Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2820 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

§ 16]	ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ					1 9 1
П р и м е р 3.	При тех же	обозначениях,			что и в примере 2, объем V
треугольной пирамиды ABCD выражается формулой
	V = ± ~	-	* 1 У х “	Ух	Ч -
		— Х х У г — Ух			— 2,
	* 6	4 — i Ух		Ух	z4 - 2i

В самом деле,	согласно примеру		1 из § 14 мы имеем:
	v = ~ \ { A B 7LCJ D )\.
Так как векторы АВ, АС, AD			имеют	соответственно		проекции хг — хи

Ух —Ух* *2 — Ч* хг — хх, y9 — yXf zs — zx; *4 — *„ уА—ух, zA— гх, то находим:

!Х х - Х х У г — У х Ч - Ъ х

V = ± - j r xs — x x Уз — Ух Zi — zl х* — х х уА— ух гх — г х

где знак берется одинаковый со знаком определителя.

§ 16. Двойное векторное произведение. Мы рассмотрели век торно-скалярное произведение; теперь перейдем к векторно-вектор ному произведению

( АХВ)ХС.

В первом случае мы получили прекрасное геометрическое истолко вание произведения; здесь же мы дадим формулу, значительно облег чающую вычисление. Эта формула имеет вид:


	(А X		В) X	С =	В (АС) -	А (ВС).			(38)
Обозначая	искомый		результат через			D,	найдем	его	проекции
Dx, Dyy D2.	С э т о й целью			сначала определяем проекции					вектора
А Х В и получаем		по формуле (30):
(А X В)х =		АуВг -		АгВг	(А X В)у =		AZBX -	AXBZ,
		( А Х В )г=			АхВу - А	уВх.

Далее, применяя ту же формулу (30), находим:

А* =	(А X В)у Сг - ( А Х В)* Су =
=	(АгВх - AXBZ) Сг -	(АхВу - АуВх) Су =
=вх(ЛуСу + AZCZ)-		Ах (ВуСу +BZCZ).

Прибавив и вычтя по AxBxCxt получим:

Dx = Вх (АХСХ+ АуСу + АгСг) - Ах (ВХСХ+ ВуСу + ВгСг).

Более кратко последнее выражение запишется так:

DX= B X(АС) — Ах (ВС).

1 9 2

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

[ГЛ. II

Аналогичные формулы получаются и для двух других проекций:

= Ву (АС) — Ау (ВС), Dz = Bz (АС) — Аг (ВС).

Зная проекции вектора D, пишем самый вектор D:

D = Dxi + Dyj + Dzk.

Внося вместо DXi Dy, Dz только что полученные значения, имеем:

D = W + Ву} + ВгЮ(АС) - (АхI + Ауj + А2к) (ВС),

или

D = В (АС) — А (ВС).

Заменяя, наконец, D его значением, найдем требуемую формулу (38). Заметим, что в двойном векторном произведении весьма важно раз личать порядок перемножения. Так, например, вычисляя А Х ( В Х С ) , мы получим совершенно другой вектор, а именно:

А Х ( В Х С ) = - ( В Х С ) Х А = ( С Х В ) Х А = В ( А С ) - С ( А В ) .

Итак, получается формула

А X (В X С) = В (АС) — С (АВ).

(39)

Из сопоставления формул (38) и (39) можно вывести следующее правило, для запоминания разложения двойного векторного произве дения:

Двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других.

При круговой перестановке векторов А, В, С формула (38) при водит к трем разным векторам:

(А х В) х С = (В X С) X А = (С X А) X В =

в(АС) — А (ВС),

С(ВА) — В (СА),

А(СВ) — С (АВ).

Складывая вместе эти три	равенства, получим тождество
( А Х В ) Х с + ( в х с ) Х А + ( с х а ) Х В = о.		(40)
Одно из применений	формулы (39) состоит в выводе	разложе

ния данного вектора В на две компоненты, из которых одна па

раллельна, а	другая	перпендикулярна к	заданному вектору	А.
В самом деле,	положив	в формуле (39) С =	А, найдем:
А X (В X А) =		В (АА) — А (АВ) =	В (А*) — А (АВ).
Решая это уравнение относительно В, получим:
	В =	^ А + ^ [ А Х ( В Х А ) ] .		(41)

УПРАЖНЕНИЯ

1 9 3

Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, парал

лелен вектору А, а второй перпендикулярен к нему.
Формула (41) для разложения	упрощается, если А		есть единич
ный вектор. Тогда Л — \ и формула		(41) примет вид:
В = (АВ) А +	А	X (В X А).	(42)

Мы разобрали два случая произведений трех векторов; они играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и боль шего числа векторов могут быть сведены к низшим произведениям.

П р и м е р 1. Показать, что если а_|_Ь, то

a X |a X l a X ( a X b ) ] |= a 4b.

В самом деле:

а X (а X b) = a (ab) — b (аа) = — bа2.

Умножая векторно слева на а, получим:

а X [а X (а X Ь)] = — о* (а X b) = a2(b X а).

Повторяя ту же операцию, найдем:

а X {а X [а X (а X b)]} = а* [а X (b X а)] =■а*Ъ(аа) - а’а (ab) = а*Ъ,

что и нужно. Читателю рекомендуется проверить этот результат геометрически. П р и м е р 2. Вычислить (а X b) (с X d).

Обозначая временно (с X d) = е, произведем в векторно-скалярном произ ведении (а X Ь) е перестановку; тогда получим:

(а X b) (с X d)=	(а X b) е = a (b X е) = a [b X (с X Ф] =
=	а [с (bd) -	d (be)] = (ас) (bd) - (ad) (be),
или		lac	ad I

(a X b )(с Xd) = I bc			M \|.
В частности, при d = а найдем: (a X		b) (a X c) =	a2 (bc) — (ab) (ac).

Упражнения

1. Даны две прямоугольные декартовы системы координат с одинаковыми

направлениями осей. Радиус-вектор нового начала координат	г0)а,	b,	с).
Найги зависимость между радиусами-векторами г \ х , у , г), и	r, jxj,	у и	г,}
произвольной точки относительно старой и новой систем.

2*. Даны две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом. Найти выражения координат х, у , г произвольной точки относи тельно старой системы через координаты xlf ylt zt той же точки в новой системе.

3. Найти формулы преобразования прямоугольных декартовых координат

вобщем случае.

4.Доказать, что если диагонали четырехугольника делят друг друга по полам, то четырехугольник есть параллелограмм.

5.Найти радиус-вектор точки пересечения, медиан треугольника, вершины

которого заданы векторами г1( гх, га. Выразить также ответ в координатах.

194

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ

АЛГЕБРЫ

[ГЛ.

6. Найти радиус-вектор, а также координаты

центра

тяжести

системы

трех материальных точек Mlt Мг, Ма, в

которых

сосредоточены

массы

mlt

Wlj, /П|.

и В {2,

— 3,

0}.

7. Доказать перпендикулярность векторов А {3,

8. Найти длину и направление вектора

А | 1 ,

1}.

9. Найти

проекцию

вектора

А {4,

— 3,

на

направление

вектора

в {2, 2, 1} /

_ _

* 10*. Дан

параллелограмм

ОАСВ:

djC=BC =

А,

~ОВ = АС =

Ъ.

Дать

геометрическое истолкование формул:

(А + В)* +

(А -

В)* = 2 (А2+ Я2),

(А +

В)* -

(А -

В)2 =

4 АВ,

(А + В) (А — В) =

А* — Я*.

Какое значение имеет последнее из этих равенств для ромба?

к вектору

с.

11. Доказать,

что вектор х = b (ас) — а (Ьс) перпендикулярен

12. Доказать,

что

три

высоты

треугольника

пересекаются в одной точке.

13.

Какой угол составляют между собой два вектора:

A =

i + j - 4 k ,

B =

i - 2 j

2k?

14. Определить угол между векторами а и Ь,

если

вектор

а +

ЗЬ

пер

пендикулярен к вектору 7а — 5Ь, а вектор

а — 4Ь перпендикулярен

вектору

7 а - 2 Ь .

15*. Вывести формулу для косинуса суммы двух углов.

что

16. Дано,

что

а Х с =

Ь Х с ,

можно

ли

отсюда заключить,

а = Ь?

sin (а — р).

17*. Вывести формулу для

сторонами

которого

vl8. Найти

величину

площади

параллелограмма,

являются векторы а =

i — 3j +

b =

2i — j -f- 3k.

которого

находятся

.19.

Вычислить

площадь

треугольника,

вершины

в точках А (3, 4.

1), Я (2, 0,

3),

С ( — 3,

4).

20. Найти площадь треугольника АВС, если известны проекции его сторон

СА {Х„ Yu Zx\ и СВ \Х2, Y2, Zt \.

21. При обозначениях задачи 20 найти синус угла С.

J + k).

22. Вычислить векторно-скалярное произведение

ij (i +

1 23.

Показать,

что abc = ab (с -j- Ха. + fib).

v 24.

Показать,

что векторы

{3,

5},

|1,

2, 2},

{9, 14,

16}

компланарны.

,25 . Проверить, что четыре

точки

А (1,

1), Я (4,

6),

С (2,

D ( l 0 ,

14, 17) лежат в одной плоскости.

находятся

точках:

А (0,

0),

*<26.

Вершины

треугольной

пирамиды

Я(3, 4,

— 1),

С (2,

5),

£>(6,

— 3). Вычислить ее

объем.

\^27. При данных задачи 26 найти длину высоты, опущенной из вершины А,

28. Даны векторы а {3,		0 , - 1 } , b {2, 4, 3 \|,		с j — 1, 3, 2},		d {2,		0,	1}.	Вы
числить (а X Ь) X с и (а X		с) (b X	<*)•		прямыми,			если		одна
29*. Найти кратчайшее расстояние между двумя
проходит через	точку А (3,	0 , - 1 )	параллельно	вектору	В {2,	4,	3},		а другая
проходит через	точку С (— 1, 3, 2)		параллельно вектору		D \| 2 ,	0,	1}.

30*. Найти расстояние от точки А (3, 4, 2) до прямой, проходящей через

точку Я(1, 2, 3) параллельно вектору С {6, 6, 7}.

ГЛ А В А III

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Уравнение поверхности. В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек. В таком определении поверхности содержится свойство, общее всем ее точкам. Обозначая через х , у, z координаты произвольной точки данной поверхности относительно некоторой прямоугольной системы коор динат, мы выражаем посредством уравнения между х, у и z свойство, общее всем точкам поверхности и только им. Таким образом со ставляется уравнение между ч переменными х у у и z> которому удо влетворяют координаты произвольной точки данной поверхности и только они одни. Это уравнение называют уравнением поверхностиf входящие в него координаты х у у и z — текущими координатами.

Получается возможность свести изучение геометрических свойств поверхности к изучению аналитических свойств соответствующего ей уравнения.

Рассмотрим несколько простейших примеров составления урав нений заданных поверхностей.

П р и м е р 1. Найти уравнение плоскости, делящей пополам отрезок между точками А ( 1, 2, 3) и В (2, — 1, 4) и перпендикулярной к нему.

Очевидно, эта плоскость есть геометрическое место точек, равноудаленных

от А и В.

Возьмем на ней произвольную точку М (х, у, z). Тогда по формуле рас стояния между двумя точками будем иметь:

		АМ = У ( * - 1 ) « + ( * - 2 ) « + ( г - 3 ) » .
		ВМ = v (X — 2)* +			(у + 1)‘ + (г -		4)г.
Приравнивая эти расстояния,			получим:
V ( х -	I)2 +	(г/ - 2)г+	(г -	3)*=	у (х -	2 f +	{у + I)1 +	(г - 4)«.
Отсюда после	возведения обеих			частей	равенства в		квадрат	и упрощений —
окончательно:			2х — 6у + 2г — 7 =			0.
			2х — 6у + 2г — 7 =			0.
Это и есть уравнение данной плоскости.
П р и м е р	2.	Найти уравнение плоскости, делящей пополам двугранпый
угол между	координатными плоскостями' XOZ и YOZ и проходящей через
первый октант.

196	ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ	ЗНАЧЕНИЕ	УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. 111
Ясно, что данная плоскость является геометрическим местом точек,
равноудаленных	от координатных	плоскостей	X O Z и Y O Z .	Следовательно,
для каждой точки этой плоскости имеет место равенство \|jc\| =				\|y\|.
Кроме того,	легко усмотреть, чю обе эти		координаты любой точки дан

ной плоскости имеют одинаковые знаки (в первом и пятом октантах поло

жительные, а	в третьем и седьмом — отрицательные). Поэтому у каждой ее
точки абсцисса	равна ординате
	х = у или х — у = 0.

Это и есть уравнение данной плоскости.

Совершенно аналогично выводится и уравнение плоскости, делящей по

полам другой	двугранный	угол между теми же	координатными	плоскостями
X O Z и Y O Z	и проходящей	через второй октант.	Разница лишь	в том, что

абсцисса и ордината любой точки этой плоскости, будучи равными по абсолют


ной величине, противоположны по знаку.							Поэтому уравнение ее имеет вид:
				х = — у	или		х + у = 0.
эта	П р и м е р	3.	Найти	уравнение		координатной		плоскости	Y O Z . Очевидно,
	плоскость	есть геометрическое				место точек,		абсциссы	которых равны
нулю. Поэтому		уравнением ее будет				х = 0 . Аналогично уравнение плоскости
X O Z	имеет вид у =		0.	уравнение		плоскости,		параллельной		координатной
	П р и м е р	4.	Найти
плоскости X O Y		и	отстоящей от		нее на расстоянии с в сторону					положитель

ных значений г.

Данная плоскость есть геометрическое место точек, аппликаты которых

равны с. Поэтому		уравнение ее имеет вид z =		c.		в точке
П р и м е р	5.	Найти уравнение сферы,),		центр которой лежит
С (а, b , с), а	радиус равен R .			произвольной	точки М	сферы,
Обозначая через х, у и z координаты
выразим аналитически свойство, общее всем				точкам М . Из определения
сферы следует, что расстояние точки М			до	центра С есть величина постоян
ная, равная радиусу R, т. е.						(1)
		С М =	R .
Определим С М		как расстояние между двумя точками С			и М (ч. 2, гл. I, § 2),
мы выразим равенство (1) с помощью текущих координат точки М :

У ( х - а ) г + (4 г -6 )г + ( г - с ) 1 = R.

Возвышая обе части последнего уравнения в квадрат, освободимся от ради кала и получим уравнение сферы в окончательном виде:

(х - а )* +	(у - Ь ) ' + (z -	с у =	Я*.	(2)
В этом уравнении постоянные а, Ь, с и R суть соответственно коорди
наты центра и радиус сферы,	переменные х,	у и	г являются	координатами

произвольной точки сферы. В частности, если центр сферы находится в на чале координат, то а = Ь = с = 0, и уравнение (2) принимает более простой вид:

*“ + **+** = /**•

(3)

§ 2. Геометрический смысл уравнений. Мы видели, что всякая поверхность, рассматриваемая как геометрическое место точек, может быть представлена уравнением между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение между переменными х, у и z, вообще говоря, определяет поверхность как геометрическое место точек, координаты которых х, у п z удовлетворяют этому уравнению.

1) Сферой называется шаровая поверхность.

§ 4]

СФЕРА

1 9 7

§ 3. Две основные задачи. Из изложенного в §§ 1 и 2 вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Соста вить уравнение этой поверхности.

2. Дано уравнение между координатами х, у и z. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Сфера. Мы видели, что сфера радиуса R с центром в точке

С (а,

с)

имеет уравнение

( * - а)‘ - Н у - * ) г - Н

2 - с ) г =

Я2.

(2)

Раскрывая

скобки, придадим

уравнению

(2)

вид:

* а +

+ z* — 2ах — Щ — 2сг +

(а2+

Ь2+

с* — R2) = 0.

(2')

Уравнение (2') содержит члены второго измерения, первого изме

рения

свободный член (нулевого

измерения) относительно л:, у и z.

Такое

уравнение называют уравнением

второй

степени. Итак,

сфере

соответствует

уравнение

второй

степени

относительно текущих

ко

ординат.

Но, очевидно, не всякое уравнение

второй

степени

опре

деляет сферу.

Действительно,

из

уравнения

(2')

усматриваем,

что

в уравнении

сферы

коэффициенты

при

квадратах

координат

равны,

а члены

произведениями

координат

(jcy,

y z t

zx)

отсутствуют.

Обратно,

если осуществлены два условия: 1)

равенство

коэффи

циентов

при

х 2, у 2 и z2y 2)

отсутствие

членов

ху %yz,

zx ,

то

урав

нение определяет сферу, так как оно приводится к виду (2')

путем

деления

на

коэффициент

при

х 2

х).

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем

решить,

определяет

оно сферу или нет. Например,

уравнение

х 2 -\-у2-f- z2— 2х — 4у — 4 = 0

определяет

сферу, так как в нем

коэффициенты

при

квадратах

ко

ординат

равны

между собой, а

члены

произведениями

координат

отсутствуют.

Желая

узнать

размер сферы

и положение

ее

в про

странстве относительно данной системы координат, мы должны опре делить величину радиуса и координаты ее центра. С этой целью данное уравнение мы приведем к виду (2). Такое преобразование есть

не что иное,	как	представление уравнения		(2')	в	виде	(2).	Возьмем
в данном примере		члены,	содержащие л:, т.	е. х 2— 2л:,			и	дополним
этот двучлен	до полного		квадрата разности	х —	1.	Получим:
		л;2 — 2л; = (л;— I)2 — 1.
Аналогично поступая			с членами, содержащими			у и	2,	получим:
	у 2— 4у =		(у — 2)2 — 4; z 2 = (z — О)2

*) В частном случае уравнение может определять сферу нулевого радиуса (т. е. точку) или мнимое место точек.

198

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

УРАВНЕНИЙ

[ГЛ. III

После

этого, данное

уравнение

запишется

так:

( х — 1)2 +

(у — 2)2 +

(* — 0)* = 9.

Сравнивая

это уравнение

уравнением

(2),

усматриваем, что

а = 1,

Ъ = 2,

с =

R = 3.

§ 5. Цилиндрические поверхности. Положим, что

данное

урав

нение

не содержит переменной

z :

F(x, у) =

На

плоскости

координат

хОу

это

уравнение определяет некоторую

линию

L — геометрическое

место

точек,

координаты

которых

удо

влетворяют данному

уравнению. Этому

урав

нению

удовлетворяют также координаты всех

тех точек

пространства,

которых

две

первые координаты совпадают с координа

тами любой точки линии L , т. е. тех точек

пространства, которые проектируются на плос

кость

хОу

в точки

линии

L. Совокупность

таких

точек есть поверхность, описанная пря

мой, параллельной оси Oz и пересекающей ли

нию L (рис. 109). Вообще поверхность, образо

ванная прямыми, параллельными некоторой дан

ной прямой и пересекающими данную линию Z,,

называется

цилиндрической. Линия

называется ее

направляющей,

прямые,

образующие

цилиндрическую

поверхность, — образую

щими.

Итак,

уравнение

F (xy у) =

определяет

цилиндрическую

поверхность, образующие которой параллельны оси Oz.

Обратно,

всякая

цилиндрическая

поверхность

образующими,

параллельными оси Oz, может быть представлена уравнением вида F(x, у) = 0. Действительно, направляющая линия L может быть в этом случае взята в плоскости координат хОу и ее уравнение, рассматриваемое в пространстве, будет определять данную цилиндри ческую поверхность.

Точно так же, если уравнение не содержит переменного х (или у), то оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ох (или Оу).

П р и м е р 1. Уравнение
х± + £ = 1	(4)
а2^Ь*

определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть эллипс, лежащий в плоскости х О у , а образующие параллельны оси О г (эллипт ический

цилиндр).

П р и м е р 2. Уравнение

а* Ьг~	(5)

§ 61		УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ В				ПРОСТРАНСТВЕ				199
определяет	цилиндрическую			поверхность,		у	которой	направляющая			есть
гипербола, лежащая в плоскости хО у, а образующие параллельны										оси	О г
(гиперболический цилиндр).
П р и м е р		3. Уравнение			у ' = 2рх					(6)

определяет	цилиндрическую			поверхность,		у	которой	направляющая			есть
парабола,	лежащая в плоскости				х О у , а	образующие		параллельны		оси	О г
(параболический		цилиндр).
§ 6. Уравнения линии в					пространстве. Всякую				линию в про
странстве можно рассматривать как пересечение								двух	поверхностей.
Пусть		А * ,	у,	*) =	0 и / г(х,		у, г) =	0			(7)

суть уравнения тех поверхностей, пересечение которых дает линию L.
Координаты любой точки линии L						удовлетворяют			обоим	уравне
ниям (7),	так	как эта	точка		лежит	одновременно на обеих				поверх

ностях. Итак, линия в пространстве рассматривается как геометри ческое место точек, координаты которых удовлетворяют системе двух уравнений (7). Обратно, система двух уравнений (7) определяет линию в пространстве как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе уравнений. Уравнения (7) на зывают уравнениями линии L в пространстве.

Очевидно, можно различным образом выбирать те поверхности, пересечением которых является данная линия L, и это обстоятельство соответствует тому факту, что вместо системы (7) можно взять

любую	другую систему двух уравнений, ей равносильную. Так, на
пример,	уравнения	оси	Oz будут:
Уравнения			х = 0,	у = 0.
Уравнения			х -\-у — 0 и х — у = 0
			х -\-у — 0 и х — у = 0
также определяют		ось	Oz.
Проведем через линию L две				цилиндрические поверхности с обра

зующими, параллельными осям Оу и Oz. Уравнения этих цилиндри ческих поверхностей будут иметь вид (§ 5):

F(x, g) = 0, F1(x%y) = 0.

Так как линию L можно рассматривать как пересечение этих ци линдрических поверхностей, то система уравнений

F(x, z) =	0,	F ,(x , у) =	0	(8)
определяет линию L. Каждое	из	уравнений	(8),	рассматриваемое

в соответствующей плоскости координат, представляет, следова тельно, проекцию данной линии L на плоскости xOz и хОу. Анали тически уравнения (8) получаются из уравнений (7) путем исключе ния переменных у и z.

200	ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ		ЗНАЧЕНИЕ	УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. III
Пр и м е р .	Написать уравнения окружности, получающейся в				пересече
нии сферы х* + У+ 2 =		1' с плоскостью, г =		.
Искомые уравнения окружности будут:
*’ +	£*+ гг= 1 ,	г = \	илн	г = Т ‘

Одно первое уравнение последней системы на плоскости координат хОу изображает окружность, являющуюся проекцией искомой окружности на эту плоскость. Эта проекция совпадает по размерам с искомой окружностью, так как последняя лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций.

§ 7. Пересечение трех поверхностей. Если три поверхности, выражаемые соответственно уравнениями

F (х, у,	г) =	0,
FAx, У, г) =		0,
М * . У,	г) =	0,

имеют общую точку, то координаты ее удовлетворяют каждому из этих урав нений.

Очевидно, справедливо ^и обратное предложение — если координаты какойнибудь точки удовлетворяют этим трем уравнениям, то эта точка принадлежит всем трем поверхностям. Поэтому, чтобы найти точки пересечения трех поверх ностей, нужно совместно решить соответствующие им уравнения. Каждое дейст вительное решение этой системы трех уравнений даст точку пересечения поверхностей.

Если же система уравнений несовместна или все решения ее мнимые, то точек, общих для всех трех данных поверхностей, нет.

Упражнения

1. Составить уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке (— 1, 2, 3). 2. Найти центр и радиус сферы

хг+ У1+ г* — 2х+ 4// — 4г — 7= 0.

3.	' Найти центр и радиус сферы хг + у2+	гг — 2х = 0.
4.	Найти центр и радиус сферы
	2х2+ 2уг+ 2г* - Ъу -	8= 0.

5. Составить уравнение сферы с центром в точке (1, 3, — 2), проходящей через начало координат.

6. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и

точки	(2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, — 1).
7. Составить уравнение проекции линии
	хг уг — z = Qt z = x — i
на плоскость координат хОу.
8.	Какую линию определяет система уравнений
	z = c?
9.	Какую поверхность определяет уравнение х+ у — %х= 0?

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2820 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги