книги / Аналитическая геометрия.-1

ОТВЕТЫ

27i

ние

на

2

и. сложим, с

первым.

Таким

образом,

получим

уравнение

4х-+"

-fr5y — 32 я=0. ( Полученное уравнение является

уравнением

проектирующей

плоскости,

так

как:

1)

оно является

следствием

двух

данных

уравнений,

а потому значения координат (х,

г/, z), удовлетворяющие двум данным

уравнениям,

удовлетворяют и полученному

уравнению,

что

свидетельствует

о том,

что

эта

плоскость

проходит

через

данную

прямую, и 2)

полученная

плоскость

параллельна оси Ог (в уравнении отсутствует

координата г). Уравне­

ния плоскостей, проектирующих прямую на

другие координатные плоскости,

найдутся

аналогичным образом.

8.

|

^=

~~ ^

9*.

х +

У+

2=

0,

у — г — 1 = 0 .

Указание.

Уравнение

всякой

плоскости,

проходящей

через

данную

прямую,

можно

написать

в

виде

х +

// — z — 1 + М * — У +

г + 1 ) =

0,

или

(1 +

X) х +

(1 — X) у-\-

1 -|—X) г — (1 — Я,) =

0.

Из этих плоскостей

нам нужно выбрать ту, кото­

рая проектирует нашу прямую на плоскость

у

z =

0.

Так

как

проекти­

рующая плоскость должна быть перпендикулярна к плоскости

проекции, то \

должно

удовлетворять

условию

(1 + X) - 1 +

(1 — А,)* 1 +

(— 1 -f- Л.)-1 =

0,

от­

куда

находим

значение

Х =

— 1.

Следовательно,

уравнение

проектирующей

плоскости будет: у — г — 1 = 0 . Так как проекция прямой

должна

лежать на

плоскости,

на

которую

прямая

проектируется,

т.

е.

на

плоскости х-{-у-{-

-{-z =

0,

то, присоединяя это уравнение к найденному уравнению проектирую­

щей плоскости,

получим

уравнения

проекции: * +

i/-f-z =

0,

у —г — 1 = 0 .

10.

2x +

2// +

z — 15 = 0,

4х — 9у-\- 10z — 9 =

0.

II.

a) cosa =

*ll3, cosP =

=

— ,2/is. cos у =

*/iS; 6) cos a =

l/3,

COS P =

— lj3t cos у =

— */,.

12. а)

=

^ + а , _ , г ,

б)

x - f - 5 __у — 7 _

1 ’

в)

1

_У— 4 __z — 12

1 *

'

2

6

'

О

13.

cos (L,, Ц) =

10U» cos (L2, L3) =

106/m , cos (L3, Lx) =

«•/,

, 14.

cos a =

—

,

2

1

1

/ 3 0

COS р:

^os у —

15.

cos a =

_ 1 ,

c°s Y==_2T .

-----

i

——-, cosP=a

/зо’

/ 3 0

/ 6

y + 3 _ z +

8

16.

COS Ф =

*/„.

17.

a)

x

- 2 =

0, y +

3 = 0;

6)

*

- 2

_2 +

l

__z_

20.

3

—2

5

18.

—

- ^

±

2

19.

а)

лежат;

б)

лежат;

a

b

c

1

x — 1__у — 2 __ z — 3

в)

не

лежат.

21. у — 22x +

71,

z =

2x — 3.

22.

1

2

2 3 .

x =

3z -

1,

y =

- 5

z -

17/4.

2 4

x —2

У-h 3

г + 1

‘=

t / 6

i t

/

6*

x — а у —Ъ г —с

х — а // — & 2 — с

2 5 .

Щ

rh

Р 1

= 0,

т ,

л2

рг = 0.

ах

a bx— b с, —

с

а2 —a bt — b сг — с

2 6 .

a _ y — b

aPi

bpx

— (агщ + Ьп^

(x — a) n — (y — b)m

m2 7 .

у — nz — b

— (x — tnz — a)

n

1

= 0 .

— (x -

nI

aj

1

mjZ -

(x — ax) nx — (y — bk) mi

n

1

=

0 .

«1

1

28. (I, 1, 1). 29. (5, - 1 ,

2). 30. sinq>= »/ljs. 31. a)

^ - 1

=

^

?

=

^

;

x — \ _ у — 2 _ г — 3

X — 1 У — 2 z — 3

0)

3

11 “

0

; B)

0 3

0 ~

1

*

3 2 .

4 х - у + 3 г -

1 1 = 0 .

3 3 .

>/J /

6-

3 4 * . */,,

/ 2 6 .

Указание. Следует

про­

вести

прямую

III

через

точку, лежащую на прямой II,

параллельно

пря­

мой

I,

затем

составить

уравнение плоскости, проходящей через прямые

II и III, наконец, найти

расстояние

от

точки

прямой I до этой

плоскости.

35а р =1 — 5.

36а

2х -|—3у -|—z —}- 5 — 0.

2 =

37а х — 3у — z — 10 — 0.

38а

х — Ъу + 2z —4 == 0.

3 9 .

х — 2у — 2z +

0.

4 0 .

2х 4 - у — 1 =

0.

41.

* + 1 __у ___z — 4 .

42 . x +

y +

z =

0

48

37

4

x — a y — b z — c

х — а у —b г — с

44.

4 3 .

т1

пх

рх

=

0.

ax— a b x— b c x—c

=

o.

^2***2

'*2

2

mx

nx

px

45а

^2

НPi

£ > ) -

(Ахт -{- Вхп

Схр) (Ах -j- By -j- Cz +

Cp) (A}x + Bxy +

Cxz +

Dx) =

х — а у — b г — с

-

(Am +

Bn +

0.

47.

х — ах у — Ьх z — cx

4 6 .

т

а

р

=

0.

а2

а,

Ь2

6,

с2—.сх

=

0.

тх

пх

рх

т

п

Р

4 » . --------=

у — b __z — c

,

где

положено

т =

a — ax b — bx c — cx

: --------==--------

т]i

п

Px

т

п

р

0

В

п =

b - b x с — сх а — ах

с — сх а — а, b - ь Г

Пх

Рх

Щ ;

Р=

Р х

т х

Пх

0

- А

С

0

—В

А

К

стр.

255

(ГЛ. VI,

ч. 2)

U x * = y* +

z \

2 . ^

+

/ =

1

.

г

3 .

Ah2x2+

2Bh2xy - f СК*уг +

-\-2Dhxz-\-2Ehyz-\- Fz* =

0. 4 . Конус, образованный вращением прямой

линии

у =

х

вокруг оси Ох. 5 . Конус

с вершиной в начале координат и на­

правляющей

Ах2+

2Вху +

Су2-j- 2Dx +

2Еу +

/=* =

0,

z =

1.

6 .

Эллипсоид,

z2

1, у =

0.

7 .

Одно-

полученный от вращения вокруг оси Oz эллипса х2-\-Т- =

полостный

.

„

/4

от вращения

вокруг

оси

Oz гиперболы

гиперболоид,

получ'енныи

х2 — z2= l ,

у =

0.

8 . Двуполостный

гиперболоид,

полученный

от

вращения

вокруг

оси

Ох

гиперболы

х2 — уг=

4,

г== 0.

9 .

Параболоид,

получен­

ный

вращением

вокруг

оси

Ог

параболы

z =

x2t

у =

0.

10.

** +

*/* +

2

=

0.

+ г2 — ху — yz — zx — у