскость хОу в точки указанной прямой. Таким образом, уравнение (12') определяет плоскость, параллельную оси O zl\. Ана логично, если В = 0 ^ то уравнение

A x-\-C z-]-D = О

рпределяет	плоскость,	параллельную	оси	Оу,	и, наконец,			если
А = 0, то уравнение		tf y - f C z - f £> = 0
		tf y - f C z - f £> = 0
определяет плоскость, параллельную оси Ох. Вообще,						если	в	урав
*) Тот ж е	вывод мы	получим сразу,	если	припомним,		что А, В и С
являются проекциями нормального к данной			плоскости вектора. Если					С = 0 ,
то этот вектор перпендикулярен к оси Ог} а			это	значит,	что	сама	плоскость
параллельна оси Ог.

§ 4]

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ

2 0 7

нении гоюскрсти отсутствует координата z , у или я, то плоскость параллельна соответственно оси Oz, Оу или Ох.

Допустим теперь, что два коэффициента равны нулю, например

D = C = 0.

Уравнение

Ах -f- By = 0

определяет плоскость, проходящую через начало координат парал лельно оси Oz, т. е. это будет плоскость, проходящая через ось Oz, Аналогично уравнение вида

Ax-\-C z = О

определяет плоскость, проходящую через ось Оу, а уравнение

JBy-\-Cz= О

определяет плоскость, проходящую через ось Ох.

Если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, например А = В = 0, то уравнение C z \ D — 0 определяет пло скость, параллельную оси Ох и оси Оу, т. е. плоскость, параллель

ную плоскости координат			хОу.		Также	уравнения B y-\-D = Q и-
AK -{-Z ):= 0 определяют плоскости, парал						г
лельные соответственно плоскостям коор
динат х Oz и yOz.
Если, наконец, три коэффициента рав
ны нулю,	например	B = C = D = 0, то
уравнение Ах = 0 или jt =			0	определяет
плоскость координат yOz.					Cz — 0
Также	уравнения	Ву = 0		и
определяют	соответственно		плоскости ко

ординат „яОг и хОу.

§ 4. Уравнение плоскости в отрез- ках. Рассмотрим плоскость, пересекаю

щую все tpH ..координатные оси и не проходящую через начало координат. Уравнение этой плоскости можно записать чв виде

	A x-{-B y-\-C z-\-D = 0,				(13)
где ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен				нулю.	Обозна
чим	через а, b, с величины	отрезков,	отсекаемых	плоскостью на
осях	координат (рис. 112).
Тцк как точка Р(я, 0, 0)		лежит на	плоскости,	то ее	коорди
наты	удовлетворяют уравнению (13):

A a -\-D = Q ,

2 0 8	п л о с к о с т ь		\|гл. IV
или
	А==- Л -	"	(14)
	а	"
Аналогично	'Координаты точки Q(0,	b, 0) должны удовлетворять
уравнению	(13), что дает:

Bb + D = 0,

или
D_____	(14')
	(14')

Наконец, координаты точки /?(0, 0, с) удовлетворяют уравнению (13):

или

(14я)

Подставляя

значения

А,

Б и С из равенств (14), (14'),

(14") в

урав

нение (13)

плоскости,

получим:

—

—D -У- — Djr-\-D = 0.

‘

Сокращая на D,

которое

силу

предположения

не

равно

нулю,

найдем:

— — — -f — - 4 - 1 = 0 ,

или

(15)

Это и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.

П р и м е р . Уравнение плоскости Зх — 4^ +

а — 5 = 0 написать в отрезках.

Полагая

в данном уравнении у =

z =

найдем величину а:

откуда

х =

Зх — 5 = 0,

т. е. а = —.

Аналогично,

полагая

x = z =

найдем величину b:

— 4р — 5 =

откуда

«/= —

т. е. &=

- ,

— .

Наконец, полагая х = # = 0, найдем величину с:

г — 5 = 0, откуда z = 5, т. е. <?=5.

Следовательно, уравнение плоскости в отрезках будет:

X , у . г

:1 .

§ 5 ]

УРАВНЕНИЕ

ПЛОСКОСТИ,

ПРОХОДЯЩЕЙ

ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ

2 0 9

§ б. Уравнение плоскости, проходящей

через

данную

точку.

Пусть

требуется

найти

уравнение плоскости,

проходящей

через

точку Mlt заданную радиусом-вектором г, {л:,, у,, ^} .

Возьмем лю

бой

вектор

п {^4,

В, С} =?= 0

найдем

уравнение

плоскости,

проходящей

че

рез

точку

Мх перпендикулярно

не

му. Обозначим эту плоскость через Р

(рис. 113).

Проведем радиус-вектор г {л;, у,

в любую точку М плоскости. Тогда

вектор

МХМ или г — r lt как

лежащий

в плоскости Я, будет перпендикуля

рен

вектору

п. Поэтому

их скаляр

ное

произведение

равно нулю

п(г — г,) =

(16)

Это

равенство

есть

условие

того,

что точка М лежит в плоскости

Я.

Оно

справедливо

для

всех

точек

этой

плоскости

нарушается,

как только точка М окажется вне плоскости Я.

Равенство (16) есть векторное уравнение плоскости Я.

Выражая скалярное произведение векторов через

их проекции,

получим уравнение той же

плоскости в координатной форме

A { x - x l) - \- B (y — y x)Jr C(z — z i) — 0.

(17)

Как видно из вывода, вектор

п,

а потому и его проекции А, В

и С совершенно

произвольны

(но,

конечно,

мы

исключаем случай

А = В = С = 0,

так как п ^ О ) .

Изменяя значения А, 5 и С, мы будем получать различные пло

скости,

проходящие через

данную

точку

Мх. Таким

образом,

урав

нение (17) при любых значениях коэффициентов А,

В и С выражает

плоскость, проходящую через данную точку.

З а м е ч а н и е .

Уравнение плоскости,

проходящей

через

данную

точку,

можно вывести, не пользуясь векторным методом.

Пусть

нужно найти уравне

ние плоскости, проходящей через точку

Мх(х„

у„

z,).

Возьмем искомое урав

нение в виде

Ах -}- By Cz -}- D = 0.

Так

как по условию

искомая плоскость

проходит

через

точку

М, (xv

г,),

то координаты этой точки должны удовлетворять этому уравнению. Отсюда получаем условие:

Ах1-\- Вух+ Сг, + D = 0.

Вычитая это тождество из первоначального уравнения, получаем искомое урав нение:

А (х — х,)-\- В (у — у,) -]- С (г — г ,) = 0 ,

(17)

210	п л о с к о с т ь	[г л . IV
где Л, В	и С произвольны. Изменяя любым способом их значения,	мы будем

получать разные плоскости. Но все они будут проходить через точку М, (х„ yv z ), в чем легко убедиться также непосредственно подстановкой координат этой точки в уравнение (17). Оно будет обращаться в тождество независимо от зна

чений	коэффициентов.					коэффициентов Л, В
Таким образом, уравнение (17) при любых значениях
и С (кроме случая А =			В = С = 0)	выражает плоскость,		проходящую		через
данную точку М, (х19 ух, г,).					проходящей		через	точ
П р и м е р .		Составить уравнение плоскости,
ку А* (1, 2, 3).			плоскости будет:
Уравнение искомой
		А ( х - 1 ) + В ( у - 2 ) + С ( г - 3 ) = 0.
§	6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Пусть	нужно	найти	уравнение	плоскости,	проходящей		через	три

данные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначая их радиусы-

векторы через

г,,

г2 и г3, а

текущий

радиус-вектор

через

г, мы

легко

получим

искомое уравнение в векторной форме. В

самом

деле, векторы г — г1Э г2 — г,

и г3— г,

должны

быть

компланарны

(они

все лежат

искомой плоскости). Следовательно, векторно-ска

лярное

произведение этих векторов должно быть

равно

нулю:

(г — г,) (г, — г,) (г, — г,) = 0.

(18)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей

через

три

данные

точки г,, г2, г3 в векторной форме.

Переходя к

координатам,

получим уравнение

в координатах:

X — х г У — у , г — Z,

(18')

xt — x, у г — у, гг— 2 , = 0 .

У ,— У,

Если бы три данные точки лежали на одной

прямой,

то

векторы

г8 — г,

и г3— г,

были бы коллинеарны. Поэтому соответствующие

элементы двух

последних строк определителя, стоящего в

уравне

нии

(18'),

были

бы пропорциональны и определитель тождественно

равен нулю. Следовательно, уравнение (18') обращалось бы

тож

дество

при

любых

значениях х, у и z.

Геометрически

это

значит,

что

через

каждую

точку

пространства проходит

плоскость,

кото

рой

лежат

и три

данные

точки.

, ,.3 а.ме ч.а и и.е .

1. Эту

же задачу можно

решить, не пользуясь векторами*

Обозначая координаты трех данных точек

соответственно

через

ух,

х2, Уг* гг и

Уз»

г»» напишем уравнение любой плоскости, проходящей, через

первую точку:

А (х - х.) + В {у - уг) + С (г - г,) =

(17)

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2821 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги