Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	УПРАЖНЕНИЯ	101
б)	расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой
и малой осей;
в) его большая ось втрое больше малой;
г)	его оси относятся, как 5:3.

21.Дан эксцентриситет эллипса е. Найти отношение его полуосей. Как величина эксцентриситета характеризует форму эллипса?

22.Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его нахо

дится в точке	(5, 0). Составить уравнение эллипса,						зная, что эксцентриситет
его равен 0, 6.
23. Эллипс	касается	оси	абсцисс в точке (8, 0)				и оси ординат в точке
(0, — 5). Написать уравнение			эллипса,	если известно,			что оси его параллельны
осям координат.
24. Эллипс	касается	оси	ординат	в точке	(0,	5) и пересекает ось абсцисс
в точках (5, 0) и (11, 0). Составить уравнение					эллипса, если			известно,	что оси
его параллельны осям координат.
25. Сколько касательных			к эллйпсу		=	1 можно		провести	из точки

(1, 1), сколько из точки (3, 1) и сколько из точки (0, 2)?

26. Написать уравнение касательной к эллипсу gg + y j j ” * в^точке (—3,3).

X* • ц*

27. Известно, что прямая 2х — Ъу— 30 = 0 касается эллипса ^ +

Найти точку касания.

28*. Найти уравнения касательных, проведенных из точки (4, — 1) к эллипсу

29.				х*	и*	1,	проходящие		через	точку
	Найти касательные к эллипсу -д- +				-^- =
( - 3 , 1).					х*	ы*				•
30*.	Найти	касательные	к	эллипсу			= 1,
								параллельные прямой
6х — 2у — 5 = 0.				х*	w*
31.						Ь	перпендикулярные .к			пря
	Найти касательные к эллипсу —				=
мой х — у 4 - 5 = 0 .						х*	и*
								= 1.
32. Написать уравнения директрис эллипса ^ + ^
33.	Написать	уравнение	эллипса, малая			полуось		которого	равна	2 \|/1 Г
и директрисами которого служат				прямые x = i£ 1Q.			'

34.Найти уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого рав няется 2 и расстояние между директрисами 10.

35.Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между, его директрисами

втри раза больше расстояния между фокусами.

36.Расстояние между директрисами эллипса равняется 36; Найти уравнение этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15.

37.Расстояние между фокусами эллипса ра!вно 8, расстояние между его

директрисами		равно 12,5. Найти простейшее уравнение этого эллипса.
38*. Дан		хг		l.	Через точку	(1, .1)	провести	хорду,	деля
		эллипс : g - + ~ =
щуюся в этой точке пополам.
39.	Дан	х*	иг	1.	Через точку	(2; —^1)	провести	хорду,	деля
		эллипс -g- +	у =
щуюся	в этой точке пополам.

102	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ	ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ				[ГЛ. IV
40. Найти длину диаметра		JC*	I/*	— 1* направленного по биссек-
40. Найти длину диаметра		эллипса §4	+	— 1* направленного по биссек-
трисе второго	координатного угла.			У \
41*. Доказать, что касательные к эллипсу				У \	1, проведенные в кон
41*. Доказать, что касательные к эллипсу				—	1, проведенные в кон

цах одного и того же диаметра, параллельны.

у *

42. Найти уравнения диаметров эллипса х2+ ^ г - = 1, длины которых равны

2 У 5.

43. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса

-g- + -g- = 1, из которых один наклонен к большой оси под углом в 30°.

44. Найти для	X2	М*
	эллипса -g- + ^- = 1 направления и длины двух сопряжен
ных диаметров, из	которых один	проходит через точку (4, 2).	у®
		х2
45. Определить длины сопряженных диаметров эллипса			1» ко*
торые образуют между собой угол в 60е.			х2 у*
46*. Найти уравнения равных сопряженных диаметров эллипса
			= 1-
47. Написать уравнения двух		равных сопряженных диаметров эллипса

Х1	+ У± = 1.
1	‘ 9

48. Найти угол между двумя . равными сопряженными диаметрами эллипса

£ + £ = 1 .

6 ‘ 2

. 49*. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М, лежащей на этом отрезке.

50.

х2

у®

Найти простейшее полярное уравнение эллипса ■д" +

'4‘ = ^

Г и п е р б о л а

5 t. Составить

простейшее уравнение гиперболы,

зная,

что:

а) полуоси ее равны соответственно 5 и 4 единицам длины;

б)

' расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12;

в) действительная

полуось

равна 5

и эксцентриситет

равен

1,4;

г) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен

д) действительная

полуось

равна 1^15

и гипербола

проходит через точку

(5»

2);

(2 у 7, — 3)

у 2).

е)

гипербола проходит

через точки

и ( - 7 , - 6

52.

Найти длины

осей,

координаты

фокусов и эксцентриситет гиперболы,

заданной уравнением:

а)

25х2 -

144у2 = 3600,

б) 16уг -

9х2=

144.

53. а) Найти зависимость между эксцентриситетом гиперболы и углом между ее асимптотами; б) выразить отношение полуосей гиперболы через эксцентриситет. Как влияет величина эксцентриситета на форму гиперболы?

	УПРАЖНЕНИЯ	103
**	у*	длина кото
54*. Дана гипербола — —	g - = l . Найти уравнение диаметра,	длина кото
рого равна 2 У"29.

55. На гиперболе y g — * g -= l взята точка, абсцисса которой равна 8 и

ордината положительна. Вычислить фокальные радиусы этой точки.

у?

56. Дан эллипс * g -- f - ^ - = l. Найти уравнение гиперболы, вершины кото

рой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

57. Найти касательные к гиперболе — ~ = 1 в точках пересечения ее

с прямой Зх — 5г/ = 0.

58. Найти касательные к гиперболе

— — — = 1 ,

проходящие через точку

(2. 1).

59.

Найти

касательные

к гиперболе ~

— т? - =1, параллельные прямой

Зх — 2у = 0.

х*

Ы*

60.

Доказать,

что для

гиперболы

произведение

расстояний

- у — £ j =

от фокусов до касательной равно 6*.

61.

Доказать,

что асимптоты равнобочной гиперболы делят пополам углы

между ее сопряженными диаметрами.

62*.

1) Найти

отклонение фокуса

гиперболы

от асиш,тоты.

— | у = 1

2) Доказать,

что

произведение расстояний любой точки гиперболы до

асимптот есть величина постоянная.

63.

Даны фокальный параметр р и эксцентриситет 8 гиперболы. Найти

полуоси.

прямой х — у — 3 =

64.

Гипербола

касается

в точке (5,

2).

Составить

уравнение этой

гиперболы.

X* U*

65.Найти касательные к гиперболе — -^* = 1» пеРпендикУляРные # ПРЯ* мой х + 2у — 3 = 0.

66.Найти уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директри сами равно 6, а расстояние между фокусами 10.

67.Найти эксцентриситет гиперболы, если известно, что расстояние между

еедиректрисами в три раза меньше расстояния между фокусами.

х*

68. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы — j»== 1,

угол между которыми равен 45®.

69. Найти уравнения диаметров гиперболы х*.— £4_= 1, длина которых

равна	2 У б .			х*	ц*
						Написать	уравнения асимптот.
70.		Дана	гипербола	--—	f j £ = l .
				У	Zо
71.		Найти уравнение гиперболы, если известно, что:
а) а=-Ь			и директрисы даны уравнениями х = ± 2 ;
б)		асимптоты даны уравнениями				у = ^ ^ х	и расстояние между фокусами
равно	10;

10Ф	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ		КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
	ч	у =	3	проходит через
	в) асимптоты даны уравнениями	у =	± —х и гипербола	проходит через

точку (10, — 3 / З ) .

72.Даны точки А (— 1,0) и В (2, 0). Точка М движется так, что в тре угольнике АМВ угол В остается вдвое больше угла А. Определить траекторию движения.

73.Две прямые вращаются около двух неподвижных точек в противо положных направлениях и с одинаковой угловой скоростью. При начале дви

жения одна из этих прямых совпадает с прямой,		соединяющей данные точки,
а другая перпендикулярна к этой прямой. Найти		геометрическое место точек
пересечения этих	прямых.
74. Составить	уравнение касательной к гиперболе ху = т в точке (х0, у0).

Па р а б о л а

75.Составить уравнение параболы, зная, что:


а) осью симметрии			параболы	служит		ось Ох, вершина лежит в начале
координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины;
б)	парабола	симметрична относительно				оси		Ох,	проходит через	точку
(2, — 4) и вершина ее			лежит в начале координат;					Ох,
в) парабола		симметрична относительно				оси			проходит через	точку
(— 2,	4) и вершина ее		лежит в начале координат;
г) парабола симметрична относительно оси Оу,								фокус лежит в точке (0, 3)
и вершина совпадает с началом координат;
д) парабола симметрична относительно оси Оу,								проходит через точку		(4, 2)
и вершина ее лежит в начале координат;								Оу,
е) парабола		симметрична относительно				оси			проходит через	точку
(— 4,	— 2) и вершина		совпадает с	началом координат;
ж) фокус имеет координаты (3, 0), директриса служит осью ординат и ось
симметрии — осью абсцисс;
з) фокус имеет координаты (0, 3), директриса								служит осью абсцисс		и ось
симметрии — осью ординат.					зная,		что вершина ее лежит в точке
76. Составить		уравнение параболы,
(а, Ь), параметр равен р и направление оси симметрии совпадает:
а) с положительным направлением оси Ох;
б) с отрицательным направлением оси Ох;
в) с положительным направлением оси Оу;
г) с отрицательным направлением оси Оу.
77. Составить		уравнение параболы,			зная,		что	вершина ее лежит в начале

координат, направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением

оси Ох,	а параметр р		равен	расстоянию	от фокусов гиперболы 4х* — 9уг —
— 36 =	0 до асимптот.			параболы,	зная, что вершина ее лежит в точке
78. Составить уравнение
(— 2, 1),		направление оси симметрии совпадает с отрицательным				направлением
оси Оу,	а	параметр р	равен	расстоянию	между директрисами	эллипса Зх* +

+4 ^ — 48 = 0.

79.Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы уг = 2рх и

перпендикулярной к ее оси симметрии.

80*. Дана парабола уг = 6х. Через точку (4, 1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам.

81.Дана парабола уг = — 8х. Через точку (— 1, 1) провести такую хорду, которая в этой точке делилась бы пополам.

82.Найти уравнения диаметров параболы у1 = 8х, сопряженных с хордами,

наклоненными к ним под углом в 45°.

		УПРАЖНЕНИЯ		1 0 5
83.	Дана парабола =	10кг. Найти к этой параболе касательные в точках,
в которых она пересекается		с прямой у = 4 х — 5.
84.	Найти такую точку на параболе ^/*=12д;, чтобы касательная в ней
образовывала с осью симметрии параболы угол в 30°.
85.	Найти касательные к параболе у2 = 4х, проходящие через то^ку (3, — 4).
86.	Найти уравнение касательной к параболе у*==16х, которая была бы:
а) параллельна прямой		2х— £/ -f- 5 = 0;	б) перпендикулярна	к прямой
х — у — 7 = 0.
87.	Найти геометрическое месго центров		кругов, проходящих* через данную

точку и касающихся данной прямой.

ГЛАВА V

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

§ 1. Задача преобразования координат. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат. Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат,

найти ее координаты в другой системе.

Ум

Эта задача будет разрешена, если мы ус тановим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, при чем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаи мное положение систем.

Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XOxY (рис. 68). Положе ние новой системы Х 0 1Y относительно старой

системы хОу будет определено, если известны координаты а и Ь

нового начала	Ov по старой		системе		и угол а между осями Ох и ОхХ .
Обозначим	через	х и	у	координаты		произвольной	точки		М
относительно	старой	системы,		через	X и	Y — координаты той			же
точки относительно новой системы. Наша задача заключается								в том,,
чтобы старые	координаты		х	и у	выразить через новые		X	и	К.

В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные а, b и а. Решение этой общей задачи\ мы получим из

рассмотрения двух Частных случаев.

1.Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (а = 0).

2.Меняются направления осей, начало же координат остается

неизменным (а = Ь = 0).

§ 2. Перенос начала координат. Пусть даны две системы декар товых координат с разными началами О и О, и одинаковыми направ лениями осей (рис. 69). Обозначим через а и b координаты нового начала Ог в старой системе и через х, у и X, Y — координаты про

§ 3J

ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ

107

извольной точки М соответственно в старой и новой системах. Про ектируя точку М на оси ОхХ и Оху а также точку О, на ось Ох, получим на оси Ох три точки О, Л и Я. Как известно (гл. I, § 1), величины отрезков ОАу АР и ОР связаны у следующим соотношением:

вел ОЛ +

вел Л Я = вел ОЯ.

(1)

Заметив,

что

вел

ОА — ау вел

ОЯ =

д:,

вел Л Я = вел ОхРх=

Х у перепишем равенст-

во (1) в

виде:

| _ ------

-------- _

а +

Х = х ,

или

х =

Х + а .

(2)

Аналогично,

проектируя

О,

на

ось

^динат,

получим:

(3)

Итак,

спирая

координата равна

новой плюс координама нового

начала по старой системе.

Из формул (2) и (3) новые координаты можно выразить через

старые:

Х = х — ау

(2')

Y===y — b.

(3')

§ 3.

Поворот

осей координат. Пусть даны две декартовы системы

координат с одинаковым началом О и

разными

направлениями осей

(рис; 70).

Пусть

есть

угол между

осями

Ох и

ОХ. Обозначим

через лг, у

и Х }

Y координаты произ

вольной точки М соответственно в

старой

новой

системах:

я =

вел ОЯ,

<у =

вел ЯМ,

Х = в е л ОЯ„

У = вел РХМ.

Рассмотрим ломаную линию ОЯ,МЯ

возьмем

ее

проекцию

на

ось

OJC.

Замечая,

что проекция

ломаной линии

равна

проекции

замыкающего охрезка

(гл. I,

§ 8)

имеем:

пр ОЯ,МЯ==вел ОЯ.

(4)

С другой

стороны,

проекция

ломаной

линии

равна

сумме проекций

ее звеньев

(гл. I,

8); следовательно,

равенство

(4) запишется

так:

пр ОЯ, -j- пр Я,М

пр М Я = вел ОЯ.-

(4')

Так; как проекция направленного отрезка равна его величине, умно женной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой

108

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ

[ГЛ. V

лежит отрезок (гл. I, § 8), то

пр OPj =

AT cos а , п$РхМ = K co s(9 0 °4 -a) = — К sin a ,

п р Ж Р = 0 .

Отсюда равенство (4') нам

дает:

# =

ATcos a —

Кsin a .

(5)

Аналогично,

проектируя

ту

же

ломаную

на

ось Оуч пблучим

выражение для у . В самом деле, имеем:

пр ОРх-J- пр РХМ -J- пр М Р = пр О Р = 0.

Заметив, что

пр ОРх=

X cos (a — 90°) = X sin ос,

пр PXM — у cos a,

будем

иметь:

пр Л 4 Р = — у,

или

A fsina-f-K cos а — у = О,

y =

ATsina-|- K cosa.

(6)

Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y

выраженными через

старые

и у,

если

разрешим

уравнения

(5)

(6)

относительно

и Y.

З а м е ч а н и е .

Формулы

(5)

(6)

могут быть получены

иначе. Из рис.

имеем:

х — О Р = ОМ cos (a-|~ ф) =

ОМ cos a cos ф — ОМ sin a sin ф,

у = PM == ОМ sin (a

ф) =

ОМ sin a cos ф -j- ОМ cos a sin ф.

Так как (гл. I, §

И )

(Ш со5ф==ЛТ,

О Ж ^ п ф = К ,

то

х =

X cos a —

Уsin a,

(5)

y =

X sin a -{-Y co s a .

(6)

§ 4. Общий случай. Пусть

даны

две

декартовы

системы

коор

динат с

разными

началами

разными

направлениями

осей

(рис. 72).

Обозначим через а и b координаты нового начала О, по старой

системе,	через a — угол			поворота	координатных	осей	и,	наконец,
через х,	у	и X t	Y — координаты		произвольной	точки	М	соответ
ственно	по	старой	и новой	системам.

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ				109
Чтобы	выразить	х н у через X и	К, введем вспомогательную
систему	координат	х хОху х, начало	которой поместим в	новом

начале Ох, а направления осей возьмем совпадающими с направле ниями старых осей. Пусть х х и у х обо значают координаты точки М относительно этой вспомогательной системы. Пере ходя от старой системы координат к

вспомогательной,	имеем (§ 2):
* = * , +	л, y = y i -\-b.

Переходя, далее, от вспомогательной си стемы координат к новой, найдем (§ 3):

хх = X c o s а — Y sin а,

ух = X sin а -\- Y cos а.

Заменяя х х и у х в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:

				A;= A 'co sa— F s in a -\|-a ,				l			(I)
				у m r^Ysina-\|- Кcos a-\-b.				)

Формулы		(1) содержат как			частный случай формулы						§§ 2 и 3.
Так, при а =		0 формулы (I) обращаются в
				х = Х -\-а , y = Y - \ - b ,
а при а = Ь = 0			имеем:
	A:=ATcosa— Кsin а,					у =	X sin a -f- Y cos a.
Из формул (I) мы получим					новые		координаты		X	и	Y выражен
ными через		старые		х н у ,	если уравнения			(I)	разрешим относи
тельно	X н	Y.
Отметим		весьма		важное свойство формул				(I):	они	линейны отно
сительно X и Y,			т. е. вида:
		x =	A X -\-B Y -\-C ,			y =	AxX-1r Bl Y-\-Cl.
Легко проверить, что новые координаты X н Y выразятся через
старые	х н у	тоже		формулами первой			степени относительно х и у.
§ 5.	Некоторые приложения формул преобразования координат.

1. У р а в н е н и е р а в н о с т о р о н н е й г и п е р б о л ы о т н о с и т е л ь н о ас им пт от .

Рассмотрим равностороннюю гиперболу, отнесенную к ее осям симметрии:.

х*— у ‘ = а \

n o ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V

Асимптоты ее взаимно перпендикулярны (угловые коэффициенты асимптот равны 1 и — 1; ем. гл. IV, § 4).

Принимая их за новые оси координат, мы должны повернуть

старые	оси	координат на		угол + 4 5 ° .				Формулы преобразования:
		# =	-ATcosa— У sin а,				у =	X sin a	Уcos a
при a =	— 45°		(поворот	по	часовой		стрелке) примут			вид:
							у =	^ ( У - Х ) .
Подставляя		эти	значения	х	и у	в	уравнение		гиперболы		х 2— у? =
				у = а 2,		получим:
					I ( * - f У ) ' - \ ( У - Х ) г = а*.
					Раскрывая скобки и делая приведение
					подобных членов,				получим:
						2X Y = a \			или	X Y =	(7)

Это и бсть уравнение равносторонней

^гиперболы, когда осями координат слу- жат ее асимптоты (рис. 73). Чита-

рис. 73. телю рекомендуется проверить, что, вы бирая угол поворота a = -{ -4 5 ° , мы полу

чим уравнение равносторонней гиперболы в виде:

2.	Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л д р о б н о - л и н е й н о й ф у н к
ции.	Дано уравнение

ах + Ь^и

Уcx + d '

Требуется исследовать кривую, определяемую этим уравнением. Будем считать с^= 0 , так как в случае с = 0 наше уравнение

будет, очевидно, уравнением прямой линии. Разделив числитель и знаменатель на с, придадим уравнению вид:

У =	а* +	Р
У =	* +	6 *
*) Предположим, что ad— Ьсф 0,	так как в противном случае уравнение

не содержало бы переменного х.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги