9869

z

F

/

z

Fy/

( F / 0 ).

x

и

(2)

х

F

/

y

F /

z

z

z

Пример. Найти

z

,

z

, где

ez

z x2 y 1 0 .

x

y

Решение. Здесь F(x, y, z) ez z x2 y 1,

F /

2xy

, F / x

2 , F / ez 1.

x

y

z

Тогда по формуле (2) имеем:

z

2xy

,

z

x2

.

x

e z 1

y

e z 1

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция

z f (x, y) ,

дифференцируемая в точке (х0 , у0 ) ,

задает в пространстве

поверхность

S .

Пересечем

эту

поверхность

плоскостями

х х0

и у у0

(см. рис.

6). Плоскость

х х0 пересекает

поверхность

S

по

некоторой

линии z0 ( y) , уравнение

которой

получается

подстановкой

в

выражение

исходной функции

z f (x, y)

вместо x

числа

х0 .

Точка

М 0 (х0 , у0 , f (x0 , y0 )) принадлежит

кривой

z0 ( y) .

z z

0

f / (x

0

, y

0

) (x x

0

) f /

(x

0

, y

0

) ( y y

0

) ,

(1)

x

y

а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение

x x0

=

y y0

=

z z0

.

(2)

f

/

(x

0

, y

0

)

f

/ (x

0

, y

0

)

1

x

y

Если поверхность

задана

неявно

уравнением

F(x, y, z) 0

и

касательная

плоскость к этой поверхности в

точке М 0 (х0 , у0 , z0 )

определяется

уравнением

(x x ) F /

( y y

) F /

(z z

) 0,

F /

0

0

(3)

x

M0

0

y

M0

z

M0

91

x x0

=

y y0

=

z z0

.

(4)

F /

F /

F /

x

M

0

y

M

0

z

M

0

f / 2x,

f /

(1, 1,2) 2 1 2,

x

x

f / 2 y ,

f

/ (1, 1,2) 2 ( 1) 2 .

y

y

x 1

y 1

z 2

=

=

.

2

2

1

функции

z f (x, y)

называется главная

линейная, относительно

приращений независимых переменных

x

и

y ,

часть

полного

приращения этой функции в точке (х0 , у0 ) , то есть

dz z

х

z у .

(1)

х

y

Если

положить

z х , то

dz dx 1 х 0 у x ,

то есть

dx x .

Аналогично,

полагая z у ,

получим,

что

dу у .

Таким

dz

z

dх

z

dу .

(2)

х

y

N ( x, y, Z )

M0

P( x, y, z0 )

MP z

NP dz

z

z

(x , y ) x

z

(x , y ) y ( х, у) x ( x, y) y

(3)

x

0

0

y

0

0

Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых

| x | и

| y |

имеет место приближенное равенство

z dz .

Отсюда получаем

формулу для приближенных вычислений:

f (x

0

х, y

0

у) f (x , y

) f

/ (x , y

) x f / (x , y

) y

(4)

0 0

x 0

0

y

0 0

Пример. Вычислить приближенно ln 1,98

.

1,01

f (x, y) ln x

.

Решение.

Рассмотрим

функцию

y

Тогда

ln 1,98

ln (x0 x)

,

1,01

y0

y

где

x0

2,

x 0,02, .

y0

1,

y 0,01.

Воспользуемся

формулой

(4),

предварительно найдя

f /

и f / :

x

y

f /

1

,

f / (x , y

)

f / (2,1)

1

1 ,

x

2

x

y

x

0

0

x

1

1

1

f y/

,

x

y

2

y

/

/

1

1

f y

(x0 , y0 ) f y

(2,1)

0,5 .

2

2

1

1

ln 1,98

Следовательно,

1,01

ln 2

1 ( 0,02) ( 0,5) 0,01 0,025 .

1

Для

сравнения:

используя

микрокалькулятор,

находим:

M (x, y)

в этом направлении. Пусть t расстояние между точками M 0 и

M , а

e

cos i sin j – единичный вектор заданного направления l .

Тогда

координаты

точки

M (x, y)

равны:

x x0 t cos ,

y y0

t sin . Если точка M стремится к точке

M 0 по заданному

l

e

M x, y

D

M0 x0 , y0

x

Рис. 8

Производной функции z f (x, y)

в точке M 0 x0 , y0 в заданном

направлении l называется предел

lim

f x0

t cos ,y0 t sin f x0, y0

df

.

t

t 0

dl

z

z

В частности,

частные производные

x ;

это производные по

y

Производная

z

характеризует скорость

изменения функции в

l

направлении l .

Теорема. Если

функция

z f (x, y) дифференцируема

в точке

(х

, у

) , то производная

z

по направлению

l {cos ,

sin } в

0

0

l

z

(x , y ) f / (x , y ) cos f / (x , y ) sin ,

(1)

l

0

0

x

0

0

y

0 0

где

cos , sin – единичный вектор заданного направления l .

e

Замечание. Если направление l задано вектором a {a1 , a2}, то

производная

z

функции

z f (x, y)

по направлению l

может быть

l

подсчитана по формуле

z

/

a1

/

a2

(x0 , y0 ) fx

(x0 , y0 )

f y (x0

, y0 )

.

(2)

l

a2

a2

a2 a2

1

2

1

2

Пример. Найти производную от функции z 3x4 xy y3

в точке

М(1,2) в направлении, составляющим с осью Ox угол в 600 .

Решение. Направление задано углом наклона к оси Ox , поэтому

воспользуемся формулой (1).

f x/ 12x3 y ,

f x/ (x0 , y0 ) f x/ (1,2) 12 13 2 10 ,

f

/ x 3y2 ,

f / (x , y

) f

/ (1,2) 1 3 22

11,

y

y

0

0

y

Пример. Найти производную от функции z ln( x2

2 y) в точке

М(1;2) по направлению вектора a 3i 4 j .

Решение. Направление задано координатами вектора a , поэтому

воспользуемся формулой (2).

f /

2x

,

f / (x , y

) f / (1,2)

2 1

0,4 ,

x2 2 y

2 2

x

x

0

0

x

12

f /

2

,

f / (x , y

) f

/ (1,2)

2

0,4 ,

y

x2

2 y

y

0

0

y

12 2

2

z

(1,2) 0,4

3

0,4

4

0,08 .

a

32 ( 4)2

32

( 4)2

Рассмотрим понятие градиента функции z f (x, y) .

Градиентом grad z функции z f (x, y) в

точке M0 x0 , y0

называется вектор с координатами { f /

, f /

}.

x

M

0

y

M

0

Свойства градиента

1. Производная

функции

z f (x, y)

по

направлению l

равна

скалярному произведению градиента

grad z

и единичного

вектора

e {cos , cos }, задающего направление l

:

z

grad z e .

l

z

.

| grad z |

f / 2

f / 2

e

x

y

3. Если градиент grad z дифференцируемой функции z f (x, y)

в точке М 0 (х0 , у0 )

отличен от нуля, то вектор grad z перпендикулярен

f / x 3y2

,

f / (x , y ) f / (1,2) 1 3 22

11.

y

y 0 0

y

98

f

//

f

/ /

,

f

//

f

/ /

,

f

//

f

/ /

,

f

//

f

/ / .

xx

x x

xy

x y

yx

y x

yy

y y

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если частные производные

второго

порядка

функции

z f (x, y)

непрерывны в

точке М 0 (х0 , у0 ) , то

в этой точке

смешанные

частные

производные

равны,

то

есть

f //

(x , y

0

) f //

(x

, y

0

) .

xy

0

yx

0

Пример. Найти частные производные второго

порядка

функции

z 3x4 xy y3 .

Решение. Так как

f / 12x3 y ,

f /

x 3y2 , то

x

y

f

// 12x3 y /

36x2 ,

f //

12x3 y /

1,

xx

x

xy

y

f //

x 3y2 /

1,

f //

x 3y2 /

6 y .

yx

x

yy

y