Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9869

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину P AB BC CD (см. рис. 19) границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят,

что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD,

см. рис. 19).

1; 1; 1	1	2	A
		3
			F
			E
			D
	h
	h
		Рис.19

Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики

профиль канала трапецеидальной формы.

Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной

площади S с наименьшим периметром P . Пусть AB CD ,										CE AD,
BF AD, CE h , EDC . Тогда
			P AB BC CD 2AB BC							(1)
		S	1	AD BC CE			1	AD BC	CE	(2)
		S	2	AD BC CE			2	AD BC	CE	(2)
			2				2
CED – прямоугольный,
sin EDC	CE	или	sin		h	, откуда
sin EDC		или	sin			, откуда
	CD				CD
			110

CD AB

(3)

sin

Подставив (3) в (1), получаем:

2 h

BC .

(4)

sin

Так как AD AF FE ED , а FE BC ,

AF ED, находим:

AD 2ED BC .

(5)

Из EDC :

или tg

, откуда ED

. Подставив

последнее равенство в (5), находим AD

BC . Тогда равенство (2)

запишется: S

2BC h ,

откуда

Подставив

последнее равенство в (3), находим

2 cos

P h, sin

h tg

sin

Таким образом, требуется найти такую

точку h0 , 0

из области

h, / 0 , h 0 ,

которой

функция

P h, принимает

наименьшее значение.

Найдя частные производные функции P h, и приравняв их к нулю,

получим систему уравнений:

							S			2 cos
			Ph									0
			Ph				h	2		sin		0
							h			sin		.
						2 cos 1						.
						2 cos 1					0

			P				sin		2
							sin
Откуда cos	1	или			60 , тогда
	1
			0
2			0	3
2				3

111

															S			3
																		3			3
								S sin 60 tg 60																		S
								S sin 60 tg 60																		S
																2											.
					h0			2tg 60				sin 60															.
					h0																	3		4 3
													2			3						3		4 3
													2			3					2
В рассматриваемой области D функция P h,																								имеет единственную

									S
									S																					4		2
																														4		2
																															48S .
							4			;		, значение функции в ней равно P=
критическую точку							4	3		;	3	, значение функции в ней равно P=
								3			3
Исследуем функцию P h, на границе области D :

1)					, h 0		. Имеем P h, 2h									S				Ph				2				S	h				S
1)		2			, h 0		. Имеем P h, 2h									h				Ph				2				h2	h				2
		2														h												h2					2
					;
			S

. Тогда	P					=	2 2S 4 48S 2						P(h ;						) .
. Тогда	P					=	2 2S 4 48S 2						P(h ;					0	) .
		2		2									0					0
		2		2
2)	При приближении точки													(h, )			к прямым h 0												и 0,				а
также	при		удалении								в	бесконечность						по					h		функция						P h,

неограниченно возрастает. Поэтому точку					h0 , 0 можно окружить таким
прямоугольником D1 {(h, ) /			а		, с h d} , что вне его и на
				2
его границе P(h; ) P h0 , 0 .
Отсюда следует,	что	P h0 , 0 –		наименьшее значение функции
P h, в области D1 , и		оно	же будет наименьшим значением			этой
функции в области D .
Итак, функция	P h,		имеет наименьшее значение при			,
						3

h	S


	3 .
4	3 .
		Таким образом в трапеции	ABCD :	AB BC CD	2		S	и


				4		27

АВС 120 .

112

§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является

нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее

дифференциалу.
Функция F x называется первообразной для функции		f x , если
функции F x и	f x связаны следующим соотношением:

	F x f x .
Пример.	Функция F x sin x вяляется первообразной для

функции f x cos x , так как sin x cos x .

Если для данной функции f x существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

F x sin x 1, F x sin x 2

или в общем виде

F x sin x C ,

где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C

sin x C sin x C cos 0 cos x .

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для cos x .

Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если F x есть какая-либо из первообразных для данной

функции f x , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

113

F x C ,

где C – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть F1 x есть любая функция, имеющая своей

производной F	x f x .
1
С другой	стороны, рассматриваемая функция		F x также имеет

f x своей производной, то есть F x f x .
Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:

F1 x F x F1 x F x f x f x 0
и, следовательно,
		F1 x F x C ,
где C есть постоянная, что и требовалось доказать.
Действительно, если		производная некоторой	дифференцируемой

функции x 0 , то сама функция x может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то

сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция F x является первообразной для f x , то семейство всех ее первообразных функций F x C называется неопределенным интегралом от функции f x и обозначается как f x dx .

Таким образом, по определению

f x dx F x C ,

если

F x f x .

При этом функцию f x называют подынтегральной функцией, f x dx – подынтегральным выражением, переменную x – переменной

114

интегрирования, а знак –

знаком интеграла.

Действие, с помощью

которого

по

данной

функции f x

находим

ее

первообразную F x ,

называется интегрированием функции

f x .

Пример. Найти неопределенный интеграл от функции

f x x .

Решение. Первообразной от x

будет функция

F x

, так как

x dx

x .

таком

случае

C ,

где

–

произвольная

постоянная.

Таблица основных интегралов

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В

интегральном исчислении нет универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный

(искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Степенные функции:

xn dx

xn 1

n 1 ;

n 1

dx ln

C , т.к.

, x 0

ln x C , x 0

, x 0

Показательные функции:

ex dx ex C ;

115

ax dx	ax	C	a 0, a 1 .
	ln a

Тригонометрические функции:

sin x dx cos x C ;

cos x dx sin x C ;

tgx dx ln cos x C ;

ctgx dx ln sin x C ;


1					dx tgx C ;

		cos2	x
1				dx ctgx C .

	sin 2		x

Дробные рациональные функции:

dx arctgx

C ;

1 x2

a 0 ;

arctg

a2 x2dx

x a

C .

x2 a2

x a

Иррациональные функции:

dx arcsin x C ;

1 x2

dx arcsin

C ;

a2 x2

dx ln

x x2

C .

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Если f x g x , то f x dx g x dx C ,

116

где C – произвольная постоянная.


2.	f x dx f x .																											(1)
3.		F x C , где											C – произвольная постоянная.
3.	F x dx	F x C , где											C – произвольная постоянная.
4. a f x dx a f x dx , a R ,															a 0 .
5. f x g x dx f x dx g x dx .
										2
Пример. Найти										2
			3x										x dx .
			3x										x dx .
										x
Решение.
			2															2
		3x	2										3xdx					2		dx			xdx
										x dx
										x dx
				x															x
																										1	1
											1						1 1										1
					1						1					x	1 1							x2
	3 x1dx 2					dx x						2	dx 3					2 ln			x							C


					x										1 1							1			1
					x										1 1							1
																								2
								3	x2 2 ln							2
								3						x		2	x		x	C.
							2							x	3		x		x	C.
							2								3

Простейшие способы интегрирования.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла.

Поясним сказанное примерами.

Пример. Найти x 3 2 dx .

Решение.

117

x 3 2 dx x2 6x 9 dx x2dx 6xdx 9dx

	x3	6 xdx 9 dx	x3	6	x2	9x C	x3	3x2 9x C.

3		3		2		3

Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к трем табличным интегралам xn dx , n 2;1;0. постоянная C (которая в данном примере равна сумме трех постоянных C C1 C2 C3 )

появляется тогда, когда исчезают знаки интеграла.

Пример. Найти x2 1 dx . x

Решение.

x2 1

xdx

C .

Интегрирование заменой переменной.

Во многих

случаях

f x dx

можно упростить,

если

вместо x

ввести новую переменную t , положив

x t ,

(2)

тогда

t dt .

Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно

привести к новой переменной его подынтегральное выражение

x dx f t

t dt ,

(3)

где

x t ,

118

ex dx ,

в справедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).

Метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С

другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти замену переменной, ведущую к желаемой цели.

Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом замены переменной.

Пример. Найти e2 x 3dx .

Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t , связанную с x

зависимостью: 2x 3 t ,		x		1	t 3 .	Дифференцируя это равенство,
зависимостью: 2x 3 t ,		x		2	t 3 .	Дифференцируя это равенство,
				2
							1
получим: 2x 3	dx t dt ,		2dx dt ,			откуда dx		dt . Подставив
получим: 2x 3	dx t dt ,		2dx dt ,			откуда dx	2	dt . Подставив

результат в данный интеграл, имеем:

e2 x 3dx et

et dt

et C.

Возвращаясь к переменной x , находим:

e2 x 3dx

e2 x 3 C .

Для надежности проверяем результат дифференцированием:

e2 x 3 C

e2 x 3 2x 3

e2 x 3 2 e2 x 3

– верно.

Интегрирование по частям.

Пусть u и v – две любые дифференцируемые функции от x , то есть

u u x

и v v x .

Тогда дифференциал произведения u v вычисляется

по следующей формуле:

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf