Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

§ 111	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ	1 8 1
Векторное	произведение А на В обозначается символом С =	А X В
или С = [АВ].	Векторное произведение равно нулевому вектору

в том и только том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или если эти векторы

параллельны (коллинеарны) ’). В самом деле: если А = 0,			или В = О,
/S	/ч	0, а потому А Х В = 0.
или sin (А, В) = 0, то ABsin(A, В) =
Обратно, если А Х В =	0 и перемножаемые векторы		не являются
нулевыми, то А \|\| В, потому	что из	условия A £sin (А,В) = 0		при
А=£ 0 и В=^= 0 вытекает sin (А, В) =		0, т. е. А \|\| В. Так	как	нуле

вой вектор можно считать коллпнеарным любому вектору, то мы можем сказать, что векторное произведение равно нулевому век тору в том и только том случае, когда перемножаемые векторы

коллинеарны.	Таким образом,	условие коллинеарности	векторов
будет:	А X В = 0.		(22)
	А X В = 0.		(22)
В частности,	всегда
	А Х	А = 0 ,	(22')

вследствие чего является излишним вводить понятие о -векторном

квадрате вектора,	в то время как мы \|рассматривали	скалярный
квадрат в связи со скалярным умножением.
З а м е ч а н и е .	Условие (22) коллинеарности двух	векторов

Аи В возможно заменить следующим:

А= ХВ,

где X— некоторое	число (§ 4) (считая В ф 0).
Если векторы А	и В взаимно перпендикулярны, то sin (А, В) = 1,

и, значит, длина вектора-произведения равна произведению длин векторов сомножителей:

| А Х В | =

ЛД,

если

A JLB.

(23)

П р и м б р

1. Проверить справедливость

равенств

i X

j =

k X j =

— i,

где i, j, k суть основные координатные векторы.

Ох. и

Оу,

то

век

Так как векторы i и j направлены по осям координат

тор i X J будет направлен по оси Oz. С другой стороны, длина

этого

вектора

равна

площади

прямоугольника,

построенного на

i и j, т. е. 1. Следовательно,

i X j =

k* Также очевидно,

ч т о к Х ]

имеет

длину,

равную

единице,

и на

правлен в отрицательную сторону оси Ох, следовательно,

k X j =

— i-

П р и м е р

2. Показать,

что (А X В)* + (АВ)2 = АгВ\

Действительно,

(А X В)’ = A*B* sin1 (АГв),

(АВ)* =

А!В* cos* (А^В);

складывая, находим:

(А X В)2 + (АВ)2 =

;42£ 2.

1) Параллельные векторы называются также коллинеарнымн.

182	ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ			АЛГЕБРЫ			[ГЛ. II
В механике	важное	значение имеет		понятие		момента силы	отно
сительно данной	точки. Если сила F приложена					к точке Л (рис. 103),
д	Р	то моментом	силы F		относительно точки О
		называется	вектор		М,	определяемый	фор-
		мулой
				M =	r X F ,

где г= ОА есть радиус-вектор точки при ложения. Из определения векторного про изведения следует,что величина момента равна

величине силы, умноженной на расстояние ОР точки О от прямой, вдоль которой действует сила.

§12. Основные свойства векторного произведения.

1.При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (— 1), т. е.

В X А =

— (А X В).

(24)

самом деле,

площадь

параллелограмма,

построенного

на

век

торах А и В, а также

и его плоскость

не

меняются

при переста

новке А й В. Поэтому векторы А Х В

В Х А

имеют одинаковые

длины и коллинеарны.

Направления же этих векторов противоположны; действительно,

если

смотреть на

плоскость

векторов А

и В с конца вектора А Х В ,

то кратчайший поворот от В к А будет казаться

происходящим

по

часовой

стрелке.

Следовательно, вектор В Х А

должен

быть

на

правлен

в противоположную

сторону.

Заметим еще, что в случае коллинеарности векторов А

и В

ра

венство

(24) очевидно,

так

как

тогда

А Х В

В Х А — нулевые

векторы.

произведение

обладает

свойством

сочетатель

Векторное

ности относительно числового множителя; это свойство выра

жается	следующими формулами:
	Я(А X В) =	ЯА X В и	Я(А X В)= А X ЯВ,	(25)
т. е. чтобы умножить		векторное произведение векторов на число,
достаточно умножить на это число один из сомножителей.
Обе формулы (25) доказываются аналогично. Докажем, например,
первую	из них. Ограничимся случаем Я ]> 0.
Для	доказательства	равенства	векторов Я (А Х В) и Я А Х В	за
метим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:
	\| Я ( А Х В ) [ = Я \| А Х В \| = Я АВ sin (А^В),
	\| ЯА X В \| =	\| ЯА \| В sin (ЯАГВ) = ЯАВ sin (а Гв ).

§ 12]		ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ		183
Направления же			векторов Я(А Х В) и Я А Х В совпадают,	так как
при	умножении		вектора на положительное число его направление
не	меняется.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т. е.

(А+	В)ХС = А Х С + ВХС-	(26)
Для доказательства	заметим сначала, что произведение	А Х С®,

где С° — единичный вектор, можно построить так (рис. 104). Спроекти руем вектор А = ОА на плоскость, перпендикулярную к С®, и

полученную вектор-проекцию СМ, повернем в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 90° (если смотреть на плоскость с конца вектора С°).

Полученный вектор СМ, и равен А Х ^ ° . В самом деле,


а)	СМ, =		СМ, =	A cos (90°— q>)=	Asinq),
где ф — угол			между векторами А и С°;
б)	вектор		СМ,	перпендикулярен к	векторам А	и С° и направлен
в ту	сторону,		из	которой кратчайшее вращение		от А к С° пред
ставляется совершающимся против часовой стрелки.
Итак,		0Л2= А Х С °.			вектор С®,	перпендикулярная
Пусть		теперь		даны единичный

к нему плоскость р и треугольник ОА1В1 (рис. 105), в котором

СМ, = А, А ,£, = В

а в , = А + в .

Спроектируем Д ОАгВх на плоскость р и повернем проекцию СМ,Я, в плоскости р по часовой стрелке на 90°.

184	ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
'Получим	Д ОАгВг% в котором по предыдущему
OS, =	(A +B )X C *. ОА, = А Х С \	А $ , = ЪХ<?-
Так как
то	Ы , = ОА, + А $ „
то	(А В) X С°= А X С- +	В X С°.
	(А В) X С°= А X С- +	В X С°.

[ГЛ. П

(27)

Заметив,	что	С = СС°,		умножим	теперь обе части			равенства
(27) на скаляр С,		Применив		свойство	2	векторного	произведения,
получим:
или	( A + B ) X < X 0= A X CC° +					B X C C *t
или
		(А +	В)ХС = А Х - С + В Х С #
что tf требовалось		доказать.
П р и м е	1. Показать,		что	(А — В) X	(А +	В) = 2 (А X	В),	и выяснить
геометрический смысл этого равенства, изображая векторы							А — В и А + В
диагоналями параллелограмма.
В самом деле:

( А - В ) Х ( А + В) = А Х А - В Х А + А Х В - В Х В = = - В Х А + А Х В = А Х В + А Х В = 2 ( А Х В ) .

Геометрически это значит, что удвоенная площадь параллелограмма равна площади параллелограмма, построенного на его диагоналях.

П р и м е р

Пусть

вершины

треугольника

АВС заданы своими радиу

сами-векторами

ЛОч),

В (г,),

С(г,).

Найти

вектор

S, представляющий

тре

угольную

площадку

АВС, на

которой задано

направление

обхода контура

от А к В и от

В к С,

т. е.

найти

вектор,

длина

которого

численно

равна

площади

данного

треугольника,

направление

перпендикулярно к его пло

скости (причем

вектор

должен

быть

направлен в ту сторону, откуда задан

ный обход контура треугольника кажется происходящим против движения

часовой стрелки). Так как АВ = гг — rlt ВС= г, — г,, то искомый вектор S

будет*:

	S = 4 - ( r . - r , ) X ( r . - r l) =
	=	у	(Г» X	Г,)---- гг (г\| X			г , ) - у ( Г 2Х	Г .) + ~	(Г, X Г,) =
	=	у	(г*х	г*+	г*х	1-1+	г‘ х ^
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проек
циями.	Обозначая			через		X t> Yt, Z x проекции			вектора А, а		через
Xt% Ytt	Z t	проекции вектора В, выразим						через	них	векторное	про
изведение А на В:
	А X в =			w	+	X j + Z,k) Х Ш		+ r,J+		^k)-

§ 13J	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ		ВЕКТОРОВ,	ЗАДАННЫХ ПРОЕКЦИЯМИ			185
По	свойству	распределительности		суммы	векторов	умножается
как многочлены.		Следовательно, получаем:
	А X В=	XyXi (i X i) ■+ Ytx t (j X IV+			z X (k X	i) +
	+	A, Y%(i X j) +	Y i -U X	J) +	Yt (k X j) +
	+ A.Z, (i x Ю +		Y%zt (j X	k) + A,A, (k X k).			(28)

Так как i, j, k представляют три взаимно перпендикулярных еди ничных вектора и вращение от j к к представляется с конца век тора [ совершающимся против часовой стрелки (см. рис. 106), то

»,Xi = 0,		j X j = 0,	k X	k =	0, i X j =		- j X	i	= k, 1
	J X k = - k X J = «, k X » = - i X k = J;								/ v	'
следовательно,		в полученном выражении				(28)	для	А X В пропадут
три слагаемых,		остальные	же	соединятся попарно,				и окончательная
формула	будет:
А X В =	(K.Z, — r tZ.) 1 +		(Z ,Xt -		Z jХ х) j +		(X, Yt -		Xt К,) k.	(30)
Формулу (30) можно записать также в символической, легко
запоминаемой форме, если			воспользоваться понятием						определителя
3-го порядка *):				I	j	к
				I	j	к
		А X	В =	А,	Yt	Z,				(31)
				а;	Y.	А,

Для практических вычислений можно рекомендовать такой по рядок:

1) составляем таблицу из двух строк и трех столбцов, подписывая проекции множителя под проекциями множимого:

А, Y, А,

X. Y, Z,

2) для получения первой проекции произведения закрываем в этой таблице первый столбец и вычисляем оставшийся определитель 2-го порядка; чтобы по лучить вторую проекцию произведения,

закрываем второй столбец и оставшийся определитель берем с обратным знаком; наконец, для получения третьей проекции произве дения закрываем в нашей таблице третий столбец и берем остав шийся определитель 2-го порядка со своим знаком.

*) Понятие, определителя дано в ч. 1, гл. VI.

186

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

[ГЛ. II

Например,

если

сомножители

суть

А{3,

8}э В {5,

1, 7}, то,

пользуясь таблицей

II3 4 8 I

Л5

7 I»

находим проекции А Х В: 20,

19,

— 17.

Заметим, что в силу (30) условие

(22) А Х В =

параллель

ности

векторов

A { ^ ,

Yx> Z x)

B {Z 2,

К2,

Z2}

может

быть

выра

жено

равенствами

YXZ%— ZXY%= 0,

ZxXx — XxZx =

0t XxYx— YxXt =

(32)

или

(32')

Yп

Z2'

т. е. если векторы

коллинеарны,

то

их

проекции

пропорциональны,

и обратно.

Заметим, что переход от (32)

к (32') мы

могли

сделать,

лишь

если

ни одно

из

чисел Х гл

К2,

не обращалось

Однако

в силу

того, что

равенства (32')

имеют

значительно более

простой

вид и -постоянно

применяются

дальнейшем, мы

будем

писать их

даже

и в тех

случаях,

когда

некоторые

из

знаменателей

равны 0.

Такую

запись

нужно

понимать,

конечно,

не

буквально

(так как

на 0 делить нельзя), а условно,

просто как удобную

сокращенную

форму записи равенств (32). Таким образом, (32') будет в дальней шем означать то же самое, что и (32).

Так, например, равенства

Xx — Xi — h.

0 — 0 — 2

показывают,	что 2 ^ =		0 ^ ,, 0-Z 1 = 2^f1,			т. е. что
Хх= 0 и К, =		0.
Пример	1.	Найти	площадь	треугольника АВС с вершинами в точках
А (жI,У» г,),	B (x t, уг> гг), С(дс„ у„ г,).					_
Так как вектор ЛВ имеет проекции хг — ж,, уг — уи						гх — ги а вектор АС
имеет проекции х, — х1, у, — у1г г, — гх, то
пл Д Л В С = 1 \|Л В Х 1 С \| =
_ 1	- \/\У г - У х		г » - г .\|г	,	гг—г, ^ -ж .1*	, \|ж4- ж , ух - у х Р
2	V	\уг — yt г, — г,\|		^	г, — г, х , — х,1	^ \|ж , — х, у, — у,1
Пример	2.	Определить синус угла А треугольника АВС с вершинами
А ( 1; 2. 3), В (3,		4, 5), С(2. 4, 7).

14]

ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

187

Так

как векторы АВ и АС

имеют

соответственно

проекции

2 и

4; #то

2 2

I А В Х АС I

4 1 +

1 2

У56

т .

sm А =

-— 7

У 2 2 +

22 + 22У12+22+ 42

У2112

ABAC

угол

следует взять

острым, если ВС2< АВг +

АС2,

тупым,

если ВС2>

>АВ2+ АС2. В данном случае угол А острый.

§14. Векторно-скалярное произведение. Выясним, что можно сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно два вектора А и В, то их произведение будет скаляром. При умно жении третьего вектора С на этот скаляр мы получим вектор, коллинеарный вектору С.

Совсем иное дело будет, если мы перемножим два вектора векторно; в результате мы получим снова вектор АХ®* Предста вляется интересным исследовать дальнейшие произведения., как

скалярное, так	и	векторное, этого	вектора
на новый вектор	С.	В первом случае	мы будем

‘иметь векторно-скалярное произведение (АХ®)С» а во втором случае двойное векторное произ

ведение (А Х ® )'Х С .

•Векторно-скалярное произведение ( АХ®) С называется также смешанным произведением и обозначается (АВС) или АВС.

Для приложения векторно-скалярного произ ведения весьма важным является уяснить себе его геометрический смысл. Пусть рассматри

ваемые векторы	А, В и С	некомпланарны. Векторное		произведение
Е = А Х ® есть	вектор"Е,	по длине	численно равный	площади па
раллелограмма	OADB} построенного		на векторах А и В, и направ

ленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (рис. 107). Скалярное произведение ( А Х ® ) С = ЕС есть произведение дли ны Е первого множителя на проекцию второго вектора С на первый.

Эта проекция	С, как проекция	вектора С на перпендикуляр к пло
скости равна	расстоянию точки		С (конца	вектора С) от	плоскости
параллелограмма OADB, взятому со знаком				или — .
Построим	параллелепипед	на	векторах	А, В, С как	на ребрах.

Высота этого параллелепипеда есть абсолютная величина нашей

проекции	С,,	а площадь основания — параллелограмма				OADB —
численно равна длине вектора Е.
Итак,	произведение		ЕС = ECV по	абсолютной	величине		равно
произведению		площади	основания параллелепипеда		на его		высоту,
т. е. измеряет объем параллелепипеда.
При	этом	важно отметить, что наше скалярное произведение
дает объем		параллелепипеда иногда		с положительным,		а	иногда

188

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

[ГЛ. И

отрицательным знаком.

Положительный

знак

получается,

если

угол между векторами Е и С острый;

отрицательный — если

он

тупой. При

остром

угле

между Е и С вектор

С расположен

по ту

же

сторону

плоскости

OADBy что

и вектор

Е,

и, следовательно,

из его конца С вращение

от А к В будет

видно

так же, как и из

точки

£,

т.е. в положительном направлении

(против

часовой стрелки).

При

тупом угле

между Е и С вектор

расположен. по

другую

сторону

плоскости

OADB,

чем вектор Е,

и,

следовательно,

из

его

конца

С вращение

от

В будет

видно в отрицательном

напра

влении (по часовой стрелке). Иными словами, произведение (АВС) положительно, если векторы А, В и С образуют систему, одноимен ную с основной (взаимно расположены так же, как оси х, у, z), и оно отрицательно, если векторы А, В и С образуют систему, разноименную с основной.

Итак, мы получили следующую теорему:

Векторно-скалярное произведение (АВС) = (А Х В)С трех не компланарных векторов есть число, абсолютная величина кото рого выражает объем параллелепипеда, по строенного на векторах А, В, С, как на ребрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В, С образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в

противном случае.

Из этой теоремы следует, что абсолют ная величина произведения (АВС) = (А X В) С останется та же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители А, В, С. Что касается знака, то он будет в одних случаях положи тельным, в других— отрицательным; это зави

сит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему, одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла (рис. 108).

Порядок следования не нарушится, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же на правлении, т. е. против часовой стрелки. При этом наши множители переставляются в круговом порядке. Таким образом, получаем теорему:

Круговая перестановка трех сомножителей векторно-скаляр ного произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения:

(АВС) == (ВСА) = (САВ) = — (ВАС) = — (СВА) = — (АСВ). (33)

При каких условиях векторно-скалярное произведение, может обратиться в нуль? Очевидно: а) если среди сомножителей есть

§ 151

ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ПРОЕКЦИЯХ

1 8 9

хотя бы один нулевой вектор; б) если по крайней мере два из перемножаемых векторов коллинеарны (и, следовательно, их вектор ное произведение равно нулевому вектору), в частности:

(ААВ) =

(АВА) =

(ВАА) =

(34)

в)

если

три

вектора А, В, С компланарны

(параллельны

одной и

той

же плоскости), потому

что

тогда

А X

В J_ С

и, следовательно:

(А X

В) С =

Объединяя все три случая, можем

сказать,

что (АВС) =

если

векторы

А,

В, С компланарны.

Обратно,

пусть

(АВС) =

Тогда,,

если никакой из векторов не является нулевым

и никакие

два из

векторов

не

коллинеарны,

А X В и

С должны

быть

перпендику

лярны, так как их скалярное произведение

равно

нулю,

так

как,

кроме того,

А X В перпендикулярен к А и В,

то

векторы

А,

В, С

компланарны. Следовательно, можно утверждать, что равенство

(АВС) =

(35)

есть необходимое и достаточное условие компланарности векто

ров	А, В, С.
	Отсюда, в частности, следует, что формулы (33), доказанные
для	некомпланарных векторов, остаются справедливыми и в случае
их	компланарности.
	П р и м е р 1. Показать, что объем треугольной пирамиды равен — абсо-
	6

люткой величины векторно-скалярного произведения, составленного из трех векторов-ребер, выходящих из одной вершины.

В самом деле, объем треугольной пирамиды ABCD можно рассматривать

как	объема	параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС,	AD. как
на ребрах:
		объем ABCD— ^ \ ( A B J C J D )\.
П р и м е р		2. Раскрыть скобки в выражении
		((А + В) ( В+С) ( С + А)).
Это	выражение представляет [(А + В) X (В + С )] (C -f-А).		Векторное
произведение будет равно:

А Х В + В Х В + А Х С + В Х С = А Х В + А Х С + В Х С .

Умножая его скалярно на (С + А), получим:

( А Х В ) С + ( А Х С) С + ( В ХС ) С + ( А Х В ) А + ( А Х С ) А + ( В Х С ) А =

= (А X В) С + (В X С) А = (АВС) + (ВСА) == (АВС) + (АВС) = 2 (АВС).

§ 15. Векторно-скалярное произведение в		проекциях.		Обозна
чая через Х х, К,, Z,	проекции вектора А, через	Xt,	Z, проекции
вектора В и через	К,, Z, проекции вектора	С,	найдем	сначала

1 9 0 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1гл. Н

проекции векторного произведения

А Х

В. Согласно формуле

(30)

эти проекции

будут:-

z, Х х

У г Х г

Х х У г

У г Z t 1

z x x t

X , Уг

Х г,

Зная теперь

проекции

первого сомножителя

А Х В

и проекции

Уг, Z , второго сомножителя С, найдем по формуле (15) их скалярное

произведение:

Х х

(АВС) =

( А Х В ) С = АГ,

г .

X , + Z .

X t

1 *

Но правая часть этого

равенства

есть не

что

иное,

как

разложение

определителя

третьего

порядка

x i

**\\

Уг *\ У. Z

по элементам последней горизонтали. Итак, окончательно мы будем иметь:

(АВС) = Х г	Уг	(36)
(АВС) = Х г	Уг	(36)
X .	К. Z

т. е. векторно-скалярное произведение трех векторов, заданных своими проекциями, равно определителю 3-го порядка, составлен ному из этих проекций. При этом следует помнить, что в 1-й, 2-й и 3-Й строках определителя пишутся в обычном порядке про екции 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых векторов. Пользуясь формулой (36), мы видим, что условие (35), необходимое и доста точное для компланарности векторов А {Хх%К , Z, }, В {Х2, Уг, Za},

С { ^ „

Z s},

запишется в виде:

Z x

* г

Уг Z t

(37)

УшZ >

П р и м е р

Вычислить (АВС),

если

А {3,

4, 2}, В {3, 5 , - 1 } , С {2, 3, 5}.

Пользуясь формулой (36), находим:

(АВС) =

14.

3 5 - 1

уи

гх),

П р и м е р

Вывести условие

того,

чтобы

четыре точки

В(х2, уг, гг), С(хг, уг, z,), D(xK, у„ z4),

лежали в одной плоскости/

}

Искомое

условие равносильно

условию

компланарности

векторов

АВ,

АС, AD и,

следовательно, согласно формуле (37) может быть записано

в виде:

*2 — *1 Уг~ У\

— *1

= 0.

*« — *1 Уг — Ух *1 — 2,

Уь-Уъ

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги