книги / Техническая термодинамика.-1

поток

м ассу ДМ, которая, вы теснив газ,

займ ет объем

Д V, нуж но

соверш ить работу A L„ = p A V = pvAM , так к а к

Д V = vAM. У дельная

работа

п роталки ван и я определится к а к

/„ =

A L J A M

= pv. Чтобы

работу 6 /э, равную сум м е работы проталки ван и я dln и

технической

работы 0 /т

Ô /э = d/n + ô /т = d(pv) + ô /т.

(230)

П одставив вы раж ение (230) в (229) и учтя (228), получим

ô q = du + d(pv) + d(w 2/2) + gdh + fi /т.

(231)

д в а слагаем ы х в правой части {du + d(pv) = d(u + pv) = dh)

ôq = dft + d (w 2/2 ) + g d z + ô /T.

(232)

Это и есть

диф ф еренциальное уравнение первого

закон а терм оди ­

нам и ки д л я потока в форме Эйлера.

И нтегрируя

вы раж ение (232) и учтя, что первы е

три слагаем ы х в

правой части -

полны е диф ф еренциалы , получим

q = (h2

- Ь а) + ( w |/2 — w l/2 ) + g (z2 - z J + lj,

(233)

гд е q -

теплота, п олучен н ая рабочим телом в к ан але м еж ду сечениям и

1 и 2;

I, - соверш енная потоком м ехан и ч еская работа; остальны е

ние (226) предпочтительней, чем (20).

П ервый зак о н терм одинам ики с учетом трения

Чтобы

учесть трение в сопутствую щ ей системе

координат, доста­

точно к

левой

4actH уравн ен и я (226) добавить теплоту трения

à q r

Ôq + ô g r -

dft -

ô /' ■ d /ï- vdp,

(234)

где ôq ~

вн еш н яя теплота, которая переносится

через границу

сис­

тем ы .

о .

б /э = Л п + б /, + ô /r = d(pv) + ô /T + ô /r.

(235)

О дноврем енно с этим к левой части у р авн ен и я (229) нуж но

доба­

вить ô q r. В результате с учетом соотнош ений (227) и (235) получим

ôq + 6 q r = dh + d (w 2/ 2) + gdz + 0 /, + ô /r.

(236)

Ô Г = -

vdp = d{w2/2( + g dz + ô /t + ô /r.

(237)

И нтегрируя

вы раж ение (237) от

начального состояния

п о то к а в

сечении 1 д о кон ечн ого в сечении 2, получим

Рг

V =

S vdp =

+ g (z 2 “

Zl) + /Т + lT-

(238)

Pi

у р авн ен и е (237) и ли его и н тегральн ая форма (238)

н азы вается у р а в н е ­

н и ем баланса

м ехан и ческой энергии . Л евая часть у р авн ен и я (238)

п р ед ставл яет

собой внеш ню ю

работу, которую

м ож ет соверш ить

эл ем ен т п о то к а м ассой в одиг

.илограмм , перем ещ аясь м еж д у сече­

Pi

несж им аем ой среды

назы ваю т интегралом Б ернулли . Д ля течения

(р = const) интеграл Б ернулли равен

Рг

$ dplç> = (p t - р 2)/р ,

(240)

Pi

(Р х “ Р 2)/Р = (н'2 _

w i ) / 2 + lT + b + ë (z 2 - Zj.)-

(241)

При отсутствии

сил трен и я из последнего соотнош ения

следует

зак о н сохран ен и я энергии д л я несж имаемой ж идкости

В дальнейш ем

нам

понадобится

второй

закон

терм одинам ики,

сф орм улированны й

д л я

подвиж ной

сопутствую щ ей

системы коорди ­

нат. И спользуя у р авн ен и я (59) и учтя, что

теплота, п од вед ен н ая к

п отоку, р авн а сум м е bq + ô q r, м ож но записать

d s - b q j T + Ôqr/T .

(242)

массы, имею т д ело с закры той терм оди нам ической системой.

В н е­

подвиж ны х координатах вы деленны й участок к ан ал а м еж ду

сече­

ниям и 1 и 2 п редставляет собой открытую систему.

ци ал от обеих частей этого равенства, найдем

i »

= ^

+

* 2 -

+

Æ

- .

W

f

V

(243)

JÉf

P

W

/

Соотнош ение

(243)

вы раж ает

собой

зак о н сохран ен и я

массы

в

потоке и назы вается

уравн ен и ем

неразры вности. Из у р авн ен и я

(243)

следует,

что

изм енение

м ассового расхода в к ан ал е заданного

про ­

ф иля

(с

известны м

закон ом и зм ен ен и я сечения к ан ал а

по длине)

сопровож дается к а к

и зм енением

плотности

рабочего тела,

та к и

его

скорости. В стационарном п отоке изм енение

расхода газа

dM м ож но

осущ ествить

тольк о

за

счет п одвода

или отвода массы через прони­

цаем ы е

стенки

к ан ал а. Если стенки

к ан ал а

непроницаем ы , то в

ста­

ционарном потоке

dM = 0. У равнение

неразры вности (243) приним а­

ет ви д

dp

dw

df

_

dw

df

dv

(244)

p

+

W +

/

W +

/

V

или

в

интегральной

форме M = pw f =

wf/v. В стационарном потоке

уравн ен и е неразры вности д л я

стационарного потока м ож но

предста­

вить в ви д е

М - w f/v = w t f i /v 1 = w2f 2/v 2 = const.

(245)

У равнение (245)

связы ваю т

парам етры потока в произвольном

сечении площ адью /

с парам етрам и во входн ом сечении 1 и

вы х о д ­

ном 2.

зн ачен и е им еет скорость

зв у к а . Это обусловлено тем , что некоторы е

особенности течен и я газа

определяю тся его

сж имаемостью . При с к о ­

р остях п отока нам ного м еньш их скорости з в у к а газ ведет себя

п р ак ­

ти чески

к а к н есж и м аем ая

среда, с ростом

скорости эф ф ект

сж и­

м аем ости

начинает играть

значительную роль. Это приводит

к су­

щ ественном у различию в поведении

д о зву к о вы х и

свер х зву к о вы х

потоков.

З в у к п редставляет собой процесс

распространения

м алы х во зм у ­

нение д авл ен и я в зву к о во й

волн е м ало

по сравнению с сам им

д а в ­

лением ).

В хорош ем

приближ ении

изм енение парам етров вещ ества в

зв у ­

к овой во л н е

м ож но считать

обратимым

адиабатическим процессом

(5 » const).

а -

V (д р /д /),.

(246)

С учетом того, что р ■ 1/v, запиш ем это уравнение в ви д е

а -

V —V2 (a p /d v ),,

(247)

о » yj kpv.

(248)

и д л я ж идкостей . С учетом уравнений

М енделеева

- К лапейрона

р у = К Г и з соотнош ения (248) получим

а = V kRT .

(249)

Отсюда следует, что д л я идеального

газа скорость

зв у к а пропор­

скорость з в у к а будет тем

больш е, чем м еньш е

м о л ек у л яр н ая м асса

данного газа.

С равнение вы раж ений

(248) и (249) п о зво л яет

заклю чить, что ско ­

М аха

м , равное отнош ению

скорости потока

w

к

скорости зв у к а

a : f â

= w ja.

„

П р и М <

1 поток я в л я е тс я

д о зву к о вы м ,

при М

>

1 -

свер х зву к о ­

вы м , М = 1 -

критический реж им .

Принцип обращ ения воздей стви й

Этот принцип дает м етоды

у п р авл ен и я

скоростью

потока. Б удем

считать, что

состояние системы оп ределяется

удельны м

объем ом и

P - p(v, s). Полный диф ф еренциал д ав л ен и я р авен

dp = (àp /d v )sdv + (д р /ds) vds.

(250)

При р = const (dp = 0) из этого у р авн ен и я следует

(д р /ds)y = - (d p /d v )s(dv /d s)p .

(251)

П роизводную (dv/ds)p найдем , считая v= v[T(s)]

(dv/ds)p = (d v /dT )p(dT /ds)p .

(252

И спользуя у ж е и звестное нам соотнош ения (dT /ds)p = Т/ср и

фор­

м у л у (252), преобразуем вы раж ение (251) к ви д у

(dp/ds)y = - (d p /d v )s(dv/dT)p(T/cp).

(253)

П одставив (d p /d s)v из вы раж ен и я (253) в (250), получим

dp = (d p /d v )y [d v - (dv/dT )p(T /cp )ds].

(254)

В ходящ ая в это вы раж ение п рои зводн ая (ô p /d v )v м ож ет

быть

най­

дена из уравн ен и я (246)

(ô p /av )s = - ( o /v ) 2,

(255)

диф ф еренциал dv находим из у р авн ен и я неразры вности (243)

dv = v (d ///+ dw /w - dM/М ),

(256)

df

dw

d M ___ 6<?+6<7г

(257)

- vdp = а 2

+ w

Й

» \ ô r |p

f

T

Л евая

часть этого р авен ства п редставляет собой работу ô /' = - vdp,

ко то р ая

вход и т в у равн ен и е баланса м ехан и ческой энергии (237).

(l/v )(ô v /d r)p = а в

(257) п редставляет собой коэф фициент объем ного

расш ирения,

после

неслож ны х

алгебраических

преобразований

по­

лучи м

( м 2 - и —w

= 4 f-

dM

ôq -

ô q r -

М

V - 6 lr ~ - j r d z ,

(258)

гд е M = w l a -

число М аха.

Вы ясним ф изический

смы сл

вы раж ен и я (258). В п равой части

ра-

его скорости dw. Эти во зд ей стви я

имеют

следующ ую природу (по

п орядку): геом етрическое воздей стви е

- за

счет и зм енения сечения

кан ал а df;

расходное (массовое) -

за

счет

и зм енения расхода dM ;

тепловое -

за счет внеш него потока теплоты àq ; воздействие трени­

(М 2 - 1){dw/w) = I o t.H d R W ,

(259)

1=1

гд е

d R ^

- воздей стви е на скорость

потока (df, dM, à q , à q r, ô/t , dZ);

a W

-

коэф ф ициент воздействий

(с соответствую щ ими зн акам и

быть заданы произвольно dRi ^ 0.

(Исключение составляет трение,

п о ск о л ьк у à q T> 0.) В связи с этим

каж дое из воздействий и лю бая

тельно, пусть Z a W rfR W

< 0, тогда n p n jtf

< 1 (до зву ко во й поток)

dw >

0, т.е. поток будет ускоряться, при М >

1 (свер х зву ко во й поток)

dw <

0, поток будет торм озиться. Т аки м образом, одни и

те ж е во з­

дей стви я ускоряю т д о зву к о в о й и торм озят

свер х зву к о во й

потоки. В

случае 2 а W d R ^ > 0 карти н а

изм енится

на противополож ную . Из

вы раж ен и я (259) видно,

что при

заданной

ком бинации воздействий

им скорости з в у к а

обратить во зд ей стви я (сменить зн ак сум м ы

в

вы раж ении (259) на

противополож ны й). В этом состоит принцип

об­

исчерпы вает

всех

возм ож ностей

воздействий .

Н апример,

на

поток

плазм ы возм ож ны

во зд ей стви я

электри чески х

и м агнитны х

полей.

Х им ические

реакц и и ,

ф азовы е

и структурны е

превращ ения,

и злу ­

чение, у л ь тр а зв у к

и

т.д. м огут

такж е играть

роль

возд ей стви я

не

тольк о на скорость, но и на д руги е параметры потока.

П ринцип

обращ ения

воздействий сф орм улирован

советским

уч е ­

ным Л А .В улисом .

Сопло и диф ф узор

Сопло -

это кан ал ,

предназначенны й д л я

у скорен и я

газового

потока.

Д иф ф узор предназначен д л я торм ож ения

п отока с

целью у в е л и ­

ч ен и я его д ав л ен и я . У читы вая принцип

обращ ения

возд ей стви й ,

ср >

0, а - ( l/v )( d v /d r) p > 0

(260)

(ср >

0 всегда).

П рименим зак о н обращ ения во зд ей стви я

(соотнош ение (258)) д л я

(М3 - l)d w /w « -(< x /c p )ô g .

(261)

В силу неравен ств (260) из у р авн ен и я

(261) следует, что в

д о зв у к о ­

во м п отоке (М <

1) п о д во д теплоты

(ôq

> 0) приводит к ускорению

потока, а отвод -

к его тормож ению .

^

С оответственно в св ер х зв у к о в о м

п отоке (М > 1) п од вод

теплоты ,

а отвод -

к его ускорению .

На этих вы во д ах

основан

принцип

устройства

т а к н азы ваем ого

теп лового

соп ла -

трубы

постоянного

сечения,

п оток в

которой

у ск о р я ется за счет

п о д во д а

или отвод а

теплоты через стен ки трубы

(рис. 40).

С ечение,

в

котором

скорость

п отока достигает

скорости

то л ьк о

и звн е,

но так ж е

за счет экзотерм и чески х реакц и й ,

происхо ­

д я щ и х в газе.

Д л я

сл у ч ая

теч ен и я в

горизонтальной трубе постоянного

сечен и я

при

отсутствии тр ен и я и внеш него теплообм ена (ôq = 0), но при н ал и ­

чии техн и ческой работы п олучаем и з вы раж ен и я (258)

(М 3 -

l)d w fw - - ( 1 / о 3) 0 /,.

(262)

Из

этого соотнош ения следует, что в

рассм атриваем ы х у с л о в и я х

\

\

\

\

/ /

/ /

/ /

/

/

/

/

W

W

W

Q

Q

мер, вращ аю щ ий коЯесо турбины , ускоряется (dw >

0). П одвод техни ­

ческой работы к п отоку извн е, например от колеса ком прессора,

будет

приводить к его торможению . Соверш ение над сверхзвук овы м

пото­

ко м (М > 1) технической работы будет приводить к его ускорению , а

соверш ение потоком работы - к его замедлению .

На этих принципах основана работа так

назы ваем ого

м еханичес­

кого сопла - теплоизолированной трубы

постоянного

сечения,

в

которой д о зву к о в о й

поток, движ ущ ийся без

трения, уско р яется

за

счет отдачи работы

на лоп атках турбинны х

колес, размещ енны х

в

(М2 -

1 )dw lw = - [а/Ср + l/o a]ô q r.

(263

С

учетом вы раж ен и я (260) из

этого

соотнош ения следует, что,

п о ско л ьку величина ô q r всегда больш е

н у л я, то д о зву ко во й поток

(М <

1) с трением уско р яется (dw >

0). Вы вод не я вл я ется неож идан­

ного сечен и я поток м ож ет у скоряться

до зву к о во й

скорости,, но

перейти через скорость зв у к а не мож ет,

п оскольку д л я

этого нуж но

И спользуя принцип обращ ения воздействий, мож но

сконструиро­

вать расходное или м ассовое сопло. Е.сли в уравнении

(258) все воз-

\

*

т н

~1>техн

*

■'V

■. г •

дей стви я, кр о м е dM, равны нулю , то (Мг -

l)dw /w = - ( dM /M ). Отсюда

ви дн о, что д л я

получен и я с вер х зву к о вы х

скоростей в

цилиндричес­

ком расходном

сопле нуж но

на начальном

участке до

критического

сечен и я подводить газ, а за

ним - отводить. О чевидно, этот случай

сопла, представляю щ ие собой

кан алы перем енного сечения.

Если

на

поток осущ ествляется тольк о

геом етрическое

воздей стви е

df,

то

из

вы раж ен и я (258) следует:

(М2 - I )< /*/» = dr///.

(264)

Из этого соотнош ения ви д н о,

что д л я д о зву к о в о го

сопла (М <

1,

dw > 1) проходное сечение долж н о ум еньш аться (df <

0), т.е. сопло

долж но

быть суж иваю щ им ся.

С вер х зву ко во е

сопло

долж н о

быть

расш иряю щ им ся (d f> 0).

Д л я

у ск о р ен и я д о зву к о в о го

п отока до. с вер х зву к о вы х скоростей

Г еом етрические соп ла ш ироко

использую т в энергети ке. Они я в ­

ляю тся элем ентам и кон струкц и и

п аровы х турбин

электростанций,

газо вы х турёи н , р еакти вн ы х и ракетн ы х д ви гателей

и т.д . Г еом етри ­

Д л я

п о л у чен и я

с в ер х зв у к о в ы х

скоростей возм ож но

п рим енение

ком би н и рован н ы х

сопел,

у которы х д о зв у к о в а я часть

берется

от

одного

сопла (теплового,

м ехан и ческого

или

геом етрического),

а

с в е р х зв у к о в а я - от другого . Н априм ер, в

кач естве д о зв у к о в о й

части

м ож но

и сп ользовать суж иваю щ иеся геом етри чески е сопла, а

в к а ­

честве

с в е р х зв у к о в о й -

трубу

постоянного

сечен и я

с п одводом