Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 6J	УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ	41
Подставляя эги	значения х в ранее найденное выражение у, получим:
	0i = 5 и г/2 = — 3.
Следовательно,	данные линии имеют две точки пересечения (0, 5) и (—4,	—3).

§ 5. Параметрические уравнения линий. В некоторых случаях при составлении уравнения линии текущие координаты не связывают одним уравнением, а каждую координату в отдельности выражают в виде функции нового переменного, например t. Получают уравне ния вида

* =	Ф(Ч. \
=	I
Эти уравнения составляются	так, что

ствующие одному и тому же значению точки, лежащей на данной линии.

С изменением t меняются и коорди наты х и у, а следовательно, соответ ствующая нм точка перемещается по ли

нии. Уравнения			(6) называются параметри
ческими	уравнениями			линии, a t — пере
менным	параметром.
Если	из	уравнений		(6) исключить па
раметр		то	получим	уравнение между
х и у вида		F(x, у) =		0.

(6)

значения х н у , соответ- t, являются координатами

П р и м е р .	Составим параметрические урав
нения окружности		радиуса	R,	центр кото
рой лежит в начале		координат		(рис.	31). Лег	Рис. 31.
ко усмотреть,	что текущие координаты точки на
окружности являются функциями угла					ф, образо
ванного осью	Ох и	радиусом	окружности, проведенным в данную точку. По
этому примем угол		ф за переменный			параметр и выразим	через него текущие

координаты х и у. При любом положении точки М на окружности будут иметь

место равенства	Rcos ф,		Л
x =
У =	R sin ф		/
(гл. I, § 9).
Это и есть параметрические уравнения			окружност!# При желании из них
можно получить уравнение окружности		в форме, известной из предыдущего.
Для этого нужно исключить параметр ф.		Возводя обе части каждого из урав
нений в квадрат и складывая, получим:
x* + tf =		R \

§ 6. Уравнения линий в полярных координатах. Ранее мы рас сматривали уравнения линий в декартовых координатах, но аналогично можно говорить и об уравнениях линий в полярных координатах. Уравнением линии в полярной системе координат мы будем называть такое уравнение между переменными г и (р, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют

линии и их уравнения

[гл. и

координаты точек, не принадлежащих ей. Рассмотрим пример на на хождение уравнения данной линии в полярных координатах.

Пусть требуется найти уравнение окружности, проходящей через полюс, центр которой С лежит на полярной оси, а радиус равен а. Соединим отрезками прямой произвольную точку М окружности с полюсом и с конечной точкой D диаметра, проходящего через полюс (рис. 32). Координатами точки М будут угол <р и длина г отрезка ОМ. Припомним, что окружность есть геометрическое место вершин пря

мых углов, опирающихся на ее диа метр. Следовательно, треугольник OMD — прямоугольный.

Отсюда получаем:

				г — 2а cos ф.
		Это	и	есть	искомое		уравнение
		окружности*).
		Заметим,		что	вид	уравнения дан
Рис.	32.	ной линии		зависит		от	выбора по
		люса и полярной оси. Так, если мы
выберем полюс	в центре	окружности	радиуса с,		то	для	всех точек

окружности (и только для этих точек) полярный радиус будет иметь одно и то же значение г = а\ это равенство будет, следовательно, уравнением окружности радиуса а с центром в полюсе. Полярный угол ср в это уравнение не входит, оставаясь произвольным.

При исследовании формы линии на основании ее уравнения при ходится часто пользоваться полярными координатами. Это удобно делать всякий раз, когда уравнение линии в полярных координатах проще, чем в декартовых. ,В качестве примеров мы рассмотрим две линии, часто встречающиеся в приложениях.

П р и м е р 1. Линия, называемая спиралью Архимеда, определяется в по

лярных координатах уравнением

Г = Сф,

где а есть положительная постоянная. Чтобы начертить эту линию, будем да

вать ф произвольные значения и определять соответствующие значения г. При водимая таблица значений (г, ф), удовлетворяющих данному уравнению, пока зывает, что при возрастании угла ф в арифметической прогрессии с разностью

полярный радиус г возрастает тоже в арифметической прогрессии с раз

ностью а — . Кроме того, заметим, что всякой точке этой линии с положи

тельными координатами (г, ф) соответствует на этой же линии точка (— г, — ф),

*) При выводе этого уравнения г считалось положительным. Однако при некоторых значениях Ф из уравнения будут получаться отрицательные значе ния г. Тем не менее легко проверить, что и в этом случае получаемые точки лежат на той же окружноеги.

,§ 61

УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

т. е. спираль Архимеда расположена симметрично относительно прямой, прохо дящей^ через полюс перпендикулярно к полярной оси. На рис. 33 сплошной линией изображена ветвь, соответствующая положительным значениям <р, а пунк

тирной — отрицательным.

фг

яя

22 а

япа

Зя

т а

2я

2яа

Рис.

33.

П р и м е р

Линия,

определяемая в полярных координатах уравнением

где а и ft суть положительные постоянные,, называется

логарифмической

спиралью.

Чюбы начертить эту линию, будем давать <р произвольные значения и

определять соответствующие значения г. Приводимая здесь

таблица значений

(г,

<р), удовлетворяющих данному

уравнению, показывает,

что

при

возрастании

угла

ф в

арифметической

прогрес

<р

сии

с разностью

се

полярный радиус г возрастает в геомет

—

рической

прогрессии

со знаменателем еы^г. Когда

угол

— я

аг~/г1Г

неограниченно

возрастает,

то г тоже не

ограниченно

растет;

когда

угол ф стре

“~ Т

мится к отрицательной бесконечности, то

полярный радиус

стремится

к нулю

кривая

неограниченно

приближается

ае^ г

полюсу

О,

закручиваясь

около

него.

Поэтому

точка

О называется асимптоти

аеы

ческой точкой

логарифмической спирали

(рис. 34).

встречается

надобность

рис

Иногда

в переходе

от

уравнения линии в де

картовых координатах к

уравнению той же линии в

полярных коорди

натах или обратно. В таком случае следует применять формулы, свя

зывающие полярные и декартовы	координаты (гл. I, § 11).
П р и м е р . Уравнение окружности в полярных координатах
r =	2a cos ф
записать в декартовых координатах.

ЛИНИИ И ИХ

УРАВНЕНИЯ

[гл. И

Выражаем г

и cos ф через х

и у

г =

4" У2,

COS ф =

------- ■

i t

VX2

у2

Подставляя

эти

выражения

в данное уравнение,

после

упрощений

получим:

х* +

i f

— 2а х —

Упражнения

1*. Построить кривую,

заданную

уравнением

х 'у =

4аг (2а — у).

(Эта кри

вая носит название л о к о н а

А н ь е з и .)

г = 1 0 sin 2ф.

2*. Построить

кривую,

заданную

уравнением

(Эта

кривая

называется

чет ы рехлепеет ковой р о зо й .)

3. Построить кривые, заданные уравнениями:

а)

у = х*; б)

у =

х5; в) у = х*;

г) у =

х* +

2; д)

у =

-^-х* — 5;

е) у2 =

х*.

Построить кривые,

которым

полярных

координатах

соответствуют

уравнения:

а с о $ 2ф; г)

a) r= = a sin 3 9 ; б) г =

лсобЗф;

в) /' =

г = а(1 — cos ф).

Построить кривые, заданные в полярных координатах уравнениями:

а) г =

2 — cos ф; б) г =

3 — 2 sin 2ф;

в) г =

2 —- sin Зф.

6. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных

от начала координат и от точки А

(—5, 3).

Составить

уравнение

геометрического места точек, одинаково удален

ных от оси

О х и от точки F (0, 4). Построить кривую.

8. Определить траекторию точки М, которая движется гак, что ее расстоя

ние от точки А

(3,

0) остается вдвое

меньше

расстояния

от точки В

(—6, 0).

9.Определить траекторию точки М, кото

рая движется так,	что ее расстояние от точки
F (— 1, 0) остается	вдвое меньше расстояния от
прямой X— — 4.
10*. Найги уравнение геометрического ме

ста точек, произведение расстояний которых до двух данных точек Р и Q есть величина постоян ная, равная тг. Расстояние между Р и Q равно 2п. (Это геометрическое место точек называется

овалом	К а с с и н и . ) Построить эту линию.
11*. Овал		Кассини		(см. упражнение 10) для
случая,	когда	т =	п ,	называется л ем ниска т ой
Б е р н у л л и . Найти			уравнение лемнискаты: а) в

декартовых координатах и б) в полярных координатах. Построить эту кривую.

12*. Даны

прямая О х

и на расстоянии

а от нее точка А (рис. 35). Если

прямая

А В

будет

вращаться около, точки

Л,

то

точки

М х, лежащие на этой прямой и отсто

ящие от точки

В пересечения прямой

АВ с основ

ной прямой

О х

на

данное

расстояние

опишут

некоторую

линию.

Она

называется

к о н х о и д о й

Н и к о м е д а .

Найти уравнение конхоиды и постро

ить ее

для

случаев

а > b,

а = b

и а < Ь .

13*. Даны

прямая О у

и точка А

на расстоянии

а от нее (рис. 36). Вокруг точки

вращается

луч

А В и на нем в обе стороны от точки

(точки

пересе

чения	луча	с осью О у ) отложены переменные * отрезки		В М Х и В М 2, равные по
длине	О В .	При вращении луча	А В точки Л4, и М 2 описывают кривую, назы
ваемую ст ро ф о и д ой . Составить			уравнение этой кривой	и построить ее.

							УПРАЖНЕНИЯ				45
14*. Даны		окружность				диаметра		OD = 2a	и касательная	к	ней DE
(рис. 37). Через точку О,					диаметрально			противоположную точке/),			проведен
луч ОЕ и на нем отложен отрезок ОР,								равный отрезку BE, заключающемуся
между окружностью			и		касательной.
Если луч ОЕ будет вращаться							око
ло точки О, то точка				Р	опишет		кри
вую, называемую циссоидой Диокле-
са. Найти	уравнение			этой		кривой и
построить	ее.
15*. Даны окружность радиуса а и
на ней точка О (рис. 38). Если прямая
ОВ будет вращаться			около точки О, то
точки М х и М 2,		находящиеся на дан
ной прямой и отстоящие на данное рас
стояние т от точки В пересечения							пря
мой с окружностью,			опишут			кривую,
называемую улиткой Паскаля1). Найти									и построить ее.	(Кривые вы
уравнение	этой	кривой		в	полярных координатах				и построить ее.	(Кривые вы
чертить для случаев т >					2а, т=		2а и т	< 2а.)

16.Составить уравнение геометрического месга точек, равноудаленных от двух данных точек.

17.Две прямые вращаются вокруг двух неподвижных точек, оставаясь все время перпендикулярными друг к другу. Найти уравнение линии, описываемой точкой их пересечения.

18. Из точки М проведены к двум окружностям радиусов R н г две рав ные касательные. Найти уравнение геометрического места точек М при усло

вии, что расстояние между центрами окружностей равно 2d.

19.Отрезок постоянной длины 2а скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла на этот отрезок опущен перпенди куляр ОМ. Найти уравнение геометрического места оснований этих перпенди куляров в полярных координатах и построить эту линию.

20.Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний кото

рых от сторон квадрата равна постоянной величине.

21. Написать уравнение циссоиды х9 = у2(2а — х) в полярных координатах.


22. Написать уравнения кривых:
а)	г =	т -f- 2а cos <р (улитка Паскаля);
б)	r =	a sin 2<p (четырехлепестковая		роза)
в декартовых координатах.
23*. Круг		радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс. Найти пара
метрические уравнения линии,			описываемой	при указанном движении той точ
кой окружности, которая при			начальном	положении окружности находилась

вначале координат.

24.Тело брошено вверх со скоростью v под углом а к горизонту. Найти,

пренебрегая сопротивлением воздуха, параметрические уравнения траектории тела (за параметр принять время).

*) Для частного случая, когда т = 2 а , эта линия называется кар д и ои д ой .

Г Л А В А Ш

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 1. Угловой коэффициент прямой. В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойство, характеризующее точки рас сматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между теку щими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии.

Вэтой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий. Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах,

нужно каким-то образом	задать условия,		определяющие положение
ее относительно координатных		осей.
Предварительно мы	введем	понятие	об угловом коэффициенте

прямой, который является одной из величин, характеризующих поло

жение прямой	на плоскости.
Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот					угол,	на	который
нужно повернуть ось Олт, чтобы		она	совпала	с данной		прямой (или
оказалась параллельной ей). Как		обычно, угол		будем рассматривать
с учетом знака	(знак определяется		направлением		поворота:		против

или	по	часовой стрелке). Так как			добавочный	поворот	оси	Ох на
угол	в	180° снова совместит ее с			прямой, то угол наклона			прямой
			1>		У
			1>
			/ ф \
		0	------ /	—1-------
		0	/		0	X	5
			/		0

			г Рис.	39.	Рис.	40.

к оси Ох может быть выбран не однозначно (с точностью до сла гаемого, кратного я). Тангенс этого угла определяется однозначно (так как изменение угла на* я не меняет его тангенса).

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.

§ 2J

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Оху не имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует).

§ 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Рас

смотрим

прямую

линию,

не

параллельную оси ординат. Положение

ее на плоскости будет вполне определено,

если

задать

угол

наклона

прямой

оси

абсцисс >:и

величину

отрезка,

отсекаемого

ею

на

оси

ординат,

т. е.

величину направ

ленного

отрезка

оси ординат,

началом

ко-*

торого является начало координат, а кон

цом— точка

пересечения

прямой с осью Оу.

Обозначим угол

наклона

прямой

оси

Ох через q>, а величину отрезка 05, от

секаемого

прямой на оси Оу, через

Ь.

Пусть

М (ху у ) — произвольная

точка

пря

мой

(рис.

41).

Когда точка

М движется

по

прямой,

то

ее координаты

х и у,

изме

няясь, остаются все время связанными между собой некоторым условием. Посмотрим, каково это условие.

Рассмотрим направленный отрезок ВМ. Зная координаты его начала и конца

5 (0 , Ь\ М (х, у)}

выразим проекции его на оси координат (гл. 1, § 9)

прх В М = х ,

пру В М = у ^ Ь .

Тогда по формуле (16) гл. I, §’9 получим: { 1>ърЛЛЛ!Щ(ЛМ

Отсюда	или y =	x tg q -\-b
у — b = x tgq),	или y =	x tg q -\-b
и окончательно
y =	kx-{-b ,	0 )
где /5= tgq>.

4 8

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[гл.

III

Этому уравнению удовлетворяют лишь координаты

точки рас

сматриваемой прямой; оно нарушается, если точка не лежит

на

прямой. Таким образом, полученное уравнение

(1)

является

уравне

нием

заданной прямой

линии.

уравнением

прямой

Уравнение

прямой

вида

(1)

называется

с угловым коэффициентом.

Уравнение (1) мы получили, считая,

что

прямая

не

параллельна

оси Оу. Посмотрим теперь, какое уравнение

будет иметь

прямая,

параллельная оси Оу.

Пусть а — абсцисса

точки

пересечения этой

прямой

с осью

Ох

(рис.

42). Очевидно, любая

точка

прямой имеет абсциссу, равную а;

если же точка не лежит на прямой, то абс

цисса

ее

будет отлична

от

а.

Следовательно,

эта прямая имеет

уравнение

х =

а.

(2)

Итак, если прямая не параллельна оси

Оу,

то ее уравнение может быть

записано

форме ( 1), если

же

прямая

параллельна

оси

Оу,

то ее

уравнениеможет,

быть

записано

форме

(2). Так какуравнения

(1)

и (2)

яв

ляются уравнениями первой степени относи

тельно переменных х и у , то тем

самым

мы

доказали,

что

декартовой

системе

координат

всякая

прямая может быть пред

ставлена уравнением

первой

степени.

частности,

если

прямая

проходит

через

начало

координат,

то

^ =

уравнение

такой прямой

будет

иметь

вид;

y =

kx.

(3)

Если

прямая

параллельна

оси

Ох,

то

угловой

коэффициент

ее

/е=

0, и

уравнение

прямой будет

У =

Ь.

(4)

П р и м е р .

Составить

уравнение

прямой

линии, отсекающей на оси орди

нат отрезок, величина которого равна — 2, и

наклоненной

оси

абсцисс

под

углом

в 45°.

— 2 и & =

Здесь

Ь =

tg45° =

r7 Следовательно, искомое

уравнение

У= х — 2.

§3. Геометрический смысл уравнения первой степени между


двумя переменными.					В предыдущем			параграфе	было показано, что
в декартовой		системе			координат		всякая прямая		может быть пред
ставлена	уравнением			первой		степени.		Естественно		теперь поставить
обратный	вопрос:		всякое ли			уравнение первой степени относительно
переменных х		и	у		определяет		прямую? Чтобы			ответить на этот

§ 3]	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ	49
вопрос,	рассмотрим уравнение первой степени общего вида и выясним,

каково геометрическое место тех точек плоскости, координаты (*, у) которых удовлетворяют этому уравнению. Мы покажем, что иско

мым геометрическим местом точек является прямая линия.

Общее

уравнение первой

степени

относительно

х и у

имеет вид:

Ах — By —|—С*=

(о)

Здесь

А, В и С — произвольные числа; при

этом,

конечно,

коэффи

циенты А и В при переменных не

могут

быть

одновременно

равны

нулю

(иначе

уравнение

(5)

не содержало

бы

переменных

и у п

не было бы уравнением).

(предполагая, что В^=0).

Разрешим

уравнение

(5)

относительно у

Получим:

или, вводя

обозначения---- — = k

и — — = ЬУ

y = kx -\-b .

(1)

Но мы видели в предыдущем параграфе, что уравнение (1)

является уравнением прямой

линии, имеющей угловой коэффициент к

и отсекающей на оси ординат отрезок величиной Ь,

Наши рассуждения мы проводили в предположении,

что

коэффи

циент

уравнении

(5)

отличен

от

нуля.

Если

же

В = 0, то

уравнение

(5)

имеет вид:

А х - \- С = 0.

В таком случае, решая это уравнение

относительно

х у

получим:

или, вводя

обозначение

— — = а,

х =

а.

(2)

Но мы уже видели ранее (§ 2), что уравнение (2)

является

уравнением прямой линии, параллельной оси Оу.

Таким

образом, вопрос, поставленный

начале

этого

параграфа,

решен: мы показали, что всякое уравнение первой степени отно сительно текущих координат определяет прямую линию. В соот ветствии с этим уравнение (5) называется общим уравнением прямой.

Подводя итог изложенному в §§ 1 и 2 этой главы, мы можем сказать, что прямая линия, и только она, может быть представлена в декартовой системе координат уравнением первой степени отно сительно текущих координат х н у .

50	ПРЯМАЯ ЛИНИЯ	[г л .	Ш
З а м е ч а н и е . Для приведения уравнения первой степени к виду (1)
нужно	решить его относительно у . Тогда коэффициент	при	х
в таком	уравнении будет угловым коэффициентом прямой,	а сво
бодный	член будет давать величину отрезка, отсекаемого	прямой

на оси ординат. Этот вид уравнения прямой особенно важен. Из

изложенного следует, что графиком линейной функции

от

я,

т. е.

многочлена первой

степени

относительно

лг,

является прямая

линия,

и обратно,

если графиком

некоторой функции

от

является

прямая

линия, то эта функция может быть записана в

виде

многочлена

первой

степени

от

лг.

Отсюда происходит

название: линейная

функ

ция («прямолинейная»).

П р и м е р .

Написать

уравнение

угловым

коэффициентом

для

прямой

линии, заданной

уравнением 2

х 3//- f 7 = Q.

Разрешив данное уравнение относительно у ,

получим:

Отсюда

следует,

что

угловой

коэффициент

прямой

k =

— у ,

а величина

отрезка,

—

отсекаемого ею на оси ординат, о =

j .

§ 4.

Исследование

общего

уравнения

первой

степени

Ллг +

4 “ в у "(“ с =

о.

Как

мы видели,

общее

уравнение

первой

степени

Ах —|—By — С =

(5)

определяет прямую

линию.

Посмотрим,

какое

положение

занимает

эта прямая линия по отношению

координатным

осям,

когда

один

или два

коэффициента

уравнения

(5) обращаются

нуль.

1. С = 0 .

этом случае

уравнение

(5)

имеет

вид:

Ах -{- By = 0

иопределяет прямую, проходящую через начало координат, так чсак

это	уравнение удовлетворяется при	х = у = 0.
	2. >4 = 0. Уравнение (5) имеет	вид:
или	Ву + С = 0,
или	У = ь,
где	У = ь,
где	обозначено

В •

Для всех точек такой прямой «линии ордината у имеет постоянное значение, т. е. прямая линия расположена параллельно оси Ох на расстоянии от нее, равном \Ь\ (выше оси Ох, если b — число поло жительное, и ниже оси, если b — число отрицательное).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги