Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9869

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Пример. Вычислить xex dx .

		0
Решение. Обозначая u x , dv ex dx ,				получаем du dx , v ex .
Тогда
1	1	1	1 e e1 e0 e e 1 1.
xex dx xex	1	ex dx 1 e1 0 e0 ex	1 e e1 e0 e e 1 1.
0	0	0	0
	0		0

Ответ: 1.
		Вычисление площади плоской фигуры
Если уравнение заданной линии есть				y f x ,	то, как было
показано, площадь S криволинейной трапеции определяется формулой:
		a
		S f x dx .
		a
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади
произвольной плоской фигуры.
Площадь		Q , ограниченная кривыми		y f1 x	и y f2 x и
прямыми x a ,		x b, при условии f1 x f2 x , будет,			очевидно, равна

разности площадей криволинейных трапеций S1 a,b и S2 a,b , то есть

Q S1 a,b S2 a,b

или

		b	b	b	x f2
		Q f1	x dx f2	x dx f1	x f2	x dx .	(2.7)
		a	a	a
	Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y
	Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y						2x и
y	x2	(см. рис. 21).
y		(см. рис. 21).
2

130

y	y x	2
	y x
	2
2		y 2x

0	2	x
	2

Рис. 21

Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:

2x x2 ;

2 x2 b 2.

	2
	2		2x
	Q		2x
	0

2x		x4	;	8x x4 ;			x x3		8 0,			откуда		x a 0	,
2x			;	8x x4 ;			x x3		8 0,			откуда		x a 0	,
4														1
4
Следовательно, в						соответствие						с формулой (2.7)
x2							x3	2					23

				2 2						2 2
				2 2						2 2
	dx				x x						2 2
	dx				x x						2 2
2
2				3			6	0		3			6
							6	0

8		8	4	(кв. ед.)

	3	6	3

Ответ: 43 кв.ед.

131

Контрольные задания

Задание № 1

Найти уравнения и построить линии уровня функции

zf (x, y):

1.1z у х 2 .

1.2z ху .

1.3	z	у х2	.

		х2

1.4z х2 у у .

1.5z ху .

1.6z х у 1 .

1.7z ху у .

1.8z х у .

1.9z у2 х .

1.10z у .

х3

132

Задание № 2

Для функции z f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) найти:

а) градиент,

б) производную по направлению вектора a .

2.1 z 3х2 2 у , M0 (1; 3) , a 6; 8 .

2.2	z ln( 3x 2 y) ,														M0 ( 1; 2) ,									a 3; 4 .
2.3	z	arctg						y	,	M			(1; 1)			,			a
										M			(1; 1)
								x			0												5; 12 .
								x
2.4	z			x y					,	M		(1;			2) ,				a 1; 2 .

			x2 y 2
			x2 y 2								0
2.5	z хy3 x3 у ,														M 0 (1; 3) ,							a 2; 1 .
2.6	z х2 cos у , M														(1; ) ,					a 5; 12 .
														0			2
																	2
2.7	z sin( ху) , M 0 (1; 1) ,																			a 1;					1 .
2.8	z			ln		x				y	2			,	M	0		(3;		4)		,	a
2.8	z			ln		x				y				,		0						,	a		6;		8 .
	z						xy								M		(0;			1)			a

				x 2	y 2					1 ,
2.9				x 2	y 2					1 ,					0						,					1;	1 .
2.10	z sin( x y) ,													M 0 (					;	)			,	a 3; 4 .
																	2			4

133

Задание № 3

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) :

3.1z 1 х2 2 у2 , M0 (1; 1; 4) .

3.2х2 у2 z 2 1, M0 (2; 2; 3) .

3.3z ln( х2 у2 ) , M 0 (1; 0; 0) .

3.4z 1 х2 2 у2 , M 0 (1; 1; 4) .

3.5	x2 y2 z2 4x 6y 8z 1 0 ,	M	0	(1; 2; 2) .
			0

3.6	z x4 2x2 y xy x , M	0	(1; 0; 2) .
		0
3.7	x2 2y2 3z 2 xy yz 2xz 16 0 , M0 (1; 2; 3) .

3.8x2 2y2 3z2 6 , M0 (1; 1; 1) .

3.9x2 4y2 2z2 6 , M 0 (2; 2; 3) .

3.10 z 3x4 xy y3 , M 0 (1; 2; 9) .

134

Задание № 4

С помощью дифференциала найти приближенное значение числового

выражения:

4.1 3 7,98 (1,04)7,98 .

4.2 3 (4,97)2 (1,06)2 1 .

4.3 ln(3 0,98 2 1,03 1) .

5,03

4.4 (5,03)3 (1,96)2 .

(3,04)2

4.5 arctg (2,97)2 .

4.6 5 (4,03)2 (0,96)5 15 . 4.7 ln((2,02)3 5 0,96 8) .

4.8(2,97)4 (2,03)3 .

4.9ln(3 8,02 0,96) .

4.102 3 0,97 4,03 .

135

Задание № 5

Для функции z f (x, y) найти точки экстремума.

5.1f (x, y) х2 6x у2 2 y 1.

5.2f (x, y) х2 2x у2 4 y 2 .

5.3f (x, y) х2 6x у2 8 y 3 .

5.4f (x, y) х2 2x у2 2 y 4 .

5.5f (x, y) х2 4x у2 6 y 5 .

5.6f (x, y) х2 8x у2 2 y 6 .

5.7f (x, y) х2 10x у2 2 y 7 .

5.8f (x, y) х2 2x у2 6 y 8 .

5.9f (x, y) х2 10x у2 8y 9 .

5.10f (x, y) х2 2x у2 4 y 10 .

136

Задание № 6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z f (x, y) в замкнутой области D .

6.1z 6xy 9x2 9 у2 4x 4 y ,

D : 0 x 1, 0 y 2 .

6.2z xy x2 2 ,

D : y 0, y 4x2 4 .

6.3z 4xy 4x2 у2 8 y ,

D : x 0, y 2x, y 2.

6.4z 2xy x2 у2 4x ,

D : x 0, y 0, y x 2.

6.5z 3xy 5x2 у2 ,

D : 1 x 1, 1 y 1.

6.6z 0,5x2 xу ,

D : y 2x2 , y 8 .

6.7z xy 3x y ,

D : y x, y 4, x 0 .

6.8z xy 3x 2 у ,

D : 0 x 4, 0 y 4 .

6.9z xy x2 3x y ,

D : 0 x 2, 0 y 3 .

6.10z xy x 2 у ,

D : y x, y 0, x 3 .

137

Задание 7

Найти неопределенные интегралы.

7.01а) x 1 2 dx ;

7.02	а)	x 2 3
7.02		dx ;
		dx ;
		x

7.03а) x4 x 1 dx ;

7.04	а)	3x 4 xex
7.04										dx ;
						x				dx ;
						x
			3				1
7.05	а)		3		2		1
				x					dx ;
				x					dx ;
								x

7.06 а)	x cos x 3 x2
		dx

	x
;

б) x 1 2 ;

б) x 1 3 ;

б) 3 1 x ;

б) 3 x 1 2 dx

;

б) xe x2 dx ;

в) x 1 cos xdx

в) x3 ln xdx.

в) 3x 1 ex dx .

в) x sin xdx.

в) 1 x ex dx .

б) 3 4x 7 dx ;

в) x ln xdx.

7.07

2x 1 2

б)

а)

dx ;

5 ;

7.08

а)

x 1 3

б)

x dx

dx ;

;

3 x2

7.09

а)

dx ;

б)

5 ;

7.10

а)

2 x 1 dx ;

б)

;

3x 2

в) x cos xdx.

в) x sin xdx.

в) x5 ln xdx.

в) x 1 ln xdx .

138

Задание 8.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

8.01y x2 ; x y 2 0.

8.02y 16x ; y 17 x .

8.03xy 4 ; x 1; x 4 ; y 0.

8.04	y ln x ;			x e ;		y 0.
8.05	y e2 x ;			x 1; y 1.
		1	x			x 0.
8.06	y			;	y 9;

		3
		1	x			x 4 .
8.07	y			;	y 4 ;

		2
8.08	y 4 x2 ;				y 0.

8.09y ex ; y x2 ; x 1; x 2 .

8.10 y x3 ;

x 0;

y 8 .

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf