Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 121

ДИАМЕТРЫ ЭЛЛИПСА. СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ

9 1

Исключим из пяти соотношений (17) — (21) четыре вспомогательные вели чины х„ xv ylt уг. С этой целью, вычитая равенство (17) из равенства (18), найдем:

или
(X, - X,) (X, +	*,) , (уг — у,) (у, +			V.) „
а•	^	6*		— ■
Внося в последнее равенство	согласно	(20) вместо		суммы х, + х2 ее значение
2Х, а вследствие (21) вместо	суммы	г/,+ i/t ее	значение 2Y и согласно (19)
вместо разности у£— ух ее выражение Ьх (хг — х,),			мы придадим ему вид:
( х г — х ,)2 Х , kx(xt - x t)2Y				А.
а*				*

сокращая н а 2(хг — Xj)1), мы получим окончательно:

откуда (при fej *£ 0)

Таким образом, координаты середин параллельных между собой хорд эллипса связаны линейной зависимостью. И, значит, середины параллельных хорд рас полагаются на прямой

		У =	azkx	(22)
			azkx
В	наших рассуждениях	мы предполагали, что рассматриваемые хорды имеют
угловой коэффициент kx и,		следовательно, не		параллельны оси Оу. Середины
хорд,	параллельных оси Оу,	тоже лежат на прямой — на оси Ох (в силу сим

метрии эллипса относительно оси Ох).

Итак, середины параллельных хорд эллипса лежат на прямой.

Прямая, проходящая черезсередины параллельных хорд эллипса%называется его диаметром. Все диаметры эллипса проходят через центр. Обозначая угло вой коэффициент диаметра эллипса через кг, имеем:

	ь г	(23)
	akt	(23)
	akt
или
* А =	а*	(23')
* А =	а*

Условимся называть диаметр эллипса сопряженным хордам, через середины которых он проходит. Условие (23) или (23') связывает между собой угловые коэффициенты параллельных хорд и сопряженного им диаметра. Так как это

*) хг — Х\Ф 0, так как'по условию рассматриваемые хорды имеют угловой коэффициент Л, и, следовательно, не параллельны оси Оу.

92	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	КОНИЧЕСКИХ	СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
условие	(23') симметрично относительно	kx и klt т. е.	не меняется	после пере
становки kx и kv то отсюда заключаем: если диаметр			с угловым коэффициентом
к2 сопряжен хордам с угловым коэффициентом kxt			то и диамегр с угловым
коэффициентом kx сопряжен хордам с угловым коэффициентом kz.

Таким образом, мы получаем пару диаметров, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (рис. 61). Такие два диаметра эллипса называются сопряженными между собой. Их угловые коэффициенты kx и kz связаны условием (23) или (23').

Итак, у эллипса имеется бесчисленное множество пар сопряженных между собой диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопряженный диаметр. В частности, оси координат (оси симметрии эллипса) представляют собой пару сопряженных диаметров. Эти два сопряженных между собой диаметра эллипса являются взаимно перпендикулярными. Такие диаметры называют главными диаметрами эллипса.

Из условия (23') следует, чю угол между любой другой парой сопряжен ных между собой диаметров, эллипса (Ь Ф а) отличен от прямого. Если же 6 = а,

т. е. эллипс обращается в окружность, то	условие	(23') обращается в условие
перпендикулярности: kx-kz = — 1. Таким	образом,	любые два сопряженных

диаметра окружности перпендикулярны между собой, т. е. всякий диаметр окружности есть главный диаметр (ось симметрии).

Из условия (23) видно, что угловые коэффициенты А», и kt двух сопряжен ных диаметров эллипса имеют разные знаки, т. е. диаметры проходят в смежных четвертях.

При увеличении kx(kx > 0) угловой коэффициент kz по абсолютной величине уменьшается, т. е. алгебраически также увеличивается. Это показывает, что при вращении диаметра эллипса против часовой стрелки сопряженный с ним диаметр вращается в ту же сторону.

П р и м е р . Определить длину диаметра-эллипса хг -f- 2уг = 1, сопряженного диаметру, делящему пополам первый координатный угол (длиной диаметра

считают расстояние между точками пересечения его с кривой).			находим
Угловой коэффициент данного диаметра есть	1, Из	условия (23)	находим
угловой коэффициент kz диаметра, ему сопряженного:
Здесь &\| = 1, аг= 1, Ьг = ^ . Следовательно, kz =	— .	Уравнение	этого
диаметра будет:

Чтобы найти его длину, нужно определить точки его пересечения с эллипсом, для чего решим совместно уравнения эллипса и диаметра:

Подставляя в первое уравнение выражение у из второго, найдем:

Зная абсциссы точек пересечения, найдем их ордйНатьг.

§ 131 ДИАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛЫ. СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ 9 3

По формуле расстояния между двумя точками находим длину d искомого диаметра: __ в __ ^

'Чч' тМ у'тУ-т+т-?.

откуда

§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры. Рассмотрим теперь ги перболу, отнесенную к ее осям симметрии:

(24)

аг Ь*~ 9

и систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом kx(рис. 62). Производя вычисления, аналогичные проделанным для эллипса, найдем, что

середины этих хорд лежат на прямой, имеющей уравнение

	Ьг	(25)
	y = tfkt X'	(25)
	y = tfkt X'

которое может быть получено из уравнения (22) заменой Ьг на — Ьг, так как уравнение гиперболы. отличается от уравнения эллипса лишь знаком при Ьг. Точно так же середины хорд, параллельных оси Оу, лежат на оси Ох. Следова тельно, середины параллельных между собой хорд гиперболы лежат на прямой. Эта прямая называется диаметром гиперболы.

Итак, все диаметры гиперболы суть прямые, проходящие через центр. Обозначая угловой коэффициент диаметра гиперболы, через имеем:

, —a‘V

или

м . = 5 -

Условимся называть диаметр
гиперболы сопряженным хордам,
через середины которых он про	Рис62.
ходит. Условие (26) или (26')	Рис62.
связывает между собой угловые
коэффициенты параллельных хорд и	сопряженного им диаметра. Так как усло

вие (26') симметрично относительно kx и кг%то отсюда заключаем: если диаметр

с угловым коэффициентом кг сопряжен хордам с	угловым коэффициентом
то диаметр с угловым коэффициентом кх сопряжен	хордам с угловым коэффи

циентом кг. Таким образом, мы получаем napyt диаметров, из которых каждый делит пополам 'хорды, параллельные другому диаметру (рис. 62). Такие два диаметра гиперболы называются сопряженными между собой. Их угловые коэф фициенты kx и кг связаны условием (26) или (26').

Итак, у гиперболы имеется бесчисленное множество пар сопряженных диа метров: каждому диаметру, соответствует свой сопряженный диаметр.

Оси координат (оси. симметрии гиперболы) представляют собой пару сопряженных и перпендикулярных 'диаметров. Такие два диаметра называют главными диаметрами гиперболы.

9 4		ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ				СЕЧЕНИЙ			[ГЛ. IV
Из	условия	(26) видно,	что угловые коэффициенты. /г, и kt двух, сопряжен
ных диаметров		гиперболы	имеют одинаковые знаки,			т. е. диаметры			проходят
в одинаковых четвертях и лежат по разные стороны асимптоты								( если \|	\| < — f
то I	^ 2 один из них			пересекает гиперболу		в	двух	точках,	а другой
гиперболы не пересекает (рис. 63).						(26), kl9 оставаясь поло
С увеличением kx (kx > 0), как следует из условия
жительным, уменьшается.			Это	показывает,	что при вращении диаметра гипер
		У		болы против часовой стрелки сопряжен
				ный с ним диаметр вращается в обратную
				сторону, т. е. по часовой стрелке.
				При этом, если угловой коэффици
				ент кг	одного	из	диаметров		стремится

к то угловой коэффициент kt сопря-

			женного		диаметра					Ь
			женного		диаметра		тоже стремится к
				§ 14.	Диаметрыпараболы.				Рассмот
				рим, наконец, параболу, заданную кано
			ническим уравнением
					у* =		2рх,			(27)
				и возьмем систему			параллельных			между
			собой хорд с угловым коэффициентом k.
Выясним, как располагаются		середины этих хорд. Обозначим концы							любой из
этих хорд через Мх(х19 ух),		Мг (хг, у*), а середину — через М (X, Y). Так как
точки Мх и Мг лежат на	параболе, то их координаты					должны удовлетворять
ее уравнению (27), т. е.		y\ =		2px„						(28)
		y\ =		2px„						(28)
		у\ =		2рхг.						(29)
С другой стороны, прямая линия МхМг имеет угловой						коэффициент k9что дает
нам соотношение (гл. III, § 12)
		k —.Уг— Ух								(30)
				Хг — Хх
			является с
		V_1 +*								(31)
				2						(31)
				2
		Y - .Ул+Уг								(32)
Исключим из пяти соотношений (28) — (32) четыре вспомогательные										величи
ны х,, х19 уг, уг. С этой	целью,		вычитая равенство			(28)		из равенства (29),
найдем:				2р (2 —i).
		у \ —	у \ =	2р (2 —i).
(Уг ~		Уi) (</. +		Уг) = 2Р (Хг ~ *,)•
Внося в последнее равенство согласно				(32) вместо суммы ух+				Улее значение 2Y,

Рис. 65.

§ 151 КАСАТЕЛЬНАЯ 95

а вследствие (30) вместо разности ух— ух ее выражение к (xt — xj, мы прида

дим ему вид:

* ( * * - * i) 2Y =		2p(xz - x l);
сокращая на 2(х,— хх) 1),	получим окончательно
откуда (так как k ф 0)	kY = pt
откуда (так как k ф 0)
	Y = £	*	(33)
	к	*
Таким образом, середины параллельных хорд параболы лежат на прямой
«= £		(34)	У
«= £		(34)
у	к ■

Мы предполагали, что рассматриваемые хор ды не параллельны оси Оу. Середины хорд, па

раллельных оси Оу, тоже лежат	на прямой — на
оси Ох (так как ось Ох является	осью симметрии

параболы).

Итак, середины параллельных хорд параболы лежат на прямой. Эта прямая называется диамет

ром	параболы. Диаметр, проходящий		через сере
дины параллельных хорд данного направления,
условимся называть		сопряженным хордам этого		Рис.	64.
направления. Как видно из уравнения (34), все

диаметры параболы		параллельны оси	Ох (оси симметрии параболы) (рис. 64).
Ось Ох (ось симметрии параболы),			в отличие от остальных диаметров пара
болы,	является диаметром, перпендикулярным к сопряженным				ему хордам.
и		Такой диаметр называют главным диаметром па
		раболы.

§ 15.. Касательная. Рассмотрим точку М (х0, уJ на коническом сечении (эллипсе, гиперболе или параболе) и проведем через нее секущую ММХ (рис. 65). Эта секущая пересекает коническое се чение в двух точках: М и Mt. Оставляя точку М неподвижной, заставим вторую точку пересечения Af, неограниченно приближаться к точке М, сле-

+~х дуя по коническому сечению. При этом секущая ММХбудет вращаться около точки Л4,и то предельное положение, которое займет секущая, когда точка Mt сольется с М, называется касательной к ко

ническому сечению в точке М. Точка Af называется точкой прикосновения.

Уравнение касательной как прямой, проходящей через точку М (х0, у0), будет (гл. III, § 9)

y — y9 = k ( x — xQ),

(35)

где k есть узловой коэффициент касательной в точке Af, подлежащий опреде лению. Чтобы определить к, обозначим координаты точки через x0-{-h, «/„4-/; тогда угловой коэффициент секущей ММХ как прямой, проходящей

через две	точки	М (xf,	у0)	и Л4, (хв + Л, Уо + l),	будет	(гл. III, § 12).
*) хг — ххФ 0,		так как		рассматриваемые хорды	имеют	угловой коэффи
циент к и,	следовательно^		не параллельны оси Оу.

96	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
Угловой	же коэффициент k касательной будет пределом-^, когда h	стремится

к нулю (точка Мх стремится к точке М), т. е.

k = lim JL.

А0 «

Так как Л и / суть приращения соответственно абсциссы и ординаты точки М конического сечения, то k является пределом отношения приращения ординаты (функции) к приращению абсциссы (независимого переменного), когда это по следнее стремится к нулю. Из дифференциального исчисления известно, что такой предел есть производная от ординаты у по абсциссе х, взятая для точки

М(х„, у„), т. е.

k z

где значок 0

указывает,

что

значение

производной

нужно

брать для точки

(JC0, Уо) Зависимость же функции у

от

независимого

переменного х задается

уравнением конического сечения.

х*

и*

П р и м е р

Составить

уравнение

касательной

к эллипсу

в точке (х0, £/0).

уравнение эллипса, получим:

Дифференцируя

dx +

dy = 0,

откуда dx

а2 у*

Следовательно,

— ^ 5 ;

Уравнение

касательной

будет

Ъгх* .

Умножая; на р * . получим:

УУо

Уо __

. Х1

хх0 .

уу0_

*о .

У\

Ьг

а2

а2 *

а*

Ьг

а*

Ь2

Так как точка (х0, у0) лежит на эллипсе, то правая часть последнего

уравнения равна 1,

и уравнение касательной примет вид:

■ ^

а2

Ь2

х2

у2

П р и м е р

уравнение

касательной к

Составить

гиперболе -^- — р -

в точке (дс0, i/o).

Аналогично примеру 1

получим уравнение касательной

к гиперболе в виде:

хъ>__УУо_\

а2

Ъ2 ”

’Посмотрим, во'что-обратится; уравнение касательной . к гиперболе, если, .точка (х0> у 0) удалится в бесконечность. Перепишем уравнение касательной в виде:

Ь1

У =

У о

§ 151	КАСАТЕЛЬНАЯ			97
и заметим, что (дг„ у0) удовлетворяет условию
о	,	"о	и	, а
7 F - F	= 1> откула 7 =		F	+ 7 ‘

Заставляя теперь точку (х0, #0) удаляться в бесконечность, следуя по гипер боле, получим, переходя к пределу в последнем равенстве:

ИтёГ=Й’ЙЛИ[Umj]1=S’откуда

Уравнение касательной в пределе примет вид:

		Ьг	(	а \		Ь
		У=* 7 Г [ - Т ) Х'				или У = - Т	х-
Это суть	уравнения двух		асимптот		гиперболы. Таким образом,			когда точка
касания	удаляется	в бесконечность, к<асательная стремится к						положению
асимптоты гиперболы.				' "	'	касательной	к параболе у2 = 2рх
П р и м е р 3.		Составить		уравнение
в точке (х0, ус).
Дифференцируя		уравнение параболы,				найдем:

2у dy = 2р dx%или ^ = — .

Следовательно, k = — , и уравнение касательной будет

Уй

У-y„= j (*-*.)>

или, умножая на у09

УУо-У0= РХ - рХг

Так как точка (дс0, у0) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы у* = 2рх0. Заменяя в уравнении касательной у* его зна чением, найдем:

УУо = Рх +Р*<» или */!/о = Р (*+*<»)•

Угловой коэффициент касательной в точке М0(х0, у0) конического сечения

(эллипса,	гиперболы, параболы)		возможно определить, не применяя дифферен
циального	исчисления.	С этой	целью заметим, что направление касательной
к коническому сечению		в точке М0 совпадает с направлением хорд, сопряжен

ных диаметру, проходящему через точку М0. Следовательно, из условия сопря женности (23') в случае эллипса получим угловой коэффициент £, касательной

в точке М0, если заменим в нем-&2 угловым коэффициентом диаметра, ПрОХО- jv

дящего через точку. Мс; заметив, что /?2 = — , получим:

‘«*0

Аналогично для гиперболы из условия (26') найдем угловой коэффициент каса тельной к ней в точке Afj, (х0,-у0):

k - bix°

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

[ГЛ. IV

Наконец, в случае параболы угловой коэффициент k касательной в точке Мш определится из условия прохождения ее диаметра, имеющего уравнение (34)

# = -£-, через точку Мш, т. е. у0 = -£-, откуда

*= £ .

у.

§16. Эллипс как проекция окружности. Пусть дан эллипс своим каноническим уравнением

£ + S = i ( « > * ) .

Рассмотрим уравнение окружности

а* I а * ~

описанной около эллипса (рис. 66).

Назовем две точки М х и Ж2, лежащие соответственно на эллипсе и

Окружности, соответствующими точками, если они имеют одну и ту же

абсциссу и лежат ло одну	и ту	же сторо
ну от оси О х. Обозначая	их	общую аб-

сциссу вел О Р = х и ординаты — велЯЖ1 — у и вел Р М г = К, имеем:

а г ~ Ьг ’ а* ~ а*

Сравнив два последних уравнения, заклю чаем, что

£ .— Х1
Ьг	а* »

или, разрешив это уравнение относительно у*э получаем:

откуда окончательно

У = т г '

Так как — <^1, то мы вправе положить

—-== cos ф,

и зависимость между ординатами соответствующих точек предста вится в виде:

у = у cos ф.

УПРАЖНЕНИЯ

$ 9

Последняя формула показывает, что величина у

направленного от

резка

РМХ может

быть

рассматриваема

как

проекция направленного

отрезка

РМЪ(рис. 67), если угол между

РМХи РМг принять равным ф.

Отсюда следует, что если поме

стить

окружность

в плоскости,

накло

ненной

к плоскости эллипса под уг

лом ф, то эллипс будет являться

ортогональной

проекцией

этой

окруж

ности

(рис. 67).

§ 17. Параметрические уравне-

Рис. 67.

пия

эллипса.

Сохраняя обозначения

рис. 66 предыдущего параграфа, напомним,

что

координаты

соот

ветствующих точек Мх(л:, у) и Мг (X, Y) эллипса и окружности

свя

заны

соотношениями:

х =

Х,

(36)

У=

ь_

Так

как

параметрические

уравнения

окружности

имеют

вид

(гл.

II,

§ 5):

X = a c o s t,

)

Y = a s in tt

то,

заменяя в

(36)

X и

К их выражениями через параметр

/, получим

x = a c o s t ,

y = ± a sint,

или

окончательно

X =

CL COS t y

у === Ьsin t.

Это

есть параметрические уравнения эллипса.

Упражнения

О к р у ж н о с т ь

1. Написать уравнение окружности, зная, что:

и радиус ее

равен

3 еди

а) центр окружности лежит в точке (— 2 , - 3 )

ницам длины;

и окружность

проходит через точку

(5, 1);

б) центр лежит в точке (2, — 3)

в) концы одного из диаметров имеют координаты (3,

9) и (7,

3).

2*. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (9, 3), (— 3,3),

(11, 1).

100	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
	3*. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения
	Ах2 Ц- Вху -{- Суг +	Dx -f- Еу + F = 0,

чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (3, 2)?

4*. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой

уравнением:

а)

хг + уг — Ах -f* 2y -j- 1 = 0 ;

б) 2хг + 2уг +

5х — Зу — 2 = 0;

в) х* -f- у* —: 6х — 7 = 0;

г) хг -f- уг +

Зу = 0.

5. Найти уравнение окружности, касающейся

осей

координат

на расстоя

ниях а единиц of начала координат.

касающейся

оси Оу в начале координат

6. Найти

уравнение окружности,

и пересекающей ось Ох в точке (6, 0).

касающейся

оси

Ох в начале координат

7. Найти уравнение окружности,

и пересекающей ось Оу в точке (0, — 8).

оси Ох в точке (— 5,

0) и

8. Найти

уравнение окружности,

касающейся

имеющей радиус, равный 3 единицам длины.

лежит

в точке (4,

9*. Найти уравнение окружности,

центр которой

которая касается прямой Зх — 4^ -f—1 = 0.

(# — Ь)г =

гг

10*. Вывести уравнение касательной

к окружности (х — а)2 +

в точке (х0, у0).

к окружности хг -{-у* = г*

в точке

11. Составить уравнение касательной

(««о» Уо)«

(f/ — 3)* =

12. Написать уравнение касательной к окружности (x-f- l)* +

в точке (3, 6).

к окружности хг -\-уг = 1 0 ,

прохо

13*. Найти уравнения касательных

дящих через точку (— 5, — 5).

окружности х*4-^, =

проходящих

14. Найти уравнения касательных

через точку {— 7,1);

хг -\-уг= \3*

параллельные

15*. а) Найти касательные к окружности

прямой 4х +

6^ — 5 =

0. б) Найти касательные к окружности х8 +

^ +

5х =

перпендикулярные к прямой 4х — Зу +

7 = 0.

8) к окруж

16*. Найти длину (d) касательной,

проведенной из точки М (7,

ности (х — 2)г + (у — 3)* = 14.

и В(2, 0). Найти геометрическое место точек,

17.

а) Даны точки А (— 6, 0)

из которых

отрезки

ОА и ОВ видны

под равными углами, б) Все хорды ON

окружности

x*-f-pa =

2ajc, проведенные

из начала координат,

продолжены за

точку N на расстояние N M = ON . Найти геометрическое место точек М.

Эл л и п с

18.Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) полуоси его равны соответственно 5 и 4;

б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10; в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6; г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,6; д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8;

е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;

ж) сумма полуосей равна 10			и расстояние между		фокусами равно 4
19. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса,-
заданного уравнением:
	а)	16х* + 25^* =	400, б) 9х* +	^ =	36.
20. Определить эксцентриситет эллипса, если:
а)	отрезок,	соединяющий	его. фокусы*	виден	из конца малой оси под
прямым углом;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги