Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9869

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

x1, x2 , т.е. когда

частности, остаточный член Rn x стремится к нулю, когда производные функции f x ограничены в совокупности в интервале

при каждом натуральном n и каждом x из этого интервала выполняется неравенство f n x M , где M - положительная постоянная.

Итак, для разложения функции f x в степенной ряд нужно сначала формально составить для нее ряд Тейлора. С этой целью вычисляют производные функции в точке x a и подставляют их в разложение (5.3).

Затем необходимо найти область сходимости полученного ряда и

выяснить, для каких значений x из	этой области	сходимости можно
поставить знак равенства между функцией f x и ее рядом Тейлора.
Разложим, например, функцию	f x 2 x в	ряд Маклорена (по

степеням x ).	Найдем числовые значения производных функции f x 2x
в точке x 0	:

f x 2x ,											f 0 20 1
	x			2		x	ln 2 ,					0	ln 2			ln 2
f x 2				2			ln 2 ,				f 0 2		ln 2			ln 2
		x		2			x	ln	2	2,			0	ln	2	2 ln	2	2
f x 2				2				ln		2,	f 0 2			ln		2 ln		2
	x		ln	3	2								0	ln	3	2 ln	3	2.
f x 2			ln		2						f 0 2			ln		2 ln		2.

Отсюда легко установить закономерность образования производной n -го

порядка: f n x 2x ln n 1

2x ln n 2 ,

0 lnn 2 .

Подставляя теперь значения этих производных в ряд

(5.4), получаем ряд

Маклорена для функции

f x 2x :

ln 2

ln 2 2

ln 3 2

ln n 2

...

xn ... =

xn .

n 0

Находим область сходимости полученного ряда. Так как

180

n 1 !ln n 2

n! n 1

lim n 1 ,

R lim

lim

n 1

n!ln n 1 2

ln 2 n

то ряд сходится для всех значений x .

Выясним, для каких значений

x найденное разложение сходится к

функции 2x . С этой целью заметим, что ввиду справедливости неравенства

ln n 2 1

производные

всех порядков функции

f x 2x

на любом

отрезке

R x R ,

ограничены одним

тем же числом 2R :

f n x

2x ln n 2

2R .

Отсюда следует,

что

найденное

разложение

ln n 2

сходится к функции 2x при всех значениях x , т.е. 2x

xn .

n 0

Во многих случаях можно пользоваться готовыми рядами,

составленными для элементарных функций. Основными табличными разложениями назовем следующие разложения:

10. et t

1 t t

... t

... ,

;

n 0 n!

n 1

2n 1

t t

2n 1

;

20. sin t 1

... 1

...,

n 1

2n 1 !

30.

40.

cos t

1 t

...

1 t

...,

2n !

n 0

2! 4!

1 1 2 ... n 1 t n =

n 1

=1 t

1 t 2

1 2 t3

t ;

..., t 1

( – любое действительное число). Ряд называется биномиальным.

50. Eсли положить 1 и t заменить на t , то получим ряд, который является геометрической прогрессией

181

f x

1 t n

1 t t 2

... t n ...,

1 ;

1 t

n 0

n 1

60. ln

t t

...

( 1 t 1);

1 t 1

...,

n 1

2n 1

n 1

2n 1

( 1 t 1).

70. arctgt 1

t t

... 1

... ,

2n 1

n 1

Например,

чтобы

разложить

функцию

f x sin

ряд

Маклорена, используем табличное разложение синуса, полагая

1 n 1 y2n 1

Тогда

sin

y y

...

...=

2n 1 !

x10

x14

...

1 n 1 x4n 2

....

3!33

5!35

7!37

2n 1 !32n 1

Так как

разложение

функции

sin y

ряд

имеет место для

всех

y ; , то и разложение функции

sin

имеет место для всех

x ; .

Степенные ряды можно использовать для приближенных

вычислений значений функции в точке. Для этого исходную функцию раскладывают в степенной ряд, сохраняя первые n членов разложения, отбрасывая остальные. Для оценки погрешности найденного

приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов.

Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, состоящий из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда, члены

182

которого удовлетворяют

признаку Лейбница, используется

оценка

un 1 , где un 1 – первый из отброшенных членов ряда.

Вычислим, например,

e с точностью 0,00001. Для

этого

используем готовое разложение функции ex

в степенной ряд по степеням

x :

ex 1

...

....

Полагая в данном равенстве x 12 , получим

e2	e 1		1	1	1	...	1	...
1

		1! 2		2! 22	3! 23		n! 2n

Определим, сколько членов ряда следует взять, чтобы погрешность приближенного равенства

		1	1		1	1	...	1
	e
					2! 22	3! 23		n! 2n
		1! 2
не превышала заданного числа				0,00001.
Погрешность этого приближенного равенства Rn								определяется суммой

членов ряда, следующих после в разложении e :

n! 2n

Rn	un 1		un 2		un 3			...			1							1				1		...,

											n 1 ! 2		n 1		n			2 ! 2n 2				n 3 ! 2n 3
											n 1 ! 2				n			2 ! 2n 2				n 3 ! 2n 3
или
		1			1						1									1
Rn																								... .
Rn										n 1 n 2 22							n	1 n 2 n 3 23						... .
		n! 2n n 1 2								n 1 n 2 22							n	1 n 2 n 3 23
Заменив			каждый из							сомножителей					n 2, n 3, n 4, ... меньшей
величиной n 1, получим неравенство:
					1					1				1				1
				Rn																			... .
				Rn		n! 2	n					n		2	2	2		3		2	3		... .
						n! 2			n 1 2			n		1	2				n 1	2
												183

В скобке получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с

первым членом b1											1											и знаменателем прогрессии q																				1			.

										n		1 2																													n		1 2
										n		1 2																													n		1 2
Запишем ее сумму по формуле
																					1							1
									b1									n 1 2																		1
						S			b1									n 1 2											2							1			.
						S		1 q							1									1					n			1			2n 1				.
															1					n 1 2									n		2
Тогда																Rn									1					.

																							n! 2n 2n 1
																							n! 2n 2n 1
Далее подбором определяем, при каком натуральном значении																																										n	будет
выполняться неравенство																Rn			0,00001.													Полагая, к примеру,											n 3
имеем	R						1					1					.					(нельзя					сказать							с		уверенностью,							что
имеем	R																.					(нельзя					сказать							с		уверенностью,							что
	3				8		7 6				336
					8		7 6				336
R3	1				).		Пусть				далее										n 5 .				Тогда							R5						1					1			.

																																										42240
100000																																			120 32 11							42240
Пусть,	наконец, n 6.													Тогда										R6				1							,	т.е.		R6				1		и

																										720 64 13
																										720 64 13														100000
можно принять n 6. Следовательно,
									1						1									1				1						1				1
				e		1			1						1									1				1						1				1		=
				e		1								2! 22										3! 23			4! 24										6! 26			=
								1! 2						2! 22										3! 23			4! 24						5! 25				6! 26
	1 0.5 0.125 0.020833 0.002604 0.000260
													0.000022 1.648719.

Значит		e	1.648719 с точностью 0,00001.

Заметим, что каждое слагаемое мы вычисляли с точностью до

0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей 0,00001.

184

Вычислим далее с точностью 0,00001. Используем готовое

5 e

разложение функции ex в степенной ряд по степеням x , взяв x										1	:
										5	:
										5
	1	e	1			1	1	1
				1					....
			5
			5		1! 5		2! 52	3! 53
	5 e
	5 e

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а потому допускаемая погрешность по абсолютной величине будет меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что

. Поэтому можно отбросить это

5! 55

120 3125

375000

100000

слагаемое и воспользоваться приближенным равенством

2! 52

3! 53

4! 54

5 e

1! 5

Тем самым,

1 0,2 0,02 0,001333 0,000067 0,81873.

Степенные ряды применяют также для вычисления

определенных

интегралов.

Если

требуется

вычислить определенный

x dx

интеграла

заданной

точностью

то подынтегральную

функцию

f x нужно разложить в ряд Маклорена,

пользуясь готовыми

разложениями

функций

ex ,

sin x , cos x , 1 x m ,

ln 1 x , arctg x .

Далее в области сходимости полученный ряд интегрируют почленно (для каждого слагаемого находят определенный иетеграл) если ряд явялется рядом Лейбница, отбрасывают все слагаемые, начиная с того, который по модулю меньше числа . Суммируя оставшиеся слагаемые, записываем ответ.

185

0,5

Вычислим, например,

1 cos x

с точностью

0,0001.

Раскладываем

подынтегральную

функцию

1 cos x

в ряд

Маклорена, используя готовое разложение функции cos x :

x2n

cos x 1

... 1

2n ! ....

Получим

1 1

...

f x

1 cos x

1 1 2!

...

=1 x2 x4 ....

2! 4! 6!

Область сходимости полученного ряда – вся числовая ось. Далее находим первообразные функции для каждого из слагаемых этого степенного ряда

0,51 cos x				0,5		1		x2		x4			1		x3	x5		0,5
0,51 cos x				0,5		1		x2		x4			1		x3	x5		0,5
			dx								... dx			x			...	=
		x2	dx								... dx			x	4! 3	6! 5	...	=
0		x2			0	2!		4!		6!			2!		4! 3	6! 5		0
				x			x3		x5			0,5						0


			=								...	.
			=								...	.
					2		72		3600			0
												0
Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
		0,5	0,5 3			0,5 5			... 0,25 0,0017 0,000009 ....
	2		72			3600			... 0,25 0,0017 0,000009 ....
	2		72			3600

Все члены полученного числового ряда, начиная с третьего, отбрасываем, поскольку третий член ряда равен 0,000009 и он меньше заданной

точности 0,0001. Окончательно получаем

	1 cos xdx 0,25 0,0017 0,2483 .
0,5
0		x2

186

Контрольные задания

Задание 1

Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися

переменными

1.01. x y 2 y 1.

			1

	1.02. y y		2x 1.
	1.02. y y		2x 1.

1.03. 2x 1 y y .

1.04. y 2x 1 2y 1 .

1.05.	y	x .

	2 y 1
1.06.	y2 y 2x 1.

1.07.y 2 y 1 .

		x2
1.08. y	2 y 1 .
1.08. y	2 y 1 .

1.09.		y	y .

	2x 1
			x

1.10. y		2 y 1 .

187

			Контрольное задание 2
Решить задачу Коши					y 1 .
2.01	x dy 1 y2 dx 0,				y 1 .
2.01
.								4
2.02	y dx sin	2	x dy 0 ,				1.
	y dx sin		x dy 0 ,	y			1.
.						2
2.03	e y dy 2x 1 dx 0,				y 0 0 .
.
2.04	cos2 x dy y2 dx 0,							.
					y			1
.						4

2.05						y 0 e.
2.05		1 x2	dy y dx 0 ,			y 0 e.
.
2.06						y 1 0.
2.06	x dy		1 y2 dx 0 ,			y 1 0.
.
2.07	ex dy 2y dx 0, y 0 0 .
.
2.08	2y 1 dx x dy 0 ,					y 1 0.
.
2.09	cos2 x dy cos2 y dx 0 , y 0						.
.							4
2.10			dy		dx 0 , y 0 0 .
2.10	1 x2		dy	1 y2	dx 0 , y 0 0 .
.

188

Контрольное задание 3

Найти общее решение уравнений

3.01.y xy xe 2 .

3.02. y tg x y x2 cos x . 3.03. y xy xe3 x .

3.04.y y ex .

3.05.y xy xe 2 .

3.06. y

xy cos x e

3.07. y

x 1 x 1.

3.08. y

tg x sin x .

3.09. y

tg x ctg x .

3.10. y

189

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf