9869

Делаем проверку найденного решения 1; 2;3 :

1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.

Ответ: 1; 2;3 .

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой

– концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой

буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой

заглавных букв латинского алфавита с чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.

Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще

используют буквы: e , i , j , k e i j 1 .

Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала.

Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно

переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую

11

точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе,

меняя точку их приложения, то есть начало вектора.

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 0 .

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b ,

при чем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается: c a b .

Пусть даны вектора a и b . (См. рис. 2)

Рис.2

Чтобы их сложить, то есть найти сумму a b этих векторов,

необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом,

чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a

– первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a b в том же масштабе, в

котором представлены a и b .

12

b

a

a b

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a

и вектора b , противоположного вектору b , то есть a b a b .

противоположно направлению вектора a , если 0 ; длина же вектора

b

a

c

13

Свойства линейных операций над векторами:

1.a b c a b c

2.a b b a

3.a 0 a

4.a a 0

5.a a

6.a b a b

7.a a a

8.1 a a , где , , , – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме.

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k

пространства, через которые условились выражать все векторы пространства, называются базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz ,

проходящие через начало координат – точку O в направлении базисных

14

векторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy, xOz и

yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются

координатными плоскостями.

Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то

любой вектор a пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k базисным как:

a a1 i a2 j a3 k ,

то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат a1 , a2 , a3 , что позволяет написать равенство:

(см. рис. 6).

Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a a1 , a2 , a3 ,

bb1 ,b2 ,b3 , то

1)a a1 , a2 , a3 ;

2)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 .

Пример. Найти координаты вектора c 2a b , если a 1; 2;3 ,

b 1;0;1 .

Решение:

2a 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 .

c 2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .

Ответ: c 1; 4;7 .

15

Для произвольной точки M x; y; z в прямоугольной декартовой

системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy , Oz соответственно, то есть OM x; y; z . (См. рис. 7)

Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA и OAM :

OA2 OB2 AB2 x2 y2 ;

OM OA2 AM 2 x2 y2 z2 .

Пример. Найти a , если a i 2 j 2k .

Решение. Координаты вектора a : a 1; 2; 2 . Длина вектора a : a 12 2 2 22 3.

Ответ: a 3.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b

называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a b , то есть

a b a b cos (a b) .

16

Свойства скалярного произведения:

1)a b b a ;

2)a b a b , R ;

3)a b c a b a c ;

a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 , то их скалярное произведение находим по формуле:

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a и 3b , если

a 1; 2;3 и b 0; 1;1 .

Решение. Координаты векторов 2a и 3b :

2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;

17

3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:

2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.

Ответ: 6 .

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:

b j k .

Решение. Координаты векторов a и b : a 1; 2; 2 и b 0; 1;1 .

Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен: