книги / Техническая термодинамика.-1

представляю т собой коротки е кан алы и

вр ем я пребы вания

в них

потока незначительно, то теплообм еном

м еж ду стенкам и к ан ал а и

потоком м ож но пренебречь, т.е. процесс

истечения м ож но

считать

Г = * | / 2 - * * / 2 .

(265)

* 2 = V 2 /' + * f .

(266)

* 2 = У 21' = л!2{Ь1 - h 2).

(267)

к

Р 2

(fc-l)/fc

/ '= & ! - h 2

V . - Р ' * '

I -

(268)

Р »

р азован и е энтальпии

рабочего тел а в кинетическую энергию посту­

пательного д ви ж ен и я потока.

Разность энтальпии

(ft i - ft 2) в ди аграм м е ft - s назы ваю т распола­

вы раж ение д л я оп ределен и я

скорости истечения w 2 через

задан н ы е

д ав л ен и я на вход е р i и на вы ходе р 2 из кан ала:

W2 f

к

1 -

i(fc - i)/k

(269)

2 к - 1

P lV i

p t

П одчеркнем , что эта ф орм ула не учиты вает трения.

С екундны й

расход газа

через любое

сечение сопла

м ож ет быть

вы числен по уравнению неразры вности

(245). П одставив

в

ф орм улу

(245) w2 из вы раж ен и я (259) и учтя, что в

изоэнтропическом

процессе

P i A - P i À , найдем

М =

Pi

Ра 2/к

Ра (fc+ l)/fc

(270)

Pi

Pi

Эта и звестн ая ф орм ула

Сен-Венана и

В ентцеля бы ла

получен а в

М = / J l ^

- ^ i- (P 2 A _

p(fc + i)/fcj

(271)

На

рис. 43

п о к азан а

эта

зависим ость. К ак

следует

из вы р аж ен и я

(270),

расход

у вел и ч и вается

с ум еньш ением

д ав л ен и я

среды р 2 (на­

ле достиж ения

м ак си м альн ой

величины расход остается п остоян ­

ны м (п р ям ая I -

т

на рис. 43), равны м Мт а х , остается постоянной и

соответствую щ ая этом у расходу

скорость. Т акое п оведен и е ф ун кц и и

М (Р ) я в л я е т с я

следствием

зак о н а обращ ения

воздействий . К ак у ж е

отм ечалось, на

основании соотнош ения

(263) в

суж иваю щ ем ся сопле

н еп одви ж н ое рабочее тело

(wx

= 0 < , а)

м ож но

разогнать то л ьк о до

скорости,

равн ой

скорости

з в у к а (М =

1). Перейти через скорость

з в у к а , не

и зм ен и в

хар актер а

во зд ей стви я

(см енив суж иваю щ ееся

Е сли учесть, что д л я и деального газа Р ^ х - R T .

и в соответствии с

у равн ен и ем обратим ой адиаба1ы (123) (P 2 k /P i)^

~

~

нии д авл ен и я

за соплом

р 2 к давлению

перед кан ал о м р г больш е

критического

P = p 2 / p x

>

Ркр = P2k/Pi- В этом случае скорость исте­

ч ен и я о п р ед еляется по

уравн ен и ям (267)

и (269). Д л я оп р ед ел ен и я

п о ско л ьку зн ачен и я энтальпий

и

h 2 м ож но л егк о найти

по д и аг­

рам м е h — s или взя ть из справочны х таблиц . А налогичны м

образом

поступаю т и д л я

д р у ги х реальны х

вещ еств. При задан н ом м ассовом

расходе рабочего

тела М

вы ходное

сечение сопла о п р ед еляется и з

у р авн ен и я неразры вности

(245) и ли

по ф орм уле (270). Если

сечение

К ритическое д авл ен и е

при этом

о п р ед еляется и з

вы раж ен и я (272),

к а к Р2К = PicpPiРасчет процесса истечения осущ ествляю т по тем

ж е

сам ы м ф орм улам (245)

и (267) -

(270), зам ен и в в

них парам етры

в

вы ходн ом сечении (с и н дексом 2) на кр и ти чески е -

Р2к> ^2ю v2k* О тме­

тим ,

что к р и ти ч еск ая

скорость

истечения и

м акси м альн ы й расход

м о гу т

быть вы числены

так ж е по ф орм улам

(273),

(274). О бычно

и х

чем д ав л ен и е окруж аю щ ей среды

р 2, часть располагаем ой работы

(площ адь сл ев а от у ч астк а адиабаты

(2к - 2)) и расп олагаем ого тепло-

перепада (й2к “ Л2) не

используется

(/'к

<

/ )• Расш ирение

потока

от

Р2к Д° Р2 будет идти за соплом с

больш ими

потерям и

кинетической

энергии за счет диссипации при об*

разовании

ви хрей . Т аки м

образом ,

при

P

= P2/P j <

РКр

энергетически

вы годно

использовать

ком би ниро ­

ван н ое

сопло Л аваля

(см. рис.

42),

обеспечиваю щ ее

полное

п ревра­

щ ение

располагаем ой

работы

/' и

*^=52 = COnst

теплоперепада (ftt

-

h 2) в

ки н ети ­

сечении $ = 1 (wK = о). В связи с этим, к а к следует из уравн ен и я нераз­

рывности (245), расход газа через

любое сечение сопла

всегда

имеет

м акси м альн ое значение

Л^шах ~ / т т ^ 2 к / у2к

(275)

Процесс течен и я в горлови н е

сопла рассчиты вается

п о .ф орм улам

критического

реж им а (так ж е, к а к критическое истечение

из

суж и­

ваю щ егося сопла). На основании уравн ен и й (267), (269) им еем

w2k - V 2 rK = J

P i vi

Р2к \(fc-D /fc

(276)

к + 1

J

ИЛИ

” 2K = \/2 (ft2K- f t 2).

(277)

П оследней

ф орм улой обычно

пользую тся д л я водян ого

пара и

д р у ги х реальн ы х газо в . Энтальпию Л2к

определяю т по таблицам (по

Р2к = P i Р и 52к = s 2) и ли по ди аграм м е ft -

s (см. рис. 44).

основании

у р авн ен и я (269)

по давлению среды

р 2 . Если

и звестен

расход М,

то из у р авн ен и я

неразры вности (275)

н аходят

/ min и / 2 .

оп ределен и я

к>2К и ЛГтах м ож но

использовать такж е ф орм улы (273) и

(274). Расход

M max = Si м ож но

вы числить и по ф орм уле (270), зн ая

(см. рис. 42) / = (D -

d )/2 tg (a/2 ), гд е D - диам етр вы ходного

сечен и я

сопла; d - диам етр критического (миним ального) сечения; а

- у го л

конусности, которы й

вы бирается из у сл о ви я безотры вности

течен и я

(а = 11 - 1 2 е).

отличается от д авл ен и я среды , то

такой

реж им

истечения

назы ваю т

нерасчетны м . К ак правило, нерасчетны й

реж им

связан с недорасш и-

рением

струи,

которое возн и кает

тогда,

к о гд а

площ адь

вы ходн ого

сечения

сопла

Недостаточна д л я

расш ирения

потока до

д авл ен и я,

равного

давлению среды . В этом

случае

вели чи н у Р вы числяю т по

больш ом вы ходном

сечении

сопла. В сечении сопла, в котором д а в ­

ление

потока сравн и вается

с д авл ен и ем

среды , происходит отры в

струи

от стенок,

сопровож даю щ ийся

скачкам и уп лотн ен и я. В

ш ается

до зву к о в о й . В

расш иряю щ емся

сопле

поток будет зам ед ­

л яться . М ассовый расход

потока^ через сопло Л аваля

на нерасчетны х

реж им ах н е м ен яется, так

к а к

он о п р ед еляется у сл о ви ям и теч ен и я в

кри ти ческом

сечении.

О днако

скорость

истечения

при работе

на

нерасчетны х реж им ах будет м еньш е, чем на расчетны х.

Расчет истечения с учетом трения

Д ействительны й процесс истечения

сопровож дается трением . Его

так ж е

м ож но

считать

адиабатическим .

О днако

в

соответствии

со

вторы м

зако н о м терм оди н ам и ки (242), адиабатическое истечение

с

трением не будет изоэнтропическим , та к к а к

п о д во д теплоты трен и я

в ед ет к возрастанию

энтропии

(Д5Г > 0).

В силу необратимости

на

д и аграм м е h -

s (см. рис. 44) процесс

с трением

изображ ен

у сл о вн о

п ун кти ром . З а счет потерь на

трение

Д /г действительны й

распола­

гаем ы й

теп лоп ереп ад

l'g будет м еньш е, чем

в

изоэнтропическом про­

цессе Vg = V -

Д /г. К ак ви дн о из диаграм м ы h -

s, Д /г = h2g -

h 2. Если

тем самы м определить vig, tig, s ig и т.д.

О пределить потери теплоперепада

на трение

чисто теоретическим

путем не

п редставляется возм ож н ы м 1. В связи

с этим при

расчетах

А /г использую тся полуэм пирические

методы .

На основе

опытных

данны х

оп ределяется коэф фициент

скорости,

равны й отношению

кого истечения w2 : Ф =

П оскольку истечение с трением я в л я ­

ется

адиабатическим ,

из уравнений первого закон а терм одинам ики

(233),

сп раведли вого

к а к

д л я потока с трением, так и без него, и

баланса м еханической энергии потока (265) следует:

ïg = h j - h2g = н - у 2 -

w 2/2 .

(278)

w2g = ф и'з, получим

Д /г = / ' - l'g - h ig - h 2 = ( l - Ф2)н^1/2 = ( 1 - Ф2)Г

(279)

а /' оп ределяется по изоэнтропическом у теплоперепаду Г =

- ft2.

Д ействительно, расход газа м ож ет быть найден по уравнению

нераз­

Температура адиабатного торм ож ения потока

Из первого

зак о н а терм оди нам ики д л я адиабатического

потока

(<ï = 0, /t = 0) z 1 = z 2) (233) следует

h 1 + w 1/2 = h 2

+ w 2/2 .

(280)

Если

поток

заторм озится какой -либо преградой w2

= 0,

то его

к и н ети ч еская энергия перейдет в энтальпию-

h 2 = h 1 + 0 ,5 w f,

(281)

гд е h 2 -

энтальпия торм ож ения. Т ем пературу, которую

приобретает

н и я Га.т. Д л я идеального газа по закон у Д ж оуля

р ср Г, h 2 = ср Га,т.

Учтя это в вы раж ении (280), получим :

тельно равны (Wj

545 w 2), из вы раж ения (280) следует, что в процессе

дросселирования

энтальпии н е-и зм ен яю тся

/ix

h 2. О тметим, что

последнее равенство вы п олн яется только

д л я

сечений, достаточно

В 1852 г. в опы тах Д

ж оуля и Томсона было

обнаруж ено явл ен и е

изм ен ен и я тем пературы

при дросселировании

реального газа, полу­

Процесс дросселирования

рабочего тела

сопровож дается работой

п ро тал ки ван и я

/п = p 2 v2 -

p 1v1.

При

дросселировании

конечное

давлен и е, всегд а

м еньш е

начального

р 2

<

р х, а удельны й

объем v2

всегд а больш е vx. О днако

разность p 2v2

-

p t vt м ож ет быть полож и­

+ p 2 v2 следует, что работа п роталки ван и я

/п соверш ается за счет

внутренней энергии рабочего тела: /п = p 2v2 -

p xvx = ых - u 2 = - A u .

I n - 0, A u = 0.

Если

сж им аем ость

реального

газа

больш е,

чем

идеального,

то

p 2 v2 >

P i Vu /п > 0 и и 1(Т 1) > и 2(Т2). В связи с этим Т х > Т2 и дроссе­

ли рован и е сопровож дается сниж ением

тем пературы . В случае м ень­

ш ей сж им аем ости, чем у идеального газа, p 2 v2 < р х vx, поэтому /п <

0,

u i(T i)

< u 2(T2 ), 7 \ <

Г2 и дросселирование

будет

сопровож даться

повы ш ением тем пературы .

С

м о лек у л яр н о й точки зрен и я

характер и зм енения тем пературы

при

дросселировании

зависит от

того,

к а к и е

силы

взаи м одей стви я

него расстоян и я м еж ду ними при расш ирении

(v2 > vx) нуж но совер­

шить работу против этих сил. П оскольку эта

работа соверш ается за

н ая карти н а и газ будет нагреваться.

И зм енение тем пературы А Т = Т2 - Т1 в процессе дроссели рован и я

назы ваю т интегральны м дроссель-эф ф ектом . Эта вели чи н а

будет тем

больш е, чем значительной перепад д ав л ен и я Д р = р 2 - р х.

П роизводную (дТ/др),- = а,- назы ваю т коэф ф ициентом

Д ж оуля -

Томсона или коэф ф ициентом адиабатного дросселирования.

З н а я а,- = а,(р ), м ож но найти интегральны й дроссельны й эф ф ект

Ра

Д Т = Г 2 - Т х = 5 М р .

(283)

Pi

дифф еренциальны й дроссельны й эф ф ект

dT = a ,d p .

(284)

Д ля

вы числения

коэф ф ициента

адиабатного

дроссели рован и я

а,- восп ользуем ся тем , что при дросселировании h =

const и,

сл ед о в а ­

тельно, dh - 0. В соответствии с уравн ен и ем (86) им еем

dh = cpd T - [r(d v /ô T )p - v]dp = 0.

Из этого вы раж ен и я и соотнош ений (284) находим :

T(dv/dT)„ —V

Т(ду/дТ)„

- V

d T = ------------ -—

dP> « i -------------- :---------

(285)

П роизводная (ôv/ôT )p вы чи сляется

при р = const,

т.е. д л я

изобар ­

ного процесса. Если газ идеальны й, то pv = R T ,

(ôv/ôT )pi?/p и T{dv/dT)p - v - R T lp - v = v - v = 0 .

Т аки м

образом , д л я и деального газа

а,- = (дТ /др) i = 0, поэтом у к а к

вы раж ен и и

(285) и

зави си т от тем пературы

рабочего

тела. Чтобы

п роком м ен ти ровать

это,

во сп о л ьзу ем ся ди аграм м ой T -

v (рис. 46).

В соответствии с у равн ен и ем состояния p v -

R T изобары

и д еальн ого

га за в T -

v-ди аграм м е -

п рям ы е (лини я 0 -

/). П оскольку реальн ы й