9869

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том,

что площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. рис. 9) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как:

b

a

Рис. 9

a b a b sin Sпарал.

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a

a 2i k и b j k .

Решение. a 2;0 1 и b 0;1; 1 . Тогда

0 1 i 2 0 j 2 0 k i 2 j 2k ;

a b 12 22 22 3 , следовательно

21

умножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор c . Такое произведение векторов называется векторно-скалярным или смешанным

и обозначается a b c , то есть a b c abc .

Смешанное произведение трех векторов a , b и c представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

c

b

a

Рис. 11

Свойства смешанного произведения:

1)a b c b c a c a b ;

2)a b c a b c ;

4) Если a b c 0 , то векторы a , b и c компланарны.

22

Смешанное произведение трех векторов a , b и c заданных

Ответ: a b c 5.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения,

имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c

(см. рис. 11) вычисляется по формуле:

Vnap. a b c .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (см. рис. 12) вычисляется по формуле:

23

Ответ: Vnup. 16 (куб. ед.).

§ 3. Прямая на плоскости

Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.

Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли точка M0 x0 ; y0 на прямой F x, y 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям) удовлетворяют ли

24

координаты точки M 0 уравнению F x, y 0 этой прямой, то есть выполняется ли равенство F x, y 0.

Пример. Лежит ли точка M0 1; 2 на прямой l : 3x y 1 0.

Решение. Подставив в уравнение прямой 3x y 1 0 координаты точки M 0 , то есть x0 1 и y0 2 вместо x и y , получаем:

3 1 2 1 3 1 2 0.

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Общее уравнение прямой.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M0 x0 ; y0 и вектор N A; B . Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (см. рис. 13)

проходящей через точку x0 ; y0 и перпендикулярной вектору N A; B .

25

Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор N A; B является вектором нормали прямой l .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку

M0 1; 2 и перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1 и Q 1; 2 .

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющимся вектором

нормали прямой l :

N PQ 1 0; 2 1 1;1 .

Исследуем уравнение (3.2):

1. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид:

Ax By C .

Разделив обе части последнего уравнения на C

плоскости в «отрезках» вида:

где a и b величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (см. рис. 14).

y l

b

Рис. 14

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку

M0 1; 2 и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).

y

l

b

2 M 0

Поскольку точка лежит на прямой l , то подставляя ее координаты x 1, y 2 в последнее уравнение, находим:

откуда a 3. Следовательно, l : x y 3 – уравнение искомой прямой.

Ответ: x y 3.

Пример. Построить прямую l : 2x 3y 6 0.

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3):

Рис. 16

Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой l к

положительному направлению оси Ox (см. рис. 17), то есть k tg .

28

характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

l : y kx b ,

где b – пока неизвестная величина.

29

уравнением пучка прямых с центром в точке M0 x0 ; y0 .

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси

прямой

l : y 3 1 x 1 или l : y 3 x 1 0 или

l : x y 4 0.

Ответ: x y 4 0.

30