Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

§	7j	УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ				И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ			231
	Сопоставляя эти равенства, получим (11).
	П р и м е р .		Составить	уравнения	прямой линии, проходящей через начало
координат и точку (1, 1, 1).					г2 =	1. Следовательно,		пользуясь уравне
	Здесь	х, =	у, = г, =	0; х2 = у 2 =	г2 =	1. Следовательно,		пользуясь уравне
ниями (11),		получим искомые уравнения
				х =	у =	г.
	§ 6. Угол между			прямой и плоскостью. Пусть				уравнения	пря
мой линии суть:				х — а __ у — Ь __г — с
				х — а __ у — Ь __г — с
а	уравнение			т	п	р	*
а	уравнение		плоскости:
				Ах -f- By	Cz -J- D =		0.

Углом ф между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на пло скость. Найдем синус угла ср; при этом в

дальнейшем можно считать, что

потому что синусы смежных углов равны.

Угол -----<р будет, как видно из рис. 118,

углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Его косинус легко найдем по на правляющим коэффициентам А у В,С перпен дикуляра к плоскости и направляющим коэф

фициентам т , л, р данной прямой; заметив, что cos ^ -----<р^=зтф ,

получим окончательно:

__	I И /я4- В л 4 - Ср
s in < p = ---------	!----- ——	-

УА* + В2 + Сг- / т * + л2+ р 2 ‘

Числитель здесь взят по абсолютной величине, так как sin <р:

( 12)

§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой

иплоскости. Б случае параллельности прямой линии

х— а_у — Ъ__г — о

и плоскости		т		п	р
		A x -\-B y -\-C z -\-D = 0

угол между ними	равен нулю,			следовательно, sin ф = 0 и формула
( 12) дает искомое условие
А т В п	+	Ср =	0 (условие параллельности.			(13)
З а м е ч а н и е .	Это условие			получится сразу, если заметим, что
векторы {А, В, С)	и	{ту л,	р }	перпендикулярны, и, значит, их ска
лярное произведение		равно	нулю.

2 3 2

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[гл. V

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости, т. е. будет:

=	(условие перпендикулярности).			(14)
З а д а ч а . Составить уравнение		геометрического места		всех
прямых, проходящих	через точку (а,	Ьь с)	параллельно плоскости
	Лх —j—By — Cz —\|—D =		0.

Уравнение любой прямой, проходящей через точку (а, b, с), будет:

r = r , + s t,

где г, — радиус-вектор данной точки, a s есть тот вектор, которому прямая параллельна. Так как искомая прямая должна быть перпенди

кулярна к вектору и {Л, В, С}, то	должно иметь место
ns =	0.

Умножая уравнение прямой на вектор п, получим:

			rn = = r1n - \|- /s n , или				(г — г1)п =		0,
так как	ns =	0.	Уравнение			(г — г,)п = 0		определяет		плоскость,
проходящую		через		точку с		радиусом-вектором			г, перпендикулярно
к вектору	п.	Переводя			его	в координатную		форму, будем иметь:
		А (х — a)			В (у — Ь) 4 - С (z — с) =				0.
З а м е ч а н и е .			Эту	же	задачу можно		решить,	не прибегая		к векторному
методу. Уравнения любой прямой,						проходящей через точку (a, bt				с), суть:
				х — а		у — Ь	z — с

тп р

Условие параллельности искомых прямых и данной плоскости выразится

равенством

Am -f- Вп -{- Ср =■ 0.

Заменяя в последнем условии т, п п р величинами х — а, у — Ь и г — с, нм пропорциональными, получзем:

А ( х - а ) + В (у - b) + C ( z - c ) = 0.

§ 8. Уравнение пучка плоскостей. Пусть уравнения данной прямой суть:

Ах-{-В у -{-Cz-{-D = 0, А хх -\- Вху -\-Clz -\-D 1 = 0.

Составим уравнение первой степени:

Ах By -j- Cz D К (Axx -\-.Bxy

Cxz -j- Dt) = 0,

(15)

которое при любом значении постоянного А, определяет плоскость.

§ 9]	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ		ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ					233
Если точка лежит на данной			прямой	линии,	то	ее	координаты одно
временно	удовлетворяют	обоим уравнениям			этой прямой и,			следова
тельно,	уравнению (15)	при	любом	значении		X.	Таким	образом,

уравнение (15) определяет плоскости, проходящие через данную

прямую. Обратно,

всякая такая плоскость определяется одной точкой

у х> 2t), лежащей

вне

данной

прямой линии;

значение постоян

ного X, соответствующее этой плоскости,

найдется из условия

A xt +

ВУг +

Czi +

^ И

, *

, +

Ciz i++

D i) =

если

только

Bly l -\-C xz l -\-D = £0.

Таким образом,

уравнение

(15)

при соответствующем

выборе

X определяет

любую

плоскость,

проходящую через

данную

прямую,

за

исключением

лишь одной из

данных плоскостей,

именно плоскости A lx - \- B xy -\-C lz-^-D x= 0 .

Называя пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, про

ходящих через данную прямую, мы можем сказать,

что

уравнение

(15)

является

уравнением пучка

плоскостей, так как оно определяет

все плоскости пучка (кроме второй из данных плоскостей).

Пр и м е р. Составить уравнение плоскости, проходящей

через прямую

и точку (1, 1,

— 1).

* + //—2 = 0 ,

* —// + 2 — 1 = 0

Уравнение любой

плоскости,

проходящей через

данную

прямую,

имеет вид:

* + // — z +V (* — У+ 2 — 1) = 0.

Условие прохождения

этой плоскости

через точку

(1, 1 , - 1 )

дает:

X( — 2) =

0, откуда X= .

Подставляя это значение

X в уравнение пучка

плоскостей,

получим:

х + У — г + ^ ( х - У + г — 1) = 0.

§ 9. Пересечение прямой с плоскостью. Пусть даны уравнения

прямой линии:

* — а __у — b __ z — с

(16)

и уравнение

плоскости:

A x-\-B y-\-C z +

D =

(17)

Координаты точки пересечения прямой линии (16) с плоскостью (17) должны одновременно удовлетворять уравнениям (16) и (17), а по тому для их определения нужно совместно решить эти уравнения, считая x t у } z за неизвестные.

234

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[гл. V

Приравнивая каждое из равных отношений уравнений (16) вспо могательному неизвестному /, получаем четыре уравнения первой степени с четырьмя неизвестными х, у, z и t:

Из первых трех уравнений находим соответственно:

	x = a-\-m t, y =		b -\-n t,		z = c-\-pt.	(18)
Подставляя эти	значения je, у		и z	в	четвертое уравнение, полу
чаем:	mt) —\|—В (b — nt)			С (с —[-pt) —\|- D =
А (й						0
или
Ай —\|- ВЬ Сс — D			t (Ат — Вп — Ср) =			0,
откуда находим:		Aa + Bb + Cc + D
	t					(19)
		Ат + Вп + Ср *

Внося найденное значение t в формулы (18); получим координаты искомой точки пересечения прямой линии (16) плоскостью (17). Если

Am -J- Вп Ср ^ О,

то t, вычисленное по формуле (19), имеет определенное конечное значение; следовательно, в этом случае прямая пересекает плоскость в одной точке. В случае

		Ат	Вп —1“ Ср — 0,		Ао, — ВЬ —\|—Сс — D ^			0.
прямая параллельна				плоскости	(в	силу первого равенства), а точка
(а, £, с), через которую прямая						проходит, лежит		вне	плоскости,
следовательно,			прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.
Наконец,		если
		Ат —\|—Вп —j—Ср — 0,			Ай —J—ВЬ — Сс — D =			0,
то	прямая	параллельна данной			плоскости (в силу первого равенства)
и	проходит через			точку (а,	Ь,	с), лежащую	в этой		плоскости
(в силу второго равенства); следовательно; прямая							вся лежит в пло
скости.

§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной пло скости. Две прямые в пространстве, вообще говоря, не леэцат в одной плоскости. Посмотрим, при каком условии две прямые

х — ах__у — Ьх__ г — сх	х — а2__ у — Ьг __ г — сг
тх ~~ пх ~ рх *	тх	{пж	рх

лежат в одной плоскости.

§10] УСЛОВИЕ, ПРИ КОТОРОМ ДВЕ ПРЯМЫЕ ЛЕЖАТ в одной плоскости 235

Обозначим направляющий					вектор первой из них				через slf		а вто
рой—	через		st .
Как		видно из данных уравнений, первая прямая							проходит		через
точку	(a,,		Ьг% с,),	радиус-вектор		которой мы обозначим через г,.
Вторая		же	прямая	проходит	через	точку (аг, Ьг, с,). Радиус-вектор
этой точки обозначим через г2. Проведем вектор из									точки (а„ Ьг%с,)
в точку		(аг, bt1 сг).		Он выразится		так:	тг — г1Э а		проекциями его
будут аг — а„ Ъ%— Ьх и сг — с,.
Из	геометрических соображений					ясно,	что	данные прямые			лежат
в одной		плоскости в том и только в том случае,						если	эти три	вектора
s„ st	и	г* — r i компланарны. Следовательно, искомое условие								заклю

чается в равенстве нулю смешанного произведения этих трех векто ров (гл. И, § 14), т. е.

((rt — r,)s,s2) = 9 . Переписав это условие в проекциях, получим:

		о, — a,	bt — bt ct — с,
		т,	я,	Р1
		т,		Рг
П р и м е р 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1)
и пересекающей две данные прямые:
х	у	г	х — 1	у — 2 z — 3
1	2	3 •	2	4 *

Уравнения искомой прямой, проходящей через точку (1, 1, 1), суть:

X — 1 __ у —		1 ___ Z — 1
m	п	р

Условие нахождения этой прямой с первой из данных прямых в одной плоскости

имеет вид:	1	1	1
	1	1	1
	1	2	3	=	0 или m — 2 п - { - р =	0.
	пг	п	р
Условие нахождения искомой				прямой со второй из данных прямых в одной
плоскости, запишется в	виде:
0	1	2
2	1	4		=	0 или 2 т -(-4а — 2р =	0,
m	п	р

что по сокращении на 2 даст:

m + 2а — р= 0.

Остается определить	отношение т : п : р		из	двух уравнений: т — 2 п - { ~ р ^ =
= 0 и т-(-2а — р==0.	Разделив	каждое	из	этих уравнений на р, находим
неизвестные:	л п	1
т	л п	1

2 3 6

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[г л . V

Подставляя в уравнения искомой прямой вместо т , л, р , соответственно 0, 1,2, получим окончательные уравнения прямой, проходящей, через .точку- ,(1, 1; 1) и лежащей в одной плоскости с первой прямой и в одной плоскости со второй прямой;

X— 1_у — 1 __2 — 1

2 *

Легко проверить, что эта прямая действительно пересекается с каждой из двух заданных прямых 1).

П р и м е р 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1,1),

х	и	2
пересекающей прямую — =	=	и перпендикулярной к прямой
	х — 1_у — 2 __z — 3
	2	I	4	'
Уравнения искомой прямой будут:
	х — 1_у — 1__г — 1
	т	п	р	’

где отношение т\п\р определяется из условий:

т — 2 п - \ - р = 0, 2 т + л + 4р = 0,

из которых первое есть условие нахождения искомой прямой в одной плоскости с первой из данных прямых (см. пример ]), а второе выражает перпендикуляр ность искомой прямой со второй из данных прямых. Из этих условий находим:

т :л :р = 9:2: ( — 5).

Уравнения искомой прямой будут:

X — 1 _у — 1 __2 — 1

9 — 5 *

Упражнения

Пр я м а я

1.Указать особенности в расположении следующих прямых:


а \	М *	+ В у 4 - С г = 0 ,
	\ Л	-\|-Bji/-\|-С,г =			0;
	Г + П		с ^	=	о .
д)	I Ах 4 -Сг		— 0,
д)	\ А^х -\|- С\|2 = 0;
ж)	i2x +	Z y - 7 2 - 5		=	0,
ж)	\ 4х +	Зу — 7г — 5 =			0.

б)	)Ах	+ D = 0 ,
	W	+ 0i =	O;
г)	1Ву	4 -Сг	= 0 ,
	\B 0	+ Cxz + aDx= 0;
е)	{ g + ? 2=S:

2*. При каком значении свободного члена D прямая

Зх — 0 + 2 2 - 6 = 0, x + 4 r / - z + D = 0'

пересекает ось Ог?

*) Вообще говоря, при других числовых данных могло бы случиться, что прямая, найденная указанным образом, параллельна одной или даже обеим из заданных прямых. В этом случае мы заключили бы, что не существует прямой, проходящей через данную точку и пересекающейся с обеими прямыми.

УПРАЖНЕНИЯ	2 3 7
3*. При каких значениях коэффициентов В и D прямая
х — 2y-\-z — 9 = 0, 3x +	+ z + D = 0

лежит в плоскости хОу?

	4*. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях
прямой		Ах -f- By -f- Cz				D =	0,	Axx -f- Bxy -j- Cxz -f- Dx= 0,

для	того чтобы прямая:				а)	проходила		через начало			координат; б) была парал
лельна		оси Ох; в) пересекала ось Оу;						г) совпадала с осью Ог?
	5.	Определить,		лежат		ли точки		А (5,	— 2,	— 3) и В (8, 3, 1) на прямой
				5^ — Зг/ — 31 =			0,	Зх +	4// +	7z +	14 = 0.
	6. Проверить, что, исключив из двух уравнений предыдущей задачи: а) ко
ординату у, б) координату а\ получим в обоих										случаях уравнение плоскости,
проходящей через точку А и не проходящей через точку В.
	7*,	Дана прямая
		2 x - 8 y + 4 z - 12= 0, x + 4 y - 2 z - 10= 0.
	Найти уравнения плоскостей, проектирующих эту прямую на координатые
плоскости.
	8. Дана прямая
		Зх -f- 2у — 4z — 5 = 0 6х — у — 2z -f- 4 = 0.
	Найти уравнения проекций этой прямой на координатные плоскости.
	9*. Найти проекцию прямой
				х -{- у — z — 1= 0, х — */-{-г + 1= 0
на	плоскость x +		*/-\|-z =		0.
	10.	Найти проекцию			прямой
			2х -f- Ъу + 4г -f- 5 = 0, х — 6у -f- 3z — 7 = 0
на плоскость 2х +			2у-{-г — 15 = 0.
	11. Определить направляющие косинусы прямых:
		. х — 2 у — 3 г — 1							х у — 3 z — 8
		а)	4	~ ^ Т 2 =			3	’ б) Y == —			= - ^ 2 -

12.Привести уравнения прямых

.	1х	=	З г — 5,	л	1х =	2г — 5,	в)	1У =	4'
а>	\г/	=	2г — 8;	б)	у =	6г + 7;	в)	\ z =	3 * + 1 2

каноническому виду.

13.Найти углы между прямыми:

. ( 1/=2х — 7,	,	\|I !/t/= j■§X	+ 8,	{ У =	6,
				L J	15	I с
-\ = 2* + 5; ^ \ г = 2
		Зх;		\ г =	-8 Х + 6-
14. Определить направляющие косинусы прямой
х-\-2у — г —2 = 0, х-\-у — Зг — 7 = 0.
15. Найти направляющие косинусы прямой
	х у — z = 0, х — # + 2 = 0.
t6. Найти угол между прямыми
( 2х — 2у — г + 8 = 0,			/ 4х 4- £/ -J- 3z — 21 = 0,
\ х + 2у -	2z +	1 = 0 ;	\ 2х 4 - 2е/ - 3z + 15=			0.

2 3 8	ПРЯМАЯ ЛИНИЯ	[ГЛ. V
17. Через точку (2, — 3,	— 8) провести прямую, параллельную: а) оси Oz;
. JC— 2 у — 4 z + 3
б) прямой
18. Составить уравнения	прямой, проходящей через точки (3,	2; ~ 1)

и(5, 4, 5).

19.Найти уравнения прямой, проходящей через начало координат и через

точку (л, Ь, с).

20. Проверить, лежат ли прямые

av ) х =	7г — 17,	/	x =	4z — И ,
\ у =	3г — 1;	\	у = — lOz-f-25;
Л 4х -4- у -{- 3z == 0,				/ Здс — 2у -\|- z -j- 5	0,
V 2* +	2z — 9 =		0;	1\ JC— 3// — 2z — 3 =	0;
в) ( * + ? г ' - г - ? = о .				i 2x — у 4 - Зг — 4 = 0,
.* + 3# + z — 1=0;				l 3* + l / - z - 3 = 0

водной плоскости.

21.Найти уравнения прямой, проходящей через точку ( — 3, 5, — 9) и

пересекающей прямые:

		1-У = 3* + 5,		( у = 4 х - 7 ,
		\ г =	2 х - 3;	\ z = 5x +	10.
22.	Срставить уравнения прямой,			проходящей	через точку (1, 2, .3), пере*
секающей'ось Oz И перпендикулярной				к прямой х =		у = г.
23. Найти уравнения прямой, пересекающейся с						прямыми
		/	х = 3z — 1,	( у = 2х — 5,
		\ у = 2 г - 3;		\ z = 7* + 2
и перпендикулярной к ним обеим.
24.	Провести	через	точку (7, 3,	5) прямую,	направляющие косинуш ко-
торой	1 2	2-	. Найти уравнения прямой, пересекающей первую пря
	суть	, у

мую, проходящей через точку (2, — 3, — 1) и образующей с осью Ох угол

в60°.

25.Найти уравнения прямой, проходящей через точку (л, 6,» с), и пересе

кающей прямые

х — ах __у — bt _		z —cl	х — а2_	у — bz__z — с2
п h	"i	P i 9	т г ~ ~	П г	р г

26. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (д, Ь, с), пересека ющей ось Oz и перпендикулярной к прямой

х __у ___Z

Щni Pi

27.Найти уравнения прямой, пересекающейся с прямыми

x = m z -j- л,	( x = m1z + n1,
{y = n z - \ - b ;	\ у = п 1г + Ь1
и перпендикулярной к ним обеим.

П л о с к о с т ь и п р я м а я

28.Найти координаты точки пересечения прямой

х -{—2 __у — 2 __ z 1

- з - = - = Т — Т~

и плоскости 2х + Ъу + 3z — 8 = 0.

УПРАЖНЕНИЯ

239

29. Найти координаты точки пересечения прямой

/ У = — 2х + 9,

\z — 9дс — 43

иплоскости Зх — 4у + 1г — 33 = 0.

30.Найти угол между прямой

Зх — 2y = 24t

Зх — г =

— 4

и плоскостью 6* -J- lSy — 10z +

31 =

опущенного

из точки

(1, 2, 3)

на

3!. Найти

уравнения

перпендикуляра,

плоскость:

4х — by — 8z + 21 =

б) Зх -f- 11*/= 0;

в)

z = 8.

а)

32.

Через

точку (3,

— 2,

— 1)

провести

плоскость,

перпендикулярную

к прямой

х — 1__

_ z

+ l

“

— 1 “

33.

Найти

кратчайшее расстояние от точки А( 1, 2, 3) до прямой

х-\- у — г = \ , 2х-\-г = 3.

34*. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми

х-\-у — г = 1 , 2x-f-z = 3 и х — y = z — 1.

Й5. Каково должно быть значение коэффициента р, чтобы прямая

х — 1__у-\- 3 __ г — 2

— 8

была параллельна плоскости 3* — 4у + 7 2 — 33 =

— 2,

36.

Найти

уравнение

плоскости,

проходящей через точку ( — 1,

и параллельной прямым

х — 2 __ у __z — 5 х __ у + 2 __ г — 3

— 4

—

37.

Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку

(2,

— 3',

и через прямую

X— 1 _ { / +

3 _

2 ‘

38.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

х+ у = 0, х — У ~\-z — 2 = 0

параллельно прямой x = y — z.

39.Провести через прямую

ху _ г — 1

2	— 1	2
плоскость, параллельную прямой
X - 1	У	— 1
0	1	— 1

40. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

х — 1__У У__ г — 2 хх _ у — 1__ z + 2

1 — 2 Т~ —2

2 4 0	п р я м а я			л и н и я						Ггл. v
41.	Через точку (— 1. О, 4) провести прямую,					параллельную			плоскости
	Зле — 4у -(- z — 10 =				0,
так, чтобы она пересекла прямую
	х + \ _ у		— 3 _ г
	3		1	2 •
42.	Составить уравнение геометрического места всех						прямых, проходящих
через начало координат перпендикулярно к прямой x =							p =	z.
43.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точку							(а, Ь, с) и парал
лельной	прямым с направляющими	коэффициентами				(/я,, nv		р,), ( т 2,		л2, р2).
44.	Составить уравнение плоскости,			проходящей		через		точку	(я,	Ь, с) и
через прямую
	х — at __у — Ьл__ г — сх
	Щ “		n,	“	pi
45. Составить уравнение плоскости,				проходящей		через прямую
	Ах-{-By-{-Cz^{-D =	Q,	Axx-\-Bxy-\-Cx2 -{-Dx=-Q
параллельно прямой		у		2
	Х_	у		2
	т	п		р

46.Провести через прямую

х— а _у — Ъ____z — с

тп р

плоскость, параллельную прямой

* — Q) __ у — Ьх__г — сх

т \

л,

р,

•47. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

* — ал__У ~ Ьх_ 2 — сх			х — д2_У — Ьг__г — с2
т	п	р	т	п	р '

48. Череа точку (а, Ь, с) провести прямую, параллельную плоскости

Ах -f- By	Cz -f~ D = 0,
так, чтобы она пересекала прямую
* — а\ ___У —		_ г — сх
т\	пх	р,

49. Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку (а, Ъ, с) перпендикулярно к прямой

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги