9869

ГЛАВА 3

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Вкурсе математики средней школы изучались алгебраические уравнения, где неизвестными были числа. Сейчас мы переходим к рассмотрению так называемых дифференциальных уравнений, при решении которых находят неизвестные функции, удовлетворяющие заданным соотношениям, включающим операцию дифференцирования.

Рассмотрим для начала задачу о законе изменения скорости свободного падающего тела. Пусть тело массы m падает с некоторой высоты. Учтем, что кроме силы тяжести, на него действует сила сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона

Решением дифференциального уравнения (1.2) называется функция y x , которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество.

Можно убедиться, в частности, что функция

140

удовлетворяющих дифференциальному уравнению (1.1) – каждому

тождество, называют общим решением дифференциального уравнения

(1.3). Запись общего решения содержит произвольную постоянную C .

Заметим, что решение дифференциального уравнения может быть

из найденного множества решений (1.4) только одно - то, которое

Подставляя найденное значение постоянной в (1.4), получим закон

изменения скорости v падающего тела при заданном начальном условии

v 0 v0 :

141

Согласно последнему равенству, скорость v падающего тела при

обеспечить приземление с допустимой скоростью. Функция (1.5)

представляет собой так называемое частное решение уравнения (1.1),

соответствующее начальному условию v0 v 0 .

Частным решением уравнения (1.3) называется одна функция,

удовлетворяющая самому уравнению и начальному условию. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1.3),

f

непрерывную в этой области частную производную y , то задача Коши

имеет единственное решение. При этих условиях частное решение получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной C .

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решений уравнения (1.3) на конкретном примере. Пусть требуется найти частное

142

обращает уравнение (1.6) в тождество. Она содержит произвольную постоянную C и является общим решением уравнения (1.6). Построив в плоскости xOy графики этих функций при различных значениях C . мы получим семейство парабол (см. рис.1).

Чтобы выделить из этого семейства интегральных кривых конкретную параболу, соответствующую условию (1.7), рассмотрим точку с координатами 2;4 . Через нее проходит парабола семейства (1.8), для

-2 -3

Рис. 1

Переходим к рассмотрению конкретных видов дифференциальных уравнений первого порядка и методов их решения.

Если правая часть f x, y дифференциального уравнения (1.3) может быть записана в виде произведения функций двух функций Q x и P y ,

зависящих от переменных x и y соответственно, то есть y Q x P y ,

то уравнение называют дифференциальным уравнением с

разделяющимися переменными.

143

в котором каждая из переменных x и y находится в той части уравнения,

где ее дифференциал. Считая y известной функцией от x , равенство (1.9)

можно рассматривать как равенство двух дифференциалов и интегрировать обе части уравнения (1.9). Полученные при этом функции

1y arctg x C , где C – произвольная постоянная.

Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид

1y arctg x C .

частности v x , дополнительное условие, которое упростит уравнение.

dvv p x dx и находим одно из решений уравнения (1.17), например,

при постоянной C 0 . Это решение обозначим v v0 x . Для второй

146

§ 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка

Начнём с задачи из механики. Рассмотрим прямолинейное движение

движение происходит под действием трёх сил: силы, притягивающей

пропорциональной первой степени скорости bx,b 0 и возмущающей силы, направленной по оси Ox и равной F (t) в момент времени t .

Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим mx bx ax F (t) .

Разделим обе части уравнения на m и после введения новых

обозначений b / m 2h 0, a / m k2 и F (t) / m f (t) приведем его к виду

Полученное уравнение относится к классу так называемых

линейных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих

вид

удовлетворяющее заданным начальным условиям

Если правая часть уравнения (2.2) равна нулю:

неоднородным.

Уравнение вида (2.2) служит математической моделью разнообразных колебательных физических процессов, то есть процессов,

которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике,

например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д.

При колебательном движении маятника или груза на пружине изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако они описываются сходными характеристиками и уравнениями одинакового типа. Математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.

Методика решений рассматриваемых уравнений базируется на

дифференциального уравнения второго порядка имеет вид yoo (x) C1 y1 (x) C2 y2 (x) ,

где C1 ,С2 – произвольные постоянные. Следовательно, два любых непропорциональных решения однородного линейного

дифференциального уравнения второго порядка формируют его общее

решение. Однако нет общего метода отыскания функций y1 (x) и y2 ( x) . Их легко найти в случае, когда коэффициенты уравнения (2.3) являются числами. Обозначим их a0 и a1 :