книги / Аналитическая геометрия.-1

оси /. Проекции этого отрезка на оси координат (они, очевидно,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любой оси равна 1. Найдем выражение для косинуса угла между двумя осями. Рас­

смотрим две оси /, и /: , проходящие через начало координат (рис. 93);

проекция ломаной равна проекции замыкающего отрезка, то np OPSM=

В случае, когда речь будет идти о направляющих косинусах прямой, мы будем понимать под ними направляющие косинусы той оси, кото­ рая получится, если на данной прямой выбрать за положительное то или иное из двух возможных направлений. Очевидно, при замене

11.Отрезок А В делится точкой С в отношении 5:2. Точки Л и С имеют соответсгвенно координаты (3, 7, 4) и (8, 2, 3). Найти координаты точки В .

12.Две системы координат имеют одинаковые направления осей, но разные начала. Зная, что одна и та же точка определяется относительно этих систем

координатами (1, 1, 1), (7, 3 ,- 5 ), найти координаты середины отрезка между началами этих систем.

13.Существует ли луч, образующий с осями координат углы (45*, 45е, 60°)?

14.Луч ОМ образует с осями координат равные острые углы. Найти направляющие косинусы этого луча.

15.Луч ОМ образует с отрицательной полуосью Ох и с положительными полуосями Оу и Ог равные острые углы. Найти направляющие косинусы этого луча.

16.Найти направляющие косинусы прямой, проходящей через начало координат и через точку (2, — 2, — 1).

17.Найти направляющие косинусы прямой, проходящей через начало координат и через точку (а, а, а).

18.Найти величину и направление силы, проекции которой на оси коорди­

нат соответственно равны: X — — 6, Y = — 2, Z = 9.

19. Аппликата г некоторой точки А положительна; отрезок ОА имеет длину г = 6 и образует с осью Ох угол в 60° и с осью Оу угол в 45°. Найтц угол этого отрезка с осью Ог и координаты точки А.

20. Точка А имеет координаты х=15, у = 8 и z < 0; отрезок ОА образует с осью Ох угол в 30®. Найти длину этого отрезка, его направляющие косинусы

23.Найти расстояние между точками А (—2, 2, 5) и В (2, — 1, 5) и направ­ ляющие косинусы прямой, их соединяющей.

24.Найти угол между биссектрисами углов хОу и уОг.

Г ЛАВА II ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

гой стороны, такие величины, как сила, скорость, ускорение и т. д., становятся определенными только тогда, когда известно, каковы их числовые значения и направления в пространстве. Величины первого рода называются скалярными, или, короче; скалярами. Величины второго рода называются векторными.

Всякую векторную величину геометрически мы можем изобразить с помощью отрезка определенной длины и определенного направления, если длину отрезка при выбранной единице масштаба примем равной

3) векторы направлены в одну сторону.

Следует различать начало и конец вектора. Поменяв их местами, мы получим уже другой вектор (направленный противоположно первому). Из определения равенства векторов следует, что при парал­ лельном переносе вектора получается вектор, равный исходному.

теперь, установив понятие равенства направленных отрезков-векторов,. мы будем производить с ними д ействия по определенным правилам, рассматриваемым в векторной алгебре.

§ 2J СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 165

векторы исходящими из этой точки. В таком случае мы будем говорить, что векторы приведены к общему началу О.

вектор, идущий из точки О в точку Ж, мы будем обозначать двумя

буквы А В . Длина вектора, называемая также модулем или скаляром вектора, обозначается теми же буквами, что и вектор, но без стрелки (или же если вектор обозначен одной буквой, то той же буквой, но напечатанной нежирно). Иногда длину вектора записывают при помощи

обычного в алгебре знака модуля: \А В \. Таким образом, А В = \ А В \

есть длина вектора А В , Ж = | М | — длина вектора М.

§ 2. Сложение векторов. Известные из механики законы сложения векторных величин (сил, ускорений, скоростей) служат основанием следующего определения сложения векторов. Суммой двух векторов

А а В называют такой третий вектор С, выходящий из их об­ щего начала, который служит диаго­ налью параллелограмма, сторонами кото­ рого являются слагаемые векторы (рис. 94), и обозначают:

Если два вектора А и В после приведения их к общему началу лежат на одной прямой, то сумма их С есть по определению вектор,

длина которого равна сумме длин слагаемых векторов и направление совпадает с направлением этих векторов, если последние одинаково направлены; если же слагаемые векторы направлены в разные стороны, то сумма их С есть вектор, длина которого равна разности длин слагаемых векторов и направление совпадает с направлением вектора, имеющего бблмиую длину. В случае равенства длин противоположно направленных векторов их сумма есть особый «вектор», длина кото­ рого равна нулю. Такой вектор называют нулевым вектором и обозна­ чают символом 0.

Посмотрим теперь, будет ли сложение векторов удовлетворять основным законам, которым подчиняется сложение чисел. Для сло­ жения чисел мы имеем два основных закона.

1.Закон переместительности:

аЬ= Ь— #,

т.е. сумма не зависит от порядка слагаемых.

2.Закон сочетательности:

а + + с) = (а + ь) + с.

т. е. чтобы прибавить сумму, можно прибавить последовательно каждое слагаемое.

Первый закон, очевидно, удовлетворяется, что непосредственно

Чтобы перейти ко второму закону (сочетательности), следует предварительно выяснить понятие суммы нескольких слагаемых.

С этой целью упростим сначала са­ мое построение суммы двух векто­ ров. Мы условились считать равны­ ми векторы, имеющие одинаковую длину, параллельные и одинаково направленные. В силу этого векторы

ОВ и АС (рис. 94) равны между собой.

це первого слагаемого строим вто­ рое слагаемое. Вектор, замыкающий эту ломаную, есть сумма. Начало его совпадает с началом первого сла­

гаемого, а конец — с концом второго.

Это правило треугольника нетрудно теперь распространить на любое число слагаемых. Пусть, например, требуется найти сумму трех векторов А, В и С:

A + B -f-C = D,

причем под их суммой мы будем подразумевать результат последова­

(A - f в ) -1- с = бЁ -\- Ш5= O D ,

но тому же вектору OD равна и сумма А + (В-(-С), так как

А + (В -f- С) = ОА 4 - A D = OD.

Итак, равенство (3) доказано.

нахождении суммы любого числа векторов можно складывать данные векторы в произвольном порядке.

Заметим, что по отношению к обычной сумме чисел существуют еще различные законы монотонности — о сравнительной величине слагаемых и суммы, как, например, сумма положительных слагаемых больше каждого из слагаемых. Все эти законы не имеют смысла для суммы век­ торов, потому что понятия «больше» и

«меньше» неприложимы к векторам.

§ 3. Вычитание векторов. Обычно выРнс. 98. читание определяется как действие, обрат­ ное сложению: по сумме и одному из слагае­

мых отыскивается другое слагаемое. Соответственно с этим разностью двух векторов А и В называется такой третий вектор С, что сумма В и С равна А:

А — В = С, если В4~С = А.

Изобразим на чертеже (рис. 98) данные векторы А и В направ­

ленными отрезками ОА и ОВ. Проведем из точки В в точку А вектор и обозначим его через С, тогда, очевидно, В -[-С = А, следовательно,

А — В = С.

Таким образом, чтобы из одного вектора вычесть другой, нужно отнести их к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора-вычитаемого в конечную точку вектора-умень­ шаемого.

То же действие можно произвести и иначе.

положные направления, будем называть противоположными векторами.

§ 41 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 1 6 9

Сумма их равна нулевому вектору:

О В + О В ,= 0.

Вектор ОВи противоположный вектору ОВу условимся обозначать

через ОВ. Так как О В = В и О/?, = — В, то указанное выше правило вычитания векторов можно сформулировать следующим образом: чтобы вычесть вектор В, нужно прибавить противопо­ ложный ему вектор (— В):

А— В==А + (— В).

§4. Умножение вектора на число. Складывая несколько равных векторов, т. е. повторяя вектор слагаемым несколько раз, мы при­ ходим к умножению его на положительное целое число. Согласно определению

где п есть число слагаемых векторов, равных А. Очевидно, произ­ ведение Ап будет вектором того же направления, что и множимое А, только длина вектора Ап будет больше длины вектора А в л раз.

Введем теперь понятие деления вектора на целое положительное число. Согласно определению

"если А = Вл. Отсюда вытекает, что оба вектора А и В имеют одно направление, но длина А вектора А в п раз больше длины В вектора В. Таким образом, при делении вектора на целое положительное число л направление его не меняется, а длина уменьшается в л раз.

После этого можно определить умножение вектора на положи-

тельную дробь Я = ~ , что значит умножить на р и разделить на

а также умножение вектора на иррациональное положительное число Я. Во всех случаях направление вектора остается без изменения, длина же умножается на Я. Наконец, если множитель Я— число отрицатель­

число:, при умножении вектора А на число Я длина вектора умножается на |Я|, а направление сохраняется прежним при

А мы будем обычно записывать в форме АА. По отношению к этому умножению имеет место распределительный закон, который символи­

меры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство

а а + а в = ас.

Последнее же равенство и выражает собой распределительный закон умножения, если заменить в нем С через А-}-В. Отметим еще, что

В самом деле, при умножении вектора А0 на число А направление вектора не изменится, а длина сделается равной А, т. е. мы получим как раз вектор А.

§ 5. Проекции вектора. Проекцией вектора АВ на ось назы­

вается длина отрезка аЬ этой оси, заключенного между проекци­ ями а и Ъ его начальной точки А и конечной точки В, взятая