9869

Решение.

Данная функция

y является сложной,

так как y eu ,

u 3x . По правилу дифференцирования сложной функции, находим:

e

u 3x x e

3

e

3 3e

.

yx

yu

ux

u

u

3 x

3 x

Производные высших порядков

Производная

y

f

функции

y f

x

есть также функция от

x

x и называется производной первого порядка.

Если

функция

f

то

ее

производная

x дифференцируема,

называется

производной

второго

порядка и

обозначается

y , то есть

Решение.

sin 3x 3 3sin 3x ,

y cos 3x sin 3x

3x

y y

3sin 3x 3

sin 3x

3 cos 3x 3x

3 cos 3x 3 9 cos 3x,

9

y y

9 cos 3x

cos 3x 9 sin 3x

3x

Пусть задана функция y f x и можно

вычислить f x0 , то есть

значение этой функции в точке x0 . Требуется

вычислить значение этой

y

y f x

y

x

l

f x0

dy

x

0

x0

x0 x

x

Рис. 56

Главную часть линейную относительно приращения x

независимой переменной

x в последнем равенстве, то есть выражение

f x0 x называют дифференциалом функции

y f x в точке x0 и

приближенно равно дифференциалу dy :

y dy или

f x0 x f x0 x .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления

значений функций в точке.

Пример. Вычислить e 0,02 .

Решение. Рассмотрим

функцию y ex . Пусть

x 0 , тогда

x 0 ex

x 0 e0 1,

y x0 ex

y x ex

x 0

e0 1.

0

Следовательно,

e 0,02

1 1 0,02 1 0,02 0,98.

Ответ: e 0,02

0,98.

Заметим,

что

дифференциал

независимой

переменной

равен

ее

приращению, то есть dx x

, так как dy dx x x 1 x x .

Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:

dy y x dx .

Пример. Найти дифференциал функции y ln cos x .

1

1

Решение.

y

ln cos x

cos x cos x cos x sin x tgx ,

тогда dy tg dx.

Правило Лопиталя

0

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида

и

0

Пусть функции

f x

и

g x

непрерывны и дифференцируемы в

окрестности точки

x0

и

обращаются

в

нуль в

этой точке:

f x0 g x0 0 . Пусть

x0 . Тогда, если

g x 0 в окрестности точки

f

f x

существует предел lim

x

, то lim

lim

f x

.

g

x

g x

g x

x x0

x x0

x x0

Пример. Вычислить предел lim

x 1

.

x 1

x ln x

Решение.

lim

x 1

1 1

0

lim

x 1

x 1

x ln x 1 ln 1

x 1

0

x ln x

1 0

lim

x

1

lim

x ln x x ln x

1

x 1

x 1

1

ln x x

x

lim

1

1

1

1

1.

ln 1 1

x 1

ln x 1

0

1 1

Пусть функции

f

x

и

g

x

непрерывны и дифференцируемы в

окрестности точки x0

(кроме,

быть

может,

самой

точки x0 ), в

этой

окрестности lim

f x lim g x ,

Тогда,

если существует

g x 0.

x x0

x x0

f x

f

предел lim

f x

, то lim

lim

x

.

g x

g x

g x

x x0

x x0

x x0

Пример. Вычислить предел lim

x2

1

.

2x2

3x

x

Решение. lim

x2

1

2

1

lim

x2 1

2x

2

3x

2

2

3

2x2 3x

x

x

x

2

2x 0

lim

1

lim

2x

3x

4x 3

x

2

x

lim

2x

lim

2

1

.

4x 3

4

x

x

0

2

y x4

1

-1 0

1

x

Рис.57

Функция y f x называется

нечетной, если f x f x .

Пример.

Функция y x3

является

нечетной,

так как

y x x 3

x3 y x ,

следовательно,

график этой

функции

симметричен относительно начала координат. (См. рис. 58)

y

1

y x3

-1

0

1

x

-1

Функция

y f x называется

периодической,

если существует

такое положительное число T , что

f x T f x .

Наименьшее из

таких чисел T

называется периодом

функции. График периодической

1

Пример. Функция y

периодическая с периодом T , так

sin 2 x

1

1

1

как y x T

y x . График этой

sin 2 x T

sin x 2

sin 2 x

2

3

0

3

2 x

2

2

2

2

Рис. 59

Асимптоты графика функции

x ,

Прямую L называют асимптотой графика функции

y f

если расстояние

до

точки

M x; y

кривой

y f x

от

прямой

L

Прямая x a является вертикальной асимптотой кривой

y f x ,

если lim f x .

x a

Прямая y b является

горизонтальной

асимптотой

кривой

y f x , если lim f x

b .

x

y f x

Прямая y kx b является наклонной асимптотой кривой

, если существуют пределы:

k lim

f x

и b lim f x

kx .

x

x

x

Пример. Найти асимптоты кривой y

x2

.

x 1

;1 и

Решение. Данная функция определена

в

интервалах

1; .

Так как lim

x2

12

1

, то прямая

x 1 есть вертикальная

1 1

x 1

x 1

0

асимптота данной кривой.

Горизонтальных

асимптот

кривая не

имеет, так как предел

lim

x2

lim

x2

lim

2x

не

является

конечной

x 1

x 1

1

x

x

x

f x

2

k lim

lim

x

lim

x

lim

x

lim

1

1;

x

x 1

x

x

x 1 x

x

x 1

x

x

1

x2

x

b lim f x kx lim

1 x

lim

1.

x

x x 1

x

x 1

Таким образом, существует наклонная асимптота y x 1.

Участки возрастания и убывания функции.

Точки минимума и максимума

Функция

y f x

называется

возрастающей (убывающей) на

интервале a;b , если для любых точек

x1 , x2

a;b таких,

что x1 x2 ,

имеет место неравенство:

f x1 f x2

f x1 f x2 .

Дифференцируемая

на

интервале

a;b

функция

y f x

2) для любого x из - окрестности точки x0 справедливо неравенство:

f x f x0

f x f x0 (См. рис. 60 и 61).

67

x0

x

x0 0

x0

x

т. max

y

y

f x

f x0

x 0

x0

x

x

x

0

т. min

0

Рис. 61

Точки максимума и минимума функции называются точками

экстремума функции.

Необходимое условие экстремума: если

x0

– точка

экстремума

функции y f x , то в этой точке либо

f x0 0 ,

либо производная не

существует.

y f x

Достаточные

условия

экстремума: пусть

функция

функции y

x2

.

x 1

x

2

x

2

x

2

x

y

x 1

1

x 1 2

x 1

2x x 1 x2 1

2x2 2x x2

x2 2x

.

x 1 2

x 1 2

x 1 2

Используя необходимые условия экстремума, находим

критические точки:

x x 2 0, откуда x1

y 0 x2 2x 0

или

0 или x2 2.

y не существует x 1 2

0 , откуда x3 1.

Используем достаточные условия экстремума. Наносим три

критические

точки

x1 0 ;

x2 2;

x3 1 на

область

определения D

знак функции y

в каждом интервале.

y

+

–

–

+

y

0

1

2

x

Так как x1

0 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак

плюс на минус, то x1

0 – точка максимума функции y .

Так как x2

2 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак

минус на плюс, то x2

2 – точка минимума функции y .

Так как при любом x ;0

или x 2;

y 0 , то в

интервалах ;0 и 2; функция y монотонно возрастает.

Так как при любом x 0;1 или

x 1; 2

y 0 ,

то в интервалах

0;1 и 1; 2 функция y монотонно убывает.

Интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

Точки перегиба

График функции y f x

называется выпуклым вниз в интервале

Рис. 62

a

x 0

b

x

График функции

y f x называется выпуклым вверх в интервале

a 0

x

b

x

Рис. 63

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика

функции:

то график функции y f x

если

f x 0 в интервале a;b ,

является выпуклым вниз в этом интервале; если

же

f x 0, то в

интервале a;b график функции y f x – выпуклый вверх.

Пусть функция y f x

дифференцируема

в интервале a;b и

x0 a;b .

Точку

x0 ; f x0

графика

функции

y f x называют

точкой перегиба этого графика, если существует такая – окрестность

точки x0 оси Ox ,

в границах которой график функции

y f x слева и

справа от точки x0

имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64).