9869

Задание 5

Исследовать функцию и построить ее график:

80

ГЛАВА 2

§ 1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции двух переменных, для которой можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Пусть задано множество D точек x, y плоскости Oxy .

Правило f , по которому каждой упорядоченной паре чисел x, y множества D ставится в соответствие одно и только одно действительное число z называется функцией двух переменных, заданной на множестве D со значениями в множестве всех действительных чисел R и

определения D этой функции S есть множество x, y x 0, y 0 (cм.

рис. 1).

y

D

областью определения D может быть вся плоскость R2 или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.

81

есть представляет собой круг, без границы, с центром в начале координат и радиусом R 3 (см. рис. 2).

y

3

Рис. 2

Графиком функции двух переменных z f (x, y) называется множество точек (x, y, f x, y ) трехмерного пространства, представляющее собой некоторую поверхность, если точка x, y из области определения D

(рис. 3), которая геометрически изображает данную функцию z .

Рис.3

82

Пример. Функция z 9 x2 y2 имеет областью определения D

замкнутый круг x2 y2 9 и изображается верхней полусферой с центром в точке O 0,0,0 и радиусом R 3 (см. рис. 4).

z 3

3

x Рис. 4

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: таблицей, аналитически, графически.

Будем пользоваться аналитическим способом: когда функция двух

переменных задается с помощью формулы.

Как правило, изображение поверхности оказывается довольно трудной задачей. Поэтому для визуального представления функции используют линии уровня. Понятие линии уровня широко используется,

прежде всего, в геодезии, картографии, а также при описании различных

физических полей (температура, давление и пр.).

Линией уровня функции двух переменных z f (x, y) называется кривая, f x, y C на плоскости Oxy в точках которой функция

83

Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на

центром в точке (0,1) и радиусом С 1 ; точка (0,1) – это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z 1 (см. рис. 5).

Рис. 5

Предел и непрерывность функции двух переменных

Большая часть понятий математического анализа, определенных

ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай

двух переменных.

-окрестностью точки М 0 (х0 , у0 ) Х называется круг, с центром

вточке М 0 и радиусом .

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности

точки (х0 , у0 ) , за исключением, может быть, самой этой точки. Число

последовательность значений функции zn f xn ; yn сходится к числу A .

84

Обозначается предел так: lim f (x, y) A.

x x0 y y0

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число 0, найдется - окрестность

точки (х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) ,

85

зависеть от способа приближения точки (х, у) к точке 0,0 (например, по прямой y 2x или y 3x ), то рассматриваемый предел не существует.

М 0 (х0 , у0 ) Х , если ее полное приращение в этой точке стремится к

нулю при х 0 и у 0 , то есть lim z 0 .

x 0y 0

Частные производные и дифференцируемость функции двух переменных

Частным приращением функции z f (x, y) в точке (х0 , у0 ) по переменной х называется выражение х z f (x0 х, y0 ) f (x0 , y0 ) .

Частным приращением функции z f (x, y) в точке (х0 , у0 ) по переменной у называется выражение у z f (x0 , y0 у) f (x0 , y0 ) .

Частной производной от функции z f (x, y) по переменной х

называется предел отношения частного приращения х z к приращению

х аргумента x при стремлении х к нулю.

Обозначают частные производные одним из символов

Аналогично определяется частная производная по переменной у:

86

Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.

Пример. Найти частные производные функций:

а) z x3 sin y y 4 ,

б) z x y .

Решение. а) z x3 sin y y 4 . Чтобы найти частную производную

(х0 , у0 ) , если ее полное приращение в этой точке может быть

87

то сложная функция z f [x(t), y(t)] также дифференцируема в точке t

, причем

88