9869

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

N 1, то есть

, начиная с которого все последующие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

y C

Рис. 33

II. Степенная функция y x .

а) – целое число.

Если – четное, то D R, E y y 0 .

y x ( - четное, целое)

0	x
	Рис. 34
Если – нечетное, то D R, E R.
y	y x ( - нечетное, целое)

	0		x
			Рис. 35
Графики функции y x			( – целое) показаны на рис. 36 и рис. 37
соответственно.
В случае	если	– четное, D R \ 0 – множество всех

действительных чисел, кроме нуля, E y y 0 .

y x ( - четное)

0 x

	Рис. 36
В случае если – нечетное, D R \ 0 , E R \ 0 .
y	y x ( - нечетное)

Рис. 37

б) – рациональное, то есть

, m, n , n 0 ;

y x x

n xm .

Пример графика функции y x

или y

. (См. рис. 38).

D x

x 0 , E y

y 0 .

y x 2

0 1

Рис. 38

Пример графика функции y x 3 или y 3 x2 .(См. рис.39).

D R , E y y 0 .

	y				2
				y x 3
		4
		1
-8		0	1	8		x
-8						x
			Рис. 39
III. Показательная функция
y ax a 0, a 1 ,	D R ,	E : y 0 .
y			y
y ax a 0				y ax 0 a 1

Рис. 40

Рис. 41

IV. Логарифмическая функция
y log a x a 0,a 1 , D x x 0 ,	E R

y		y	y log a	x 0 a 1
		y

y log a	x a 1		1
			1
0 1	x	0		x
0 1	x

Рис. 42

Рис. 43

V. Тригонометрические функции

а) y sin x , D R ,	E 1;1 .
	43


		2
		2

0		x

	2

-1

Рис. 44

б) y cos x , D R , E 1;1 . y

	3
	2			2

0		3	x

	2	2

-1

Рис. 45


в) y tg x ,				– множество всех
в) y tg x ,	D R \	n, n Z		– множество всех
	2
действительных чисел R , за исключением точек				n , n , E R.
			2

	3
	2			2

0			3
	2		2

Рис. 46

г) y ctg x , D R \ n,n Z , E R.

		0			3
	2		2		2

Рис. 47

IV. Обратные тригонометрические функции

а) y arcsin x , D 1;1 , E		;
а) y arcsin x , D 1;1 , E		;	.
	2		2
45

-1

2 Рис. 48

б) y arccos x , D 1;1 , E 0; .

-1 0	1		x	Рис. 49
		;
в) y arctg x , D R , E		;
	2		2

Рис. 50

г) y arcctg x , D R , E 0;

0	x
Рис. 51
Предел числовой последовательности
Функция y f n , заданная на множестве	всех натуральных

чисел n называется числовой последовательностью и обозначается xn ,

где элемент xn							f n соответствует номеру n . Будем задавать числовую
последовательность											x			формулой своего общего члена x													n	.
												n															n
														1
		Пример.																				–		числовая		последовательность
		Пример.																				–		числовая		последовательность
											n			1
1		1		1			1																	1
	,		,		,	,			,					,	так			как xn							– формула общего				члена
	,		,		,	,			,					,	так			как xn						n 1	– формула общего				члена
2 3 4						1	n																	n 1
последовательности.
		При n 1:						x						1			1			.
		При n 1:						x												.
								1				1 1				2
												1 1				2
		При n 2 : x												1					1			.
		При n 2 : x								2				2 1								.
										2						3
																3
		При				n 3:		x						1				1			и т.д.
		При				n 3:		x					3 1								и т.д.
								3								4
																4
		Пределом числовой последовательности xn называется конечное
действительное число														a , если для любого сколь угодно малого числа
0 существует									такое						натуральное								число		N ,	что для всех			членов

последовательности с номерами n N выполняется неравенство xn a . В краткой записи это выглядит так:

0 N n N xn a

и обозначается: lim xn a .

Определим – окрестность точки a как множество всех x ,

удовлетворяющих условию: x a , что эквивалентно двойному неравенству: a x a .

Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую– окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См. рис. 52).

x1	xN 1	xN 2 xn	x2
a	a		a
		Рис. 52

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности xn к своему

пределу a будем обозначать как xn a .

Пример. Доказать по определению, что lim

0 .

n n

Решение.

Возьмем любое

сколь угодно

малое

0 .

Имеем:

, когда

или

. Значит существует такой номер

N ,

равный целой

части числа

то есть такое

целое

число

N ,

что

члены с номерами

N ,

N 1, N 2, N 3, ... будут находиться в –

окрестности точки

x 0,

то есть в интервале ; . (См. рис.53). При

0,2

при 0,01

100 .

0,2

0,01

N 2

N 3

N 1

Рис. 53

Замечание.

lim xn

означает, что 0

N ,

n N xn

;

lim xn

означает, что 0

N ,

n N xn

При

вычислении

пределов числовой последовательности полезно

использовать следующие их свойства, если существуют конечные пределы

lim xn a	и lim yn b, то
n	n

lim c c , c const ;

lim

c xn c lim xn

c a ,

c const ;

lim

yn lim xn

lim yn

a b;

lim

yn lim xn lim yn a b ;

lim xn

, если b 0;

lim

lim y

lim

0, если lim x a .

n x

Пусть требуется найти предел	lim	xn		отношения		двух
Пусть требуется найти предел	lim	y		отношения		двух
	n	y	n
			n
последовательностей, сходящихся к бесконечности,				то есть	lim xn	и
					n

lim yn .

Непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать

выражение	xn	к виду, допускающему применение указанных свойств. В
выражение	yn	к виду, допускающему применение указанных свойств. В
	yn
связи с этим		выражение	называется неопределенностью, а его
связи с этим		выражение	называется неопределенностью, а его

преобразование к виду, позволяющему найти предел – раскрытие неопределенности.

Заметим, что выражение , когда последовательности в числителе

и знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:

		n2					2n			3	1						2			3

lim		n3					n3			n3	lim			n			n2			n3
lim				n		3	1				lim					1 1
n				n			1						n			1 1



																		n3
				n3				n3										n3
	lim		1		2 lim					1		3lim			1
	lim				2 lim							3lim							0 2 0 3 0			0
	n n							n n2					n n3						0 2 0 3 0			0	0 .
											1										1 0	1	0 .
							1 lim				1										1 0	1
							1 lim
									n n3

Предел функции.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf