Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9869

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>


при	n 1	a			1			1		–	1-й член ряда (4.1);

		1		21			2

при	n 2	a				1			1	–	2-й член ряда (4.1);
			2
				22			4

при n 3	a	1		1

	3	23	8

– 3-й член ряда (4.1) и т.д.

Аналогично, если задан ряд вида


						3n 3 9 27 ... 3n ... ,				(4.2)
						n 1
для которого			a	n	3n - формула общего члена, поэтому
				n
при	n 1	a 31 3					– 1-й член ряда (4.2);
		1
при	n 2	a2 32				9	–	2-й член ряда (4.2);
при	n 3	a	33			27 –		3-й член ряда (4.2) и т.д.
		3

	Для ряда an					введем обозначения:
			n 1
		S1 a1 ;					S2 a1 a2 ;		S3 a1 a2 a3 ; …,
									n
					Sn	a1	a2	... an	ai и т.д.
									i 1

Сумма S n называется n - ой частичной суммой ряда an .

n 1

Если существует конечный предел последовательности частичных


сумм lim Sn	S ,	то ряд	an называется сходящимся,		а число S
n			n 1

называется суммой ряда. В этом случае пишут				an	S .	Таким
				n 1

образом, символом an			обозначается не только сам ряд, но и (в случае
		n 1
сходимости)	его	сумма.	Ряд называется расходящимся, если			предел

160

последовательности частичных сумм

lim Sn

не существует или равен

бесконечности.

Исследуем для примера числовой ряд

. Составим частичную

n 1

сумму S

этого ряда

a a

... a

...

. Здесь

суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со

знаменателем

1 и первым членом a

Из школьного курса

математики известна формула суммы

первых членов геометрической

1 qn

прогрессии: S

. В нашем случае

1 q

Найдем предел последовательности частичных сумм Sn

lim S

= lim

= lim 1– lim

0 1.

n 2n

Видим,

что предел Sn существует и конечен.

Следовательно, данный ряд

сходится и его сумма равна 1. Записываем

n 1

Рассмотрим числовой ряд

3n . Для него частичная сумма Sn

имеет

n 1

вид

a a ... a

3 32

... 3n .

Здесь

суммируются

числа,

образующие геометрическую прогрессию со знаменателем q 3 1 и

первым членом a1 3. Тогда

161

3 1 3n

3n 1 .

a1 1

1 3

Находим предел

lim S

= lim

1 = lim

3n – lim

n 2

Следовательно, данный ряд расходится.

процессе исследования

числовых

рядов бывает

удобно

пользоваться свойствами сходящихся рядов:

Если

сходится

ряд

u1 u2 un

, то сходится и ряд

um 1 um 2 un ...,

получаемый из

данного ряда

отбрасыванием

первых m членов (этот последний ряд называют m -ым остатком

исходного ряда) и наоборот – из сходимости				m -го остатка ряда вытекает
сходимость данного ряда.
2. Если сходится ряд		u1 u2 un		..., и суммой его является
число S ,	то сходится и ряд au1 au2 aun ..., полученный из
исходного умножением на ненулевое число a , причем						сумма последнего
ряда равна aS .
3. Если сходятся ряды		u1 u2 un		... и	v1	v2 vn	...,
имеющие,	соответственно,	суммы S	и	,	то	сходится и	ряд
u1 v1 u2 v2 ... un		vn ...,	причем сумма			последнего	ряда
равна S + .

Основным вопросом при изучении числовых рядов является вопрос об их сходимости или расходимости. Формулу для n - ой частичной суммы можно записать далеко не всегда, поэтому нужны утверждения,

позволяющие решить этот вопрос. Начнем с необходимого условия

сходимости числового ряда:

162

Если числовой ряд an . сходится, то предел его общего члена an при

n 1

n равен нулю, т.е. lim an 0.

Действительно, если данный нам ряд an

сходится и an

S , то

n 1

an Sn Sn 1 . Поэтому

lim an

lim Sn

Sn 1 lim Sn

lim Sn 1 S S 0 .

n2 3

Например, для числового ряда

n 1

lim an

lim

0 0 .

Видим, что необходимый признак не выполняется, следовательно, ряд расходится.

	1

Рассмотрим далее ряд ln 1		. Для него необходимый

n 1	n

признак сходимости выполняется, поскольку lim an

lim ln 1

n 1

ln n 1 ln n . Отсюда

С другой стороны, ln 1

	Sn a1	a2 ... an
ln 2 ln 1 ln 3 ln 2 ... ln n 1 ln n ln n 1 .
Следовательно, при	n последовательность частичных сумм
			1
Sn , а это означает, что ряд ln 1				расходится.

	n 1		n

Рассмотренный пример иллюстрирует важность понимания того,

что необходимый признак не является достаточным – сходимости он не обеспечивает. Поэтому вопрос о сходимости числовых рядов, для которых

необходимый признак сходимости выполнен, будем решать с помощью

163

достаточных признаков сходимости. Этот вопрос проще всего решается

для рядов с неотрицательными членами.

Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными

членами an = a1 a2 ... an ... (1)

n 1

И bn =b1 b2 ... bn ... , (2)

n 1

где an 0, bn 0,n 1,2,... Признак сравнения 1. Если ряд bn сходится и

n 1

выполняется неравенство bn an , n 1,2,..., то ряд
выполняется неравенство bn an , n 1,2,..., то ряд	an	также
	n 1

сходится; если ряд bn расходится и выполняется неравенство

n 1

bn an , n 1,2,..., то ряд an также расходится.

n 1

Сходимость или расходимость ряда с неотрицательными членами устанавливают сравнением исследуемого ряда с "эталонным" рядом,

относительно которого заведомо известно, сходится он или нет.

В качестве "эталонных" рядов будем использовать следующие ряды:

Расходящиеся ряды a) гармонический ряд

	1		1	1		1
		1			...		...;
	n		2	3		n
n 1

б) обобщенный гармонический ряд

	1		1	1		1
		1			...		..., при	p 1;
	n p	1	2 p	3p	...	n p	..., при	p 1;
n 1	n p		2 p	3p		n p

в) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии


aqn a aq aq2	... aqn ..., при	q	1;
n 0
Сходящиеся ряды

а) обобщенный гармонический ряд

164

...

..., при p 1;

n p

2 p

n p

n 1

б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

aqn

a aq

aq2

... aqn ..., при

n 0

Например,

для ряда

в качестве ряда сравнения

n 1 3n

n 1

выбираем ряд, составленный из членов геометрической прогрессии .

n 1 3n

Он является сходящимся, т.к. знаменатель прогрессии

Кроме

того, справедливо неравенство a

для

всех

n 1.

n 1 3n

Следовательно, по первому признаку

сравнения ряд

тоже

1 3n

n 1 n

сходится.

Сформулируем еще один

признак

сравнения

(в

предельной

форме). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами an =

n 1

a1 a2 ... an ..., bn =b1 b2 ... bn .... Если существует

n 1

	an
конечный и отличный от нуля предел lim		k 0, то ряды	an и

n bn			n 1

bn сходятся или расходятся одновременно.

n 1

Предельным признаком сравнения удобно пользоваться, если общий член an некоторого числового ряда есть дробно-рациональная функция,

т.е. an	ul	n	, где	ul n - многочлен степени l , а	vm n - многочлен
т.е. an	vm	n	, где	ul n - многочлен степени l , а	vm n - многочлен
	vm	n
				165

степени m . При этом если m l , то в качестве ряда сравнения bn

n 1

следует брать ряд

, где

p m l .

n p

n 1

Например, для

исследования на

сходимость

ряда

4n3 1

n 1

качестве ряда сравнения

выберем ряд

Он

сходится,

т.к.

n 1

n 1 n2

p 2 1. Рассмотрим предел отношения

lim

n 1 n2

= lim

1 1

lim

(n3 n2 ) / n3

lim

1 1/ n

0 .

(4n3 1) / n3

4 1/ n3

n 1

Согласно

второму признаку

сравнения получаем,

что

ряд

4n3

n 1

сходится.

Для исследования рядов с положительными слагаемыми,

общий член которых содержит

либо

показательное

выражение вида

an , a 0, a 1 ,

либо факториал

n! удобно использовать признак

Даламбера. Пусть дан числовой, знакоположительный ряд an ,

и пусть

n 1

существует предел отношения

lim

an 1

p . Тогда

если

p 1,

то данный ряд сходится;

если

p 1 или p ,

то данный ряд расходится;

если

p 1,

то признак Даламбера ответа не дает (ряд может

оказаться как сходящимся, так и расходящимся).

166

n 1

Исследуем по признаку Даламбера сходимость ряда .

n 1 2n

Здесь

n 1

;

n 2

. Находим предел отношения

n 1

2n 1

p lim

an 1

lim

n 2 2n

lim

n 2

lim

1 2 / n

n 1

n 2n 2 n 1

2 n

1 1/ n 2

n 1

Так как

то ряд

сходится.

n 1

2n !

Далее исследуем на сходимость ряд

n 1

Здесь

n !;

n 1 !.

n 1

an 1

2 n 1 !

2n 2 !

Находим

p lim

lim

n 1 2n !

1 2 ... 2n 2n 1 2n 2

2n 1 2n 2

lim

n 1 1 2 ... 2n

n 1

= lim

lim

2n 1 2n 2 1 .

n 1

2n !

Так как p , то по признаку Даламбера ряд

расходится.

n 1

Поскольку признак Даламбера действует не всегда, нужны другие достаточные признаки для знакоположительных рядов. Рассмотрим


радикальный признак Коши. Пусть дан числовой ряд					an (
					n 1
a 0, n 1, 2,...), и пусть существует конечный предел lim n					p .
a 0, n 1, 2,...), и пусть существует конечный предел lim n			a	n	p .
n		n		n
		n
Тогда если	p 1,	то данный ряд сходится;
если	p 1,	то данный ряд расходится;
если	p 1,	то признак Коши ответа не дает.
		167

	2	3	2	4	3
Рассмотри, например, ряд						.... Запишем общий
Рассмотри, например, ряд						.... Запишем общий
	5	8		11

	n 1	n
член ряда в виде an		. Легко проверить получение любого
член ряда в виде an	3n 2	. Легко проверить получение любого
	3n 2
члена данного нам ряда, полагая n 1, 2,...:

n 1	a	1 1		2	;
n 1	a			4	;
	1	3 1 1		4
	1
			2 1		2	3		2
n 2	a2						;
n 2	a2						;
			3 2 2			8

		3 1	2	4		2
n 3	a3				и т.д.
n 3	a3	3 3 2		11	и т.д.
		3 3 2		11

n 1

Найдем

p lim n an

lim n

3n 2

lim

n 1

lim

1 1/ n

3n 2

3 2 / n 3

	1			n 1		n
Так как p		1, то по признаку Коши ряд
					сходится.
				3n 2
	3		n 1

Еще один достаточный признак сходимости знакоположительных рядов – это интегральный признак Коши. Пусть члены числового ряда

an удовлетворяют следующим условиям:

n 1

1) они неотрицательны ( an 0, n 1,2,...) и не возрастают, т.е.

a1 a2 a3	... an ...;
2) найдется непрерывная	невозрастающая функция f x ,
определенная при x 0 и такая, что	f 1 a1 ,	f 2 a2 ,	f n an ,...

168

Тогда если несобственный интеграл f x dx сходится, то сходится и ряд

f x dx расходится, то расходится и

an ; если несобственный интеграл

n 1

ряд an .

n 1

Сразу же поясним, что функцию

f x , принимающую в точках

x n значения

f n ,

чаще всего удается получить с помощью замены

натурального

выражении

f n

на

непрерывно изменяющийся

аргумент

x .

Так,

например, если

f n

то

f x

; если

f n

, то f x

и т.п.

Однако не всегда таким путем можно получить функцию

f x .

Допустим, что

f n

. В этом случае нельзя заменить n

на

x ,

т.к.

символ x! имеет смысл только

при целых значениях x .

Но

это

не

означает, что не существует функции

f x ,

принимающей в точках x n

значения

f n .

Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое

выражение бывает трудно найти.

Исследуем

для

примера

сходимость

ряда

Для

этого

n p

n 1

рассмотрим

функцию

f x

x p .

Пусть

p 1.

Вычислим

x p

несобственный интеграл

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf