книги / Техническая термодинамика.-1

V

s

Рис. 13. Диаграммы р —» (в), Г - 5 (б) адиабатного процесса

T2I T , - (V ,/v2) * - 1, T J T l = ( p , / P l ) < * - Щ

(123)

окруж аю щ ей бреды энергию

в форме работы, что приводит к у вел и ­

чению его вн утрен н ей энергии, а следовательн о, и тем пературы .

К ак

бы ло отм ечен о вы ш е,

изм енение энтропии в обратимом адиа­

батном

п роцессе р авн о

нулю

(A s = 0, s * const), поэтом у адиабатны й

процесс н а д и агр ам м е

T - s и зображ ается прям ой, параллельной оси

из у р а в н е н и я

п ер во го за к о н а

терм оди н ам и ки ô q • dh

-

vdp. Пос­

к о л ь к у д л я

изобарн ого

процесса

dp ■ 0, bq

■ dh , т.е.

в с я

теплота,

п о д в ед ен н ая

к

систем е,

идет

н а

и зм ен ен и е

энтальпии,

коли чество

теп л о ты

в

и зо б ар н о м

п роц ессе

п ри

п е р е х о д е

и з

со с то я н и я

1 в

сос­

то я н и е 2 р а в н о разн ости эн тал ьп и й h 2 u h 1:

q = h 2 -

h

1.

(125)

С д р у го й стороны , и з п ер во го за к о н а тер м о д и н ам и к и

в

ф орм е

(74)

при р = const с у ч ето м (79) сл ед у ет

à q = (d h /d T )pd T = c pdT.

И н тегри рован и е этого р ав ен ств а п ри ср = const д ает

Q - с Р(Г 2 -

T J .*

(126)

И зм ен ен и е

вн у тр ен н ей

эн ерги и

систем ы

в и зо б ар н о м

процессе

о п ред еляю т и з у р а в н е н и я

A u =

и 2 -

u 1 = ( h 2 -

ftx) -

p (v 2 -

vx).

(127)

Ф орм улу

д л я

и зм ен ен и я

эн тропии п о л у ч и м и н тегр и р о ван и ем

вы р аж ен и я (85) при р = const, ср = const

A s -

s 2 -

s t = ср1п(Г2/ T t ).

(128)

Т ак и м

образом , тем п ер ату р н ая зави си м ость

эн троп и и

д л я

изобары

и м еет логари ф м и чески й х ар ак тер .

Ф орм улы

(124) -

(128) сп р авед л и в ы

д л я лю бы х

и зо тр о п н ы х тел . В

сл у чае п ерем ен н ой теп л о ем к о сти в

у р а в н е н и я х (126) и (128) и сп о л ьзу ­

ют средн и е зн ач ен и я ср.

Д л я

и д еал ьн о го

га за и з у р а в н е н и я

со сто ян и я

сл ед у е т,

что

при

р =

const

парам етры

с в я зан ы

м еж д у

собой

за к о н о м

Г ей -Л ю ссака

v /T - const, п оэтом у

(129)

Н а д и агр ам м е

р -

v этом у п роц ессу

со о тв етству ет п р я м а я , п ар ал ­

л е л ь н а я оси у д ел ь н ы х о б ъ ем о в

(рис. 14, а). Е сли г а з

п о л у ч ает теп л о ту

(Я ~

0),

то

его

тем п ер ату р а п о вы ш ается,

и п р о п о р ц и о н ал ьн о

ей

в о з ­

растает у д ел ь н ы й объем ,

т.е. п рои сх о д и т

и зо б ар н о е

р асш и р ен и е

газа.

При о тво д е теп лоты тем п ер ату р а п ад ает, га з сж и м ается .

П о к азател ь

п оли троп ы

(104) д л я

этого

п роц есса

(с„ =

ср ) р а в е н л =

= (ср -

с р )/(ср -

с у) = 0. Работу и зо б ар н о го п роц есса рассчи ты ваю т

по

уравн ен и ю

(124) и ли ,

с у ч ето м

у р а в н е н и я с о сто я н и я pv =

RT ,

п о

фор*

м у л е

(130)

Т еп л о та

и зо б ар н о го п роц есса и д еал ьн о го г а за

о п р е д е л я е т с я выра*

ж ен и ем (126).

И зм ен ен и е

в н у тр ен н ей

эн ер ги и

и

эн тал ьп и и

и д е ал ь н о го

г а з а

в

P

a

T

Рис. 14. Диаграммы p —y (a), Г —s (б) изобарного процесса

изобарном

п роцессе

рассчиты ваю т по

ф орм улам (90): Д и = су(Т2 -

- Т 1), A h

= ср (Т 2 -

Т 1), при перем енны х теп лоем костях использую т

средние зн а ч е н и я су, с р .

Из у р а в н е н и я (128) следует, что в диаграм м е

T -

s изобарный про­

цесс и зо б р аж ается

логариф м ической

кр и во й

(рис.

14,

б). П одвод

теплоты ,

сопровож даю щ ийся увели чен и ем

энтропии,

приводит к

повы ш ению тем п ературы , а о тво д теплоты -

к

уменьш ению темпера­

туры .

рабочего

тел а, н ах о д ящ его ся в

геом етрически закры том

резервуаре

н еи зм ен н ого объем а).

Работа

расш и рен и я системы

в изохорном процессе / =

S pdv ?= 0,

q = A u - u 2 - u x.

(131)

м ож ет бы ть н ай д ен о и н тегри рован и ем вы раж ен и я

(86) при v = const.

Если теп л о ем к о сть н е зави си т от тем пературы , то

Д и = и 2 - и % -

Рис. 15. Диаграммы р -

» (о), Г - s (б) изохорного процесса

бы ть н ай ден о в р езу л ьтате и н тегр и р о в ан и я

у р а в н е н и я

(84)

при

v =

« const, c v ■ const

A s ms 2 - s 1 = cyln (T 2/ T 1).

(132)

П олученны е вы ш е ф орм улы

сп р авед л и в ы

д л я

га зо в ,

ж и д к о стей и

тв ер д ы х тел . При

п ерем ен н ы х

те п л о е м к о стя х в

н и х и сп о л ьзу ю т

с у.

В соответстви и

с у р авн ен и ем со сто ян и я

и д еал ьн о го

га за

pv =

R T

с в я зь м еж д у п арам етрам и р я

Т п ри v = const

в ы р аж ается

зак о н о м

Ш арля р /Т ® const, и з ко то р о го сл ед у ет соотнош ение

p J p ^ T j T , .

(133)

П овы ш ение тем п ературы и

д еал ьн о го га за (н агр ев в со су д е п

остоян ­

ного объем а) в с егд а

п ри вод и

т к

росту д а в л е н и я , а п о н и ж ен и е

тем п е­

ратуры (о х лаж д ен и е

газа) -

к

падению д а в л е н и я . Н а д и агр ам м е

р - v этот процесс и зо б р аж ается п р ям о й , п ар ал л ел ь н о й оси д авл ен и й

и

проп орц и он альн о ей

растет д а в л е н и е .

Б ели

га з о тд ает

теп лоту

(q

< 0), то тем п ер ату р а

его п он и ж ается, что со п р о в о ж д ается

пропор ­

ц и он альн ы м ум ен ьш ен и ем д а в л е н и я .

П о к азател ь политропы

(104) д л я и зо х о р н о го

п р о ц есса

и д еал ьн о го

га за (с„ - с ,)

обращ ается в

б ескон ечн ость л

= (cv - ср)/(с¥ -

су) = ± » .

К а к бы ло

п о к а за н о вы ш е, р аб о та и зо х о р н о го

п роц есса

и д еал ьн о го

газа р а в н а нулю

(/ * 0). Д л я вы ч и сл ен и я к о л и ч ес т в а теп л о ты , и зм ен е ­

н и я вн у тр ен н ей

эн ерги и , эн тальп и и и энтропии

и зо х о р н о го

процесса

р еал ь н ы х вещ еств . Д л я о п р ед ел ен и я и зм ен е н и я

эн тал ьп и и

в

этом

с л у ч ае

м о ж н о

в о сп о л ь зо в ать ся за к о н о м Д ж о у л я

A h = h 2 -

h x =

"

— ï \ ) .

Из ф о р м у л ы

(132) сл ед у ет, что н а д и агр ам м е T -

s и зо х о р н ы й

про­

цесс т а к ж е , к а к и и зоб арн ы й , и зо б р аж ается л о гар и ф м и ч еск о й

к р и в о й

(см . рис. 15, б), к о т о р а я и д ет к р у ч е , чем и зо б ар а . Т а к к а к с у <

ср при

/ = $ pdv.

1

Д ля вы ч и сл ен и я этого интеграла

необходим о знать зависим ость

д а в л е н и я от уд ельн о го объем а либо

и з конкретного уравн ен и я сос­

п р ед ставл яется

возм ож ны м .

К оличество

теплоты ,

подводим ой

к

систем е

(или

отводи м ой

от

системы ),

в

изотерм ическом

процессе

о п р ед ел яется

из м атем ати ческого

вы раж ен и я второго

зако н а терм о­

д и н ам и к и

à q = Tds. Т ак к а к Г = const, то интегрируя это вы раж ение от

н ачальн ого (/) д о кон ечн ого (2) состояния, получим

q « T ( s a

- s J .

(134)

И зм енение

энтальпии

м ож но

определить, располагая табличны ми

дан н ы м и

в

со стоян и ях

1 и 2

A h

=

h 2 -

h t . З н а я величины

р и

v в

состо ян и ях 1 и

2,

м ож но

рассчитать изм енение

внутренней

энергии

à u

= u 2 -

u 1 = ( h 2 -

h j -

{pa v2 -

З атем

и з у р авн ен и й

п ервого

зак о н а

терм одинам ики определяю т

работу и зотерм и ческого процесса:

/=

q - A u ,

l ^ q - A

h

-

(135)

Д л я и д еальн ого газа связь м еж ду р и v при постоянной тем пературе

вы р аж ается зако н о м Б о й л я -

М ариотта pv = const. В связи с этим

на

д и агр ам м е

р

-

v изотерм и чески й процесс

изображ ается равн обокой

ги п ерболой

(рис. 16, а). При п одводе теплоты происходит увел и ч ен и е

у д ельн о го

объем а

(т.е. расш ирение

газа),

сопровож даю щ ееся ум ень­

ш ением

д а в л е н и я . И зотерм ическое

сж атие сопровож дается

отводом

теплоты . При этом, уд ельн ы й

объем

ум еньш ается,

а д авл ен и е растет.

Д л я

и зотерм и ческого

процесса

и деального

газа

и нтеграл

/

«

»а

=

i p (v )d v

м ож но вы числить. В ы раж ая

д авл ен и е через удельн ы й

ч

тем п ер ату р а п остоян н а, п олучи м

»2

/ = Я Т n d v / v ) = R T ln (v 2/ v J .

(136)

м ож ет быть п р ед ставл ен о в следую щ ем ви д е:

I = R T ln { p x/ p 2) = p xv xln (v 2/ v x) = р х vx\n (p x/ p 2) = р 2 v2 ln (v 2/ v j =

= p 2 v2ln (p 1/ p 2).

(137)

Т ак

к а к

тем п ер ату р а

в и зо тер м и ч еск о м

проц ессе

п о сто ян н а, то

и зм ен ен и е

вн у тр ен н ей эн ерги и

и эн тальп и и

и д еал ь н о го

га за в

соот­

ветстви и с

у р ав н ен и я м и

(90)

р авн о

нулю .

При

этом

и з у р авн ен и й

п ер во го за к о н а тер м о д и н ам и к и (135) п о л у ч аем q = I » Г .

И зм енение энтропии в

и зо тер м и ч еск о м п роц ессе и д е ал ь н о го

газа

н ай д ем , и с п о л ь зу я м атем ати ч еск о е

в ы р аж ен и е

вто р о го

з а к о н а

тер-

2

м о д и н ам и к и Д$ = $ ô q /Г и л и , т а к к а к

Г = const,

1

2

(138)

1

П о д став л яя в у р ав н ен и е (138) вы р а ж е н и я д л я

работы

и зо тер м и ч ес ­

к о го проц есса (136),

п о л у ч и м и ск о м о е соотн ош ен и е. Н ап ри м ер,

As -

s s 2 -

Sx = R \n { p x/ p 2) = K ln fV a /v J .

На

д и а гр ам м е T -

s и зо тер м и ч еск и й проц есс

и зо б р аж ен п рям ой ,

п ар ал л ел ь н о й оси энтропии (см . рис. 16, б).

К а к

у ж е

о тм ечал о сь, д л я

и д еал ь н о го га за

при

Т -

const pv »

const.

В со о тветстви и с у р а в н е н и е м

(91) п о к а за те л ь

п оли троп ы

и зо тер м и чес ­

к о го проц есса п = 1.

4.6. ОБОБЩЕННЫЙ ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС

П онятие

политропного процесса обобщ ает все

остальны е терм оди ­

нам и чески е

процессы . Д л я различны х значений

показатели политро­

пы, т.е. д л я

разн ы х процессов, у р авн ен и я (96), (103) м ож но преобразо­

вать следую щ им образом :

P il P i = T J T ù P J T г - P l T = const при n = ± ° ° (v =

const),

v j T i = v2/ T 2 = const; v2/Vj = T J T 2 при n = 0 (p = const),

P i vi ~ P ï v2

~ const; V z /V i^ p J P z при n = 1 (T = const),

П ервы е

д в е зависим ости v = /(p )

на граф ике (рис. 17) изображ ены

п рям ы м и

л и н и ям и , а

последние

-

кривы м и . Видно, что адиабата

кр у ч е изотерм ы . Все

процессы ,

кр и вы е которы х находятся л евее

(/ < 0) газа, а п р авее - расш ирению (/ >

0). А диабата (п = к) делит поле

д и аграм м ы на д в е части. Выше

ее протекаю т процессы с подводом

теплоты , а ниж е -

с отводом .

На рис. 18 п о к азан х ар актер

и зм ен ен и я энтропии в

основны х тер­

м о ди н ам и чески х

изопроцессах.

При

осущ ествлении

изохорного и

и зо б ар н о го п роц ессов в о д н о м тем п ер ату р н о м и н те р в ал е

и зм ен ен и е

эн троп и и б у д ет больш е в и зо б ар н о м процессе, т а к к а к ср >

с у.

Д л я

и д еал ьн о го га за в соответстви и

с зак о н о м

Д ж о у л я эн тал ьп и я

р ав н а

h - ср Т + h 0> п оэтом у h - s-д и агр ам м а с точностью д о

м асш таб ­

ного коэф ф и ц и ен та со вп ад ает с д и агр ам м о й T - s.

В зак л ю ч ен и е

сл ед у ет отм етить, что

п о д б и р ая р азл и ч н ы е

зн ач ен и я

п о к а за т е л я п в

у р ав н ен и и политропы

(91), м ож н о

с до стато ч н о й точ­

ностью описать лю бы е тер м о д и н ам и ч еск и е процессы .

Г л а в а 5 . ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ

Рассм отрим объеди н ен н ое вы р аж ен и е п ер во го

и вто р о го

за к о н о в

к и (65) зап и ш ем

TdS >

bQ . В ы разив bQ и з у р авн ен и й п ер в о го за к о н а

тер м о д и н ам и к и

(19) и

(44),

п о л у чи м о сн овн ое те р м о д и н ам и ч еск о е

соотнош ение в д в у х ф ормах:

T d S > d U + b L + b L x ,

(139)

T d S > d H + b L ' + ÔLX.

(140)

З н а к р авен ств а относится к

обратим ы м процессам , а н е р а в е н с тв а -

н ам и ч еск и м и то ж дествам и . В ы раж ение (139), к а к м ы

у в и д и м

д альш е,

и гр ает в те р м о д и н ам и к е

очень

важ н ую

роль. В о -п ервы х,

он о д ает

во зм о ж н о сть вв ести р я д

н о вы х

ф у н кц и й

со сто ян и я

- тер м о д и н ам и ­

р еш аем ы х

м ето д ам и

тер м о д и н ам и к и , в

частности, обобщ ить тер м о ­

д и н а м и к у

н а сл у ч ай

отк р ы ты х систем .

П оследн ее о б сто ятел ьство

LM = - AW = Fv; j -

1V2.

(141)

Если нап ри м ер

гр у з м ассой М

оп ускается в

поле

сил тяж ести на

dx* то эл ем ен тар н ая работа ÔLM =

- d W = - M g d x

(g =

ускорение силы

и зм ен ен и е которы х х ар актер и зу ет работу

терм одинам ической

систе­

мы в оп р ед ел ен н ы х у сл о ви ях .

Д л я н и х имею т м есто ф ормулы , аналогичны е

выражению

(141),

поэтом у тер м о ди н ам и ч ески е потенциалы

называю т

характеристичес­

Н = U + pV,

(142)

3) сво б о д н ая эн ерги я

F = U - TS,

(143)

4) изобарны й потенциал

G = H - TS= F + pV = U + p V - TS.

(144)

Ф ункции F и G ещ е назы ваю т свободной энергией

Г ельм гольца и

Гиббса соответственно, та к к а к они были введен ы в

терм оди н ам и ку

этим и учены м и .

H

Рис. 19. Связь между функциями

и

. PV

TS

F

TS

, PV

G

С в язь м еж д у ф у н к ц и я м и (142) -

(144) м ож н о и зо б р ази ть граф и чески

(рис. 19). Чтобы

п о к азать, что U,

Я, F и G д ей стви тел ьн о я вл я ю тся

п о л у ч и м соотнош ения, ко то р ы е оп ред еляю т и х

и зм ен е н и я

в р азл и ч ­

н ы х тер м о д и н ам и ч еск и х процессах .

П одстави в в

соотнош ение (139) ÔL = pdV , а

в соотн ош ен и е (140)

à V = - Vdp, п олучи м

dU <

TdS - pdV -

à L Xf

(145)

dH <

TdS + Vdp -

bLx.

(146)

С оотнош ения д л я д и ф ф ер ен ц и ал о в своб од н ой

эн ерги и и

и зоб арн о ­

T d S - d(TS) - SdT .

(147)

После п о д стан о вки у р авн ен и й (147)

в соотн ош ен и я

(145)

и (146) и

элем ен тарн ы х ал геб р аи ч еск и х п рео б р азо ван и й с у ч етом

р а в е н с тв (143)

и (144), оп ределяю щ и х ф ун кц и и F и G, п олучи м :

d F ^ - S d T - p d V - à L Xi

(148)

d G ^ - S d T + V d p - & L X.

(149)

В ы раж ения (145), (146), (148) и (149) о п р ед ел яю т п о в е д е н и е

ф у н кц и й

£/, H, F и G в р азли чн ы х тер м о д и н ам и ч еск и х п р оц ессах к а к обрати м ы х

(зн ак

р авен ства), т а к и

н еоб рати м ы х

(зн ак н ер авен ства).

В л евы х

ч астях

эти х вы раж ен и й

сто ят п ол н ы е

ди ф ф ер ен ц и ал ы ад д и ти вн ы х

ф у н к ц и й со сто ян и я . Это сл ед у ет из о п р е д ел е н и я

Я , F,

G соотн ош е­

н и ям и (142), (143)

и (144) ч ер ез ад д и ти вн ы е ф у н к ц и и

U, V, S.

У чи ты вая, что

и н тегр ал от п олн ого д и ф ф ер ен ц и ал а

ф у н к ц и и сос­